Операторы рождения/уничтожения

[manul91]

Использую как исходный базис для вопросов, контекст сообщения post676406.html#p676406

Munin в сообщении #676406 писал(а):

Получается, у нас должно быть много разных многомерных конфигурационных пространств: для одной частицы, для двух частиц, ... до бесконечности. Полное состояние системы - (это наш МОНСТР, вид сбоку) - это суперпозиция всех таких разночастичных функций, с разными комплексными весовыми коэффициентами. Что значит "суперпозиция"? Мы знаем, как делать суперпозицию двух состояний, которые выражены в одном конфигурационном пространстве - надо просто сложить функции, а здесь что складывать? Мы берём формальную сумму $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)+\ldots$ и так до бесконечности. Ведь что нам нужно от суперпозиции? Чтобы можно было находить комплексную амплитуду вклада одного слагаемого, и другого слагаемого. Формальная сумма это вполне позволяет. Пространство всех таких формальных сумм называется пространство Фока.

Хотелось бы разобраться в чем смысл "формальной суммы" $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)+\ldots$

Вопросы:
- Правильно ли я понимаю, что в этой сумме $c_0$ - амплитуда вероятности чтобы система оказалась в состоянии без частиц, $c_1$ - амплитуда вероятности чтобы система оказалась в одночастичном состоянии $\psi_1(\mathbf{r}_1)$, $c_2$ - амплитуда вероятности чтобы система оказалась в двухчастичном состоянии $\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ и так далее?

Если да, то

- для простоты рассмотрим обрезанную сумму (пусть у нас только 0, 1 или 2 частицы; и не больше) $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$

- Сбивает с толку сумма функций над разного к-ва аргументов; они как бы являются "объектами разных типов"? (как яблони и груши).
Конечно, я могу попытаться додуматься кое-что - по аналогию с векторов - что например можно суммировать векторов разных размерностей просто дописав нужное к-во нулей для координат векторов меньших размерностей; условно приводя таким образом все векторы к "одного типа" (максимальной размерности).
В случае функций, аналогично можно дописать единичные факторы:
$c_0\psi_0I(\mathbf{r}_1)I(\mathbf{r}_2)+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)I(\mathbf{r}_2)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$
где функции I суть единичные константы $I(\mathbf{r}_1)=I(\mathbf{r}_2)=1$ ; или даже так $I(\mathbf{r}_1)=e^{-ik\mathbf{r}_1}$ (чтобы $I^{*}I=1$).
Но... тогда что выходит, что в одночастичном состоянии $\psi_1$ например, вторая частица все же входит по умолчанию "в свободном состоянии" (только отфакторизована от первой)?
Тут уже, перестаю додумывать ; )

- Полностью непонятен нулевой член ("сдвига" при отсутствии частиц)... Если допустим все коеффициенты $c_i$ нулевые кроме нулевого который равен единице - выходит что система без частиц, находится в состоянии $\psi_0$ где это, некая константа - или как? Так по мне кажется состояние без частиц, должно быть просто $\psi_0==0$, каков смысл тогда нулевой член писать вообще?

Munin в сообщении #676406 писал(а):

Для этого, мы должны уметь переходить от состояния с $n$ частицами к состоянию с $n+1$ частицей. Потом это можно будет повторить, и всё сложить. Допустим, у нас есть состояние с $n+1$ частицей, такого вида: все частицы, кроме последней, летают как хотят, а последняя - расположена точно в точке $\mathbf{r}_0.$ Если мы возьмём плотность вероятности для неё - то это будет $\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0).$ Такое состояние можно получить из состояния с $n$ частицами, просто добавив ещё одну частицу в заданной точке. То есть, мы имеем некоторое "действие", увеличивающее число частиц $n\to n+1,$ причём последняя частица - в заданном месте. Назовём его "оператор рождения", $\psi_n(\mathbf{r}_i)\to\psi_{n+1}(\mathbf{r}_i,\mathbf{r})=\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i).$ Если мы захотим добавить частицу в "размазанном виде", мы можем просто взять интеграл $\int_{\mathbf{r}_0}\psi(\mathbf{r}_0)\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)\,d\mathbf{r}_0,$ где $\psi(\mathbf{r}_0)$ - просто числовые весовые коэффициенты в суперпозиции.

Правильно ли я понимаю, что для "добавления ещё одной частицы в заданной точке" (и нигде кроме этой точке):
$\psi_{n+1}(\mathbf{r}_i,\mathbf{r})=\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)=\psi_n(\mathbf{r}_i)\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$,
т.е. в данном случае оператор рождения - суть умножение функцию $n$ частиц $\psi_n(\mathbf{r}_i)$, на дельта функцию координаты новой $n+1$-вой частицы в месте $\mathbf{r}_0$?

Если да, то:

- Кажется странным чтобы мы могли так с потолка вводить любую новую частицу, там где нам захочется - при уже существующих частиц. Что гарантирует согласованность? (например, мы могли бы ввести фермиона поверх существующего фермиона в том же самом состоянии - таким образом записав бессмыслицу?)

- То же самое насчет "Если мы захотим добавить частицу в размазанном виде, мы можем просто взять интеграл $\int_{\mathbf{r}_0}\psi(\mathbf{r}_0)\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)\,d\mathbf{r}_0,$ где $\psi(\mathbf{r}_0)$ - просто числовые весовые коэффициенты в суперпозиции."
Допустим, уже существующая частица - протон (ее волновая ф-я, например сконцентрирована вокруг начала координат).
Теперь мы вводим размазанный в пространстве электрон "как нам захочется" описанным образом.... Но что гарантирует согласованность? Например если мы "введем" электрон так чтобы его функция амплитуды вероятности была как у свободной частицы - очевидно это будет несогласованно.
Можно то же самое еще сказать по другому: так как электрон и протон взаимодействуют, очевидно что их двухчастичная функция состояния $\psi(\mathbf{r}_0,\mathbf{r}_1)$ не может факторизоваться (нельзя быть представленной как произведение двух функций только от координат электрона и только от протона).
Но по определению выше - новая частица вводится так что двухчастичная волновая ф-я факторизируется - уже по построению?

- Тот же самый затык как и выше: операторы рождения-уничтожения, вроде переводят друг в друга объекты "разного типа" (яблони в груши)?
По аналогию с векторов (т.к. в некоем смысле функция - суть бесконечномерный вектор) - это вроде как если бы переводить n-мерные векторы в n+1 и n-1 мерные соответно?
Выходит операторы рождения-уничтожения - это что-то типа "антипроектора"-"проектора" - соответно добавляющего и уменьшающего информацию о системе? (прощу прощения за талибанский)
Эти операторы линейны - верно, если да - почему? (для уничтожения-"проектора" это интуитивно понятно - для рождения-"антипроектора" однако нет - так как тут есть неоднозначность как именно добавляется новая частица)?

- То же самое, только слегка сбоку - про интерпретацию значков операторов рождения/уничтожения, когда читаем текст.
Если видим оператор уничтожения $\hat{a}^-_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)$ - то вроде все понятно - мы просто интегрируем по соответной частицы убирая ее таким образом из волновую функцию.
Однако если видим оператор рождения $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)$ то вроде значок $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}$ неоднозначeн - откуда нам знать как именно конкретно добавляется новая частица? Это должно подразумеваться из контекста, или как?

[warlock66613]

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Сбивает с толку сумма функций над разного к-ва аргументов; они как бы являются "объектами разных типов"? (как яблони и груши)

Именно. Поэтому сумма "формальная". Но ей можно придать смысл. Представьте координатную систему, по одной оси откладывается количество яблок, а по другой - количество груш. Тогда любая сумма вроде $2\cdot\text{яблоко} + 3\cdot\text{груша}$ будет вектором в этом пространстве.

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Конечно, я могу попытаться додуматься кое-что - по аналогию с векторов - что например можно суммировать векторов разных размерностей просто дописав нужное к-во нулей для координат векторов меньших размерностей; условно приводя таким образом все векторы к "одного типа" (максимальной размерности).

А вот так как раз нельзя делать. Мы должны всегда знать, какого типа у нас вектор, сколько у него на самом деле координат, потому что это число частиц. Поэтому и получается у вас ерунда дальше. Лучше вернитесь к яблокам и грушам: складывая "$2$ яблока" и "$3$ груши" мы получаем "$2$ яблока и $3$ груши", комплексный объект, который можно назвать "набор фруктов", и который не является ни яблоком ни грушей. Так и элемент пространства Фока не является функцией какого-либо числа аргументов, он является набором, суммой функций с разным числов агрументов, взятых с весовыми коэффициентами.

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

- Полностью непонятен нулевой член ("сдвига" при отсутствии частиц)... Если допустим все коеффициенты $c_i$ нулевые кроме нулевого который равен единице - выходит что система без частиц, находится в состоянии $\psi_0$ где это, некая константа - или как? Так по мне кажется состояние без частиц, должно быть просто $\psi_0==0$, каков смысл тогда нулевой член писать вообще?

Состояние $0 + 1\cdot\psi_1(\mathbf{r}_1)$ означает, что мы имеем состояние с точным числом частиц - их ровно одна штука. А состояние $1 + 1\cdot\psi_1(\mathbf{r}_1)$ означает, что мы имеем состояние - суперпозицию состояния без частиц и стостояния с одной частицей. Состояния $0 = 0 + 0\cdot\psi_1(\mathbf{r}_1)+\ldots$ вообще быть не может. Что оно означет? Поскольку первый член нулевой, значит в системе точно не $0$ частиц (ср. с $0 + 1\cdot\psi_1(\mathbf{r}_1)$). Поскольку второй член также нулевой, значит в системе точно не одна частица. И т. д. Получаем противоречивое состояние, нефизическое.

-- 01.05.2014, 11:09 --

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что для "добавления ещё одной частицы в заданной точке" (и нигде кроме этой точке):
$\psi_{n+1}(\mathbf{r}_i,\mathbf{r})=\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)=\psi_n(\mathbf{r}_i)\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$,
т.е. в данном случае оператор рождения - суть умножение функцию $n$ частиц $\psi_n(\mathbf{r}_i)$, на дельта функцию координаты новой $n+1$-вой частицы в месте $\mathbf{r}_0$?

Мы можем ввести такой оператор рождения. Но ценность такого оператора рождения для фермионов оказывается не очень велика, так как он не сохраняет нечётность функции по отношению к перестановке частиц, как и было вами подмечено далее. Но это не значит, что мы не можем им пользоваться! Выбросить нефизические состояния с двумя и более фермионами в одном положении можно и потом. Но удобнее использовать всё-таки более "интеллектуальный" оператор, который учитывает симметрию.

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Допустим, уже существующая частица - протон (ее волновая ф-я, например сконцентрирована вокруг начала координат).
Теперь мы вводим размазанный в пространстве электрон "как нам захочется" описанным образом.... Но что гарантирует согласованность?

Ничего не гарантирует. Выбор, какие из возможных состояний будут реализованы на самом деле, будет осуществлён позже. Для этого надо знать гамильтониан. Но чтобы этот гамильтониан записать нам уже надо иметь пространство возможных (некоторые из которых могут быть на самом деле невозможными) состояний.

-- 01.05.2014, 11:22 --

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Но по определению выше - новая частица вводится так что двухчастичная волновая ф-я факторизируется - уже по построению?

Да, но суммируя разные функции мы можем получить и нефакторизуемые состояния: $\hat{a}^+_{\mathbf{u}}\psi_n(\mathbf{r}_i) + \hat{a}^+_{\mathbf{v}}\varphi_n(\mathbf{r}_i) = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{u})\psi_n(\mathbf{r}_i) + \delta(\mathbf{r} - \mathbf{v})\varphi_n(\mathbf{r}_i)$.

-- 01.05.2014, 11:29 --

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Тот же самый затык как и выше: операторы рождения-уничтожения, вроде переводят друг в друга объекты "разного типа" (яблони в груши)?
По аналогию с векторов (т.к. в некоем смысле функция - суть бесконечномерный вектор) - это вроде как если бы переводить n-мерные векторы в n+1 и n-1 мерные соответно?

Нет, оно переводит не груши в яблоки, а одни наборы фруктов в другие. Представьте тарелку с некоторым количеством яблок и груш и робота, который имеет большой, практически неограниченный запас яблок. Всё, что умеет делать этот робот - это класть по команде яблоко на тарелку. Этот робот - оператор рождения яблока. Несложно также преставить робота - оператора рождения груши, робота - оператора уничтожения яблока, робота - оператора рождения суперпозиции яблока и груши (кладёт в тарелку половину яблока и половину груши) и т. д.
Кстати, возвращаясь к предыдущему. Если вы - фермион и ваши взгляды не приемлят более одного яблока в тарелке, то вы всё ещё можете пользоваться этими роботами, просто это надо делать аккуратно. Но удобнее будет воспользоваться более специализированными моделями, тем более что они не так и сложны. А вот если у вас есть друг - протон, из-за взаимодействия с которым вы приемлите только очень хитрые конфигурации - узоры из фруктов, то построить специализированного робота будет очень не просто, и пока вы этого не сделаете, придётся осторожно пользоваться теми, что есть. Самому впрочем напрягаться не придётся - для этого есть гамильтониан.

[warlock66613]

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Выходит операторы рождения-уничтожения - это что-то типа "антипроектора"-"проектора" - соответно добавляющего и уменьшающего информацию о системе?

Нет, ничего общего. Я попытался объяснить выше почему.

-- 01.05.2014, 11:48 --

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Если видим оператор уничтожения $\hat{a}^-_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)$ - то вроде все понятно - мы просто интегрируем по соответной частицы убирая ее таким образом из волновую функцию.

Нет. Мы ничего не интегрируем. Мы именно убираем, выкидываем частицу со всей её волновой функцией из суммы (той самой формальной суммы). Убираем частицу из вселенной, как будто её никогда и не было. Причём такой частицы (именно в точке $\mathbf{r}_0$ - это здесь конкретная точка, а не условная переменная) в исходном состоянии могло и не быть! Чтобы как-то учесть эту ситуацию полагают, что в таком случае в результате получается $0$ (то самое нефизическое состояние - помните?)

-- 01.05.2014, 11:52 --

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Однако если видим оператор рождения $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)$ то вроде значок $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}$ неоднозначeн - откуда нам знать как именно конкретно добавляется новая частица?

Ну, очевидно, что этот оператор добавляет частицу именно в точку $\mathbf{r}_0$. Но он может это делать по-разному (например, он может рождать частицу не в виде дельта-функции, а в виде как-то размазанного вокруг этой точки пятна). Точно это можно узнать из явного вида оператора $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}$. Он должен быть где-то определён.

[Alex-Yu]

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Хотелось бы разобраться в чем смысл "формальной суммы" $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)+\ldots$

В том, что вполне может быть состояние с неопределенным числом частиц. Например излучение лазера весьма близко к когерентному глауберовскому состоянию. А это состояние --- как раз суперпозиция состояний с различным числом фотонов. Так что сумма не такая уж и "формальная". Правильней сказать, что многочастичное пространство -- это линейная оболочка n-частичных пространств. Общий принцип квантовой физики: если может быть одно состояние (например с одним фотоном) и другое (например с двумя фотонами), то может быть и суперпозиция этих двух состояний. Так что переход к многочастичному пространству (линейной оболочке n-частичных) просто совершенно обязателен в общем случае. Ну, бывают очень специальные случаи, когда число частиц сохраняется. Тогда состояния с определенным числом частиц имеют некоторый, ограниченный, смысл. Вот эти, и только эти состояния можно описать волновой функцией. И не более того.

Кстати, если частиц вообще нет, то это тоже состояние. Но, скажем так, "бесструктурное": у него нет никаких характеристик, кроме того, что оно безчастичное (вакуум). Поэтому никакой функциональной зависимости от координат здесь вообще нет и быть не может, частиц-то вообще в таком состоянии нету, координаты ЧЕГО должны быть в виде аргумента? Представлять вакуум как функцию координат --- полная бессмыслица! Может быть только амплитуда того, что вакуум, и ничего более. Впрочем, в "продвинутых" теориях появляется вырожденный вакуум, там ситуация более сложная.

И еще. Происхождение вопроса понятно, и его причина в ошибке. Ошибка заключается в том, что ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, что состояние системы можно описать волновой функцией. А это, вообще говоря, не верно. Бывают состояния, которые как раз и не описываются (волновой) функцией некого набора координат. Правда, увы, соответсвующие вектроры пространства состояний иной раз тоже называют "волновой функцией". Но это, строго говоря, просто неудачный жаргон, это не функция в математическом смысле. Это вектор некого линейного пространства. Множество функций координат --- слишком "бедный по своим свойствам" математический объект, чтобы им можно было описать любые квантовые состояния.

[Munin]

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Вопросы:
- Правильно ли я понимаю, что в этой сумме $c_0$ - амплитуда вероятности чтобы система оказалась в состоянии без частиц, $c_1$ - амплитуда вероятности чтобы система оказалась в одночастичном состоянии $\psi_1(\mathbf{r}_1)$, $c_2$ - амплитуда вероятности чтобы система оказалась в двухчастичном состоянии $\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ и так далее?

Да.

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

- Сбивает с толку сумма функций над разного к-ва аргументов; они как бы являются "объектами разных типов"? (как яблони и груши).

Именно поэтому, сумма и формальная. Если выражаться математически, то мы берём прямую сумму разных векторных пространств. Объекты $\psi_n(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_n)$ нас здесь интересуют не как функции, а как векторы векторного пространства. Ну и дальше, мы можем "сложить" прямую и плоскость, расположив их перпендикулярно, и натянув на них 3-мерное пространство. Точно так же складываются и здесь пространства разных функций.

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Конечно, я могу попытаться додуматься кое-что - по аналогию с векторов - что например можно суммировать векторов разных размерностей просто дописав нужное к-во нулей для координат векторов меньших размерностей; условно приводя таким образом все векторы к "одного типа" (максимальной размерности).

Если вы берёте прямую сумму, то векторы вы должны "дописывать" так:
$\mathbf{v}_1\to(\mathbf{v}_1,0,0,0,\ldots)$
$\mathbf{v}_2\to(0,\mathbf{v}_2,0,0,\ldots)$
$\mathbf{v}_3\to(0,0,\mathbf{v}_3,0,\ldots)$

А то, что вы дальше написали - неправильно.

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

В случае функций, аналогично можно дописать единичные факторы:
$c_0\psi_0I(\mathbf{r}_1)I(\mathbf{r}_2)+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)I(\mathbf{r}_2)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$
где функции I суть единичные константы $I(\mathbf{r}_1)=I(\mathbf{r}_2)=1$ ; или даже так $I(\mathbf{r}_1)=e^{-ik\mathbf{r}_1}$ (чтобы $I^{*}I=1$).

Нет. Функция $\psi_0$ просто не имеет никакой зависимости от $\mathbf{r}_1,$ и к ней просто нельзя задать вопрос "в какой координате находится частица 1?". Частицы 1 просто нет, нет нигде. Поэтому, эти факторы вы придумали неправильно.

Пока хватит, попробуйте это переварить.

-- 01.05.2014 19:08:59 --

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

- Полностью непонятен нулевой член ("сдвига" при отсутствии частиц)... Если допустим все коеффициенты $c_i$ нулевые кроме нулевого который равен единице - выходит что система без частиц, находится в состоянии $\psi_0$ где это, некая константа - или как? Так по мне кажется состояние без частиц, должно быть просто $\psi_0==0$, каков смысл тогда нулевой член писать вообще?

Да, $\psi_0$ - это константа, она ни от чего не зависит. Но это не ноль, это единица. Ведь мы же можем написать для 0-частичного состояния нормирующий интеграл $\idotsint\psi_0^*\psi_0\,dq^0=1,$ и отсюда сразу видно, что $|\psi_0|=1.$ Ну а фазу можно приравнять нулю усилием воли, вынеся её при желании в $c_0.$ Или наоборот - не важно, куда её гонять.

(Оффтоп)

Для красоты, лучше писать не ==, а \equiv - будет значок $\equiv.$

[manul91]

warlock66613, Alex-Yu, Munin - пребольшое спасибо за разъяснения.

warlock66613 в сообщении #857499 писал(а):

учше вернитесь к яблокам и грушам: складывая "$2$ яблока" и "$3$ груши" мы получаем "$2$ яблока и $3$ груши", комплексный объект, который можно назвать "набор фруктов", и который не является ни яблоком ни грушей. Так и элемент пространства Фока не является функцией какого-либо числа аргументов, он является набором, суммой функций с разным числов агрументов, взятых с весовыми коэффициентами.

Т.е. эта "формальная сумма" разночастичных функций - это просто представление абстрактного "объекта" (тарелка фруктов) в "пространстве разночастичных функций".

Некий "гипервектор", вводимый по той же самой лестнице как и в обычной КМ вводились состояния-суперпозиции для одной частицы ("там" и "здесь", или "вверх" и "вниз") которые также записываются в виде взвешенной суммы.

Ясно (на уровне слов, но черт в деталей).
К этому надо привыкнуть.

Но ведь возможны разные состояния например "чисто-одной частицы" $\psi'_1(\mathbf{r}_1)$, $\psi''_1(\mathbf{r}_1)$.
Тогда как выбирается "базис" конкретных разно-частичных функций $\psi_0$, $\psi_1(\mathbf{r}_1)$, $\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ для конкретного представления $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ ?

Эти "базисные функции" $\psi_0$, $\psi_1(\mathbf{r}_1)$, $\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ - считаются объектами "ортогональными" друг друга (любое состояние "чисто-одной частицы", ортогонально любого состояния "чисто-двух частиц") - или нет, или не всегда?
Скалярное произведение на них есть? И если да - то какое.

Кстати, когда мы говорим про суперпозицию состояний с разного к-ва частиц $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ - здесь имеются ввиду реальные а не виртуальные частицы, верно?

Не совсем понятно как суперпозиция разного количества частиц стыкуется с законов сохранения, например заряда.
Бывает взвешенная суперпозиция из одного, двух и трех электронов?
Если да - как это стыкуется с сохранением заряда? Каков "заряд" состояния такой суперпозиции (или он тоже "размазан" с разных вероятностей по величин 0, 1е, 2е?)
Если нет - существует подобие "гамильтониана" на уровне на котором такие несовместимые состояния с разным суммарным зарядом "фильтруются"? Или для них мы просто такие суперпозиции "не пишем", потому что знаем что "нельзя"?

Абстрактная конструкция "тарелки фруктов" - $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ - имеет прямой эксперименальный смысл/интерпретация - типа "с вероятности $c_0^*c_0$ на экране не будет вспышек, с вероятности с вероятности $c_1^*c_1$ будет одна вспышка, и с вероятности $c_2^*c_2$ будут две вспышки"?

Кстати у этого объекта ("суперпозиции разночастичных состояний" - "тарелки фруктов") - есть отдельное имя ("вектор пространства Фока"?) Или она тоже называется "вектором состояния"....

warlock66613 в сообщении #857499 писал(а):

Нет, оно переводит не груши в яблоки, а одни наборы фруктов в другие. Представьте тарелку с некоторым количеством яблок и груш и робота, который имеет большой, практически неограниченный запас яблок. Всё, что умеет делать этот робот - это класть по команде яблоко на тарелку. Этот робот - оператор рождения яблока.

Но, в записи $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)$ я вижу что оператор действует на функцию "чисто $n$ частиц" $\psi_n(\mathbf{r}_i)$ а не на "набора фруктов" типа $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$.
С другой стороны, понятно что функцию "чисто n частиц" можно представить как суперпозицию разночастичных функций где все коеффициенты нули кроме перед члена $\psi_n(\mathbf{r}_i)$.
Или я не понимаю запись?
Кстати, в чем смысл индекса $i$ (индекс $n$ вроде по контексту понятно, что имеется ввиду функция $n$ частиц). Хотя функция $n$ частиц, вроде должна обозначаться как $\psi_n(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_n)$ а не $\psi_n(\mathbf{r}_i)$?

warlock66613 в сообщении #857499 писал(а):

Да, но суммируя разные функции мы можем получить и нефакторизуемые состояния: $\hat{a}^+_{\mathbf{u}}\psi_n(\mathbf{r}_i) + \hat{a}^+_{\mathbf{v}}\varphi_n(\mathbf{r}_i) = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{u})\psi_n(\mathbf{r}_i) + \delta(\mathbf{r} - \mathbf{v})\varphi_n(\mathbf{r}_i)$.

Гм...
А такое можно как нибудь записать в виде только "произведения" некоего "условного оператора рождения" на "тарелки фруктов" (но без суммы):
(некий оператор рождения)*(некая тарелка фруктов) = $\delta(\mathbf{r} - \mathbf{u})\psi_n(\mathbf{r}_i) + \delta(\mathbf{r} - \mathbf{v})\varphi_n(\mathbf{r}_i)$ ?
Или все же выходит, воздействием оператором рождения непосредственно на "готовой функции состояния n частиц" можно напрямую получать только "состояние n+1 частиц", факторизированное по отношению "готовой функции n частиц" и "состояния n+1-вой частицы"?

Как я понимаю, эти операторы рождения/уничтожения - абстрактно обобщенные значки, пока им не придан конкретный смысл из контекста (чтобы было понятно, как они эффективно добавляют или убирают частиц).

Стоит взять некоей конкретики как пример.

Возьмем конкретное, "чисто двухчастичное состояние"; например суперпозиция двух различимых частиц (запутанное по координатой):
$c_1\delta(\mathbf{r_1} - \mathbf{u})\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{v}) + c_2\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{u})\delta(\mathbf{r_1} - \mathbf{v})$
Воздействуем на него "оператором уничтожения" одной частицы, скажем той чьи координаты обозначены $r_1$. Получим... что именно? И как? Каков конкретный вид оператора, как "считать"?

Далее, аналогично возьмем "чисто одночастичное состояние" (частица 1 конкретно в координатой u)
$\delta(\mathbf{r_1} - \mathbf{u})$
Воздействуем на него "оператором рождения" еще одной частицы. Получим... что? Каким оператором нужно воздействовать, чтобы получить спутанное "чисто двухчастичное" состояние выше (и как именно)? Или одним оператором нельзя, нужно еще и сумма т.к. спутанное состояние несепарабельно?

[Munin]

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что для "добавления ещё одной частицы в заданной точке" (и нигде кроме этой точке):
$\psi_{n+1}(\mathbf{r}_i,\mathbf{r})=\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)=\psi_n(\mathbf{r}_i)\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)$,
т.е. в данном случае оператор рождения - суть умножение функцию $n$ частиц $\psi_n(\mathbf{r}_i)$, на дельта функцию координаты новой $n+1$-вой частицы в месте $\mathbf{r}_0$?

Да, вы правы. Допишу-ка я это в свой исходный пост.

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

- Кажется странным чтобы мы могли так с потолка вводить любую новую частицу, там где нам захочется - при уже существующих частиц. Что гарантирует согласованность? (например, мы могли бы ввести фермиона поверх существующего фермиона в том же самом состоянии - таким образом записав бессмыслицу?)

Да, Фейнман на эту тему тоже иронизировал. Надо понимать, что это операция пока не физическая ("мы создаём частицу в пространстве"), а математическая - "мы конструируем состояние МОНСТРА из другого состояния МОНСТРА (другого МОНСТРА!)". Аналогично тому, как мы учимся записывать многочлены, приписывая к ним слагаемые вида $c_ix^i$ в школьной алгебре. Сначала научимся записывать, потом будем учиться с ними работать.

Насчёт фермионов и самосогласованности: да, вы правы. Я пока описал простейшую конструкцию вторичного квантования нетождественных частиц. Для тождественных ситуация просто чуть-чуть замысловатей: оператор рождения мы делаем такой, чтобы он создавал уже нужным образом симметризованное состояние. Как-то так:

$$\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)=C\sum\limits_{k}(-1)^{\sigma}\psi_n(\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_{k-1},\mathbf{r}_{k\to k+1},\ldots,\mathbf{r}_{n\to n+1})\delta(\mathbf{r}_k-\mathbf{r}_0),$$

в том смысле, что мы вставляем новую частицу на место $k$-й частицы, а все остальные "раздвигаем", чтобы освободить ей место. $C$ здесь нормировочный множитель, и вообще вся сумма - стандартная (анти)симметризованная сумма для фермионов или бозонов.

Эти детали я опустил для простоты и скорости изложения. В учебниках они все есть.

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

Допустим, уже существующая частица - протон (ее волновая ф-я, например сконцентрирована вокруг начала координат).
Теперь мы вводим размазанный в пространстве электрон "как нам захочется" описанным образом.... Но что гарантирует согласованность? Например если мы "введем" электрон так чтобы его функция амплитуды вероятности была как у свободной частицы - очевидно это будет несогласованно.

Тут как раз никакой несогласованности быть не может. Просто то, что мы сконструируем, будет неким двухчастичным электрон-протонным состоянием. Это не будет собственным состоянием атома водорода, ну и что? Нам плевать. Из собственных состояний всегда можно собрать такое, как из базиса - ведь это тоже, по сути, базис, только координатный.

Мы можем задать в атоме водорода электрон с волновой функцией, как у свободной частицы. Никакой несогласованности тут не будет, а будет только то, что дальше этот электрон не будет двигаться, как свободная частица. Он начнёт как-то рассеиваться на протоне, полетят волны в разные стороны. Но это уже следующая задача, вопрос эволюции состояния (МОНСТРА, или хотя бы двухчастичного состояния) со временем. Её мы пока не затрагиваем.

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

- Тот же самый затык как и выше: операторы рождения-уничтожения, вроде переводят друг в друга объекты "разного типа" (яблони в груши)?
По аналогию с векторов (т.к. в некоем смысле функция - суть бесконечномерный вектор) - это вроде как если бы переводить n-мерные векторы в n+1 и n-1 мерные соответно?
Выходит операторы рождения-уничтожения - это что-то типа "антипроектора"-"проектора" - соответно добавляющего и уменьшающего информацию о системе? (прощу прощения за талибанский)
Эти операторы линейны - верно, если да - почему? (для уничтожения-"проектора" это интуитивно понятно - для рождения-"антипроектора" однако нет - так как тут есть неоднозначность как именно добавляется новая частица)?

Да, это "проектор-антипроектор". НО ещё, они поворачивают результат "проекции-антипроекции" в пространстве формальной суммы, так чтобы он не лежал на том же месте.

Для "антипроектора" неоднозначности нет: у оператора рождения есть параметр, который принято писать нижним индексом. Это то состояние, в котором рождается новая частица. Поэтому он просто поворачивает $n$-мерную плоскость в $n+1$-мерном пространстве в наклонное положение. В заданное наклонное положение, одно из множества возможных. Очевидно, это тоже линейное действие.

manul91 в сообщении #857491 писал(а):

- То же самое, только слегка сбоку - про интерпретацию значков операторов рождения/уничтожения, когда читаем текст.
Если видим оператор уничтожения $\hat{a}^-_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)$ - то вроде все понятно - мы просто интегрируем по соответной частицы убирая ее таким образом из волновую функцию.
Однако если видим оператор рождения $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)$ то вроде значок $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}$ неоднозначeн - откуда нам знать как именно конкретно добавляется новая частица? Это должно подразумеваться из контекста, или как?

Повторяю, всё указано в индексе оператора $\mathbf{r}_0.$ В данном случае, поскольку в индексе стоит $\mathbf{r}_0,$ то подразумеваются операторы, имеющие вид $\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0).$ И для оператора уничтожения, и для оператора рождения. То есть, оператор уничтожения не просто "интегрирует по соответственной частице", а он смотрит её наличие именно в заданной точке, в $\mathbf{r}_0.$ А оператор рождения знает, как конкретно добавляется новая частица - именно в точке $\mathbf{r}_0,$ как дельта-функция.

Мы могли бы написать другие индексы у операторов рождения и уничтожения. Они бы добавляли частицы в других состояниях. Все их можно записать как линейные комбинации от координатных операторов рождения-уничтожения:

$$\hat{a}_{f(\mathbf{r})}=\int f(\mathbf{r})\hat{a}_{\mathbf{r}}\,d\mathbf{r}.$$

По сути, я этот интеграл уже писал. Например, если мы берём состояние, имеющее определённый импульс $\mathbf{k},$ то мы берём в качестве $f(\mathbf{r})$ собственную функцию оператора импульса - это плоская волна - и получаем то, что называется $\hat{a}_{\mathbf{k}}.$

И ещё. По поводу нотации. Операторы рождения-уничтожения для поля - практически то же самое, что операторы повышения-понижения для задачи осциллятора. Но обозначать их принято слегка по-разному: $\hat{a}^+,\hat{a}^-$ - операторы повышения-понижения, $\hat{a}^+,\hat{a}$ - операторы рождения-уничтожения. "Плюсик" во втором случае - это не настоящий "плюс", а происходит из значка эрмитового сопряжения $\hat{a}^\dagger,$ просто постепенно его все стали писать "по-жаргонному" как плюсик (мелом на доске вообще нет особой разницы). В некоторых старых или особенно педантичных книгах до сих пор пишут $\hat{a}^\dagger.$

[Alex-Yu]

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Возьмем конкретное, "чисто двухчастичное состояние"; например суперпозиция двух различимых частиц (запутанное по координатой):
$c_1\delta(\mathbf{r_1} - \mathbf{u})\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{v}) + c_1\delta(\mathbf{r_2} - \mathbf{u})\delta(\mathbf{r_1} - \mathbf{v})$
Воздействуем на него "оператором уничтожения" одной частицы, скажем той чьи координаты обозначены $r_1$. Получим... что именно?

Получим одночастичную функцию, зависящую только от одной координаты.

На самом деле нужно просто писать правильно, а не ублюдочно (хотя ублюдочная запись и почти общепринята). На самом деле одночастичное состояние это

$$ \int \psi({\bf r})|{\bf r}\rangle d^3{\bf r} $$

а вовсе не просто $\psi({\bf r})$. Аналогично для двух частиц

$$ \int \psi({\bf r,r'})|{\bf r,r'}\rangle d^3{\bf r}d^3{\bf r'} $$

И т.д.

Просто если число частиц фиксировано, то запись принято упрощать, работая непосредственно с коэффициентами разложения (например $\psi({\bf r})$ в одночастичном случае). Все орты с разным числом частиц (например $|{\bf r}\rangle$ и $|{\bf r,r'}\rangle$ ) ортогональны по определению. В частности вакуумный орт (базисный вектор) всего один, в отличие от одночастичных ортов, которых целый континуум разных (что и индексируется аргументом волновой функции). Двухчастичных базисных векторов --- "континуум в квадрате" (два континуальных индекса) и т.д. Хотя математически "континуум в квадрате" --- это тоже просто континуум по мощности множества. Но это здесь не важно.

Квантовый оператор это вовсе не отображение одной функции в другую функцию, это отображение одного вектора (состояния) в другое состояние. Так что, к примеру, утверждение, что оператор импульса это градиент (с точностью до множителя), строго говоря, не верно. Хотя в одночастичном случае вполне можно свести операции над векторами к операциям над коэффициентами разложения (волновыми функциями). Вот тогда, и только тогда, импульс --- это градиент. В том смысле, что если сделать градиент над коэффициентами и образовать из этих коэффициентов вектор, то получится результат применения оператора импульса.

Вся квантовая механика в традиционном изложении (с волновыми функциями, понимаемыми именно как функции в математическом смысле) --- это запудривание мозгов, которое потом, при переходе в к фоковскому пространству, приходится мучительно "распудривать". Печально, но лично у меня нет надежды, что больше никто не станет читать, например, Ландау-Лифшица т.3 ДО ТОГО, как прочитаны "Принципы" Дирака. Как я много-много лет тому назад. Пока Дирака не прочитал, в мозгах был полный бардак, все понимал абсолютно неверно! По смыслу неверно... Дирака нужно читать сначала! И лишь ПОТОМ можно и нужно читать Ландау, уже понимая довольно УСЛОВНЫЙ СМЫСЛ написанных там формул.

[Munin]

(Оффтоп)

warlock66613 в сообщении #857499 писал(а):

Нет, оно переводит не груши в яблоки, а одни наборы фруктов в другие. Представьте тарелку с некоторым количеством яблок и груш и робота, который имеет большой, практически неограниченный запас яблок. Всё, что умеет делать этот робот - это класть по команде яблоко на тарелку. Этот робот - оператор рождения яблока. Несложно также преставить робота - оператора рождения груши, робота - оператора уничтожения яблока, робота - оператора рождения суперпозиции яблока и груши (кладёт в тарелку половину яблока и половину груши) и т. д.

По-моему, здесь аналогия немного сломалась. Оператор рождения был бы таким действием: взять с тарелки $n$ яблок, и положить $n+1$ грушу.

(Оффтоп)

Alex-Yu в сообщении #857532 писал(а):

Правильней сказать, что многочастичное пространство -- это линейная оболочка n-частичных пространств.

Правильней всё-таки - прямая сумма. То есть, $n$-частичные пространства между собой не перекрываются, даже если наборы частиц в них имеют непустое пересечение.

Alex-Yu в сообщении #857532 писал(а):

И еще. Происхождение вопроса понятно, и его причина в ошибке. Ошибка заключается в том, что ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ, что состояние системы можно описать волновой функцией. А это, вообще говоря, не верно.

+1. Да, тут нужно расширить понимание от волновой функции к более абстрактному вектору состояния.

-- 01.05.2014 20:12:54 --

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Ясно (на уровне слов, но черт в деталей).
К этому надо привыкнуть.

Привыкайте. Это важный этап. Не торопитесь. Мысленно "поиграйте" с этим объектом, попробуйте пописать простейшие формулы туда-сюда и попонимать их смысл.

-- 01.05.2014 20:51:11 --

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Эти "базисные функции" $\psi_0$, $\psi_1(\mathbf{r}_1)$, $\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ - считаются объектами "ортогональными" друг друга (любое состояние "чисто-одной частицы", ортогонально любого состояния "чисто-двух частиц") - или нет, или не всегда?
Скалярное произведение на них есть? И если да - то какое.

Да, ортогональны - всегда. Скалярное произведение - просто формально пишем

$$c_0^*c_0'+c_1^*c_1'(\psi_1,\psi_1')+c_2^*c_2'(\psi_2,\psi_2')+\ldots$$

(если $\psi_0\equiv 1$).

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Кстати, когда мы говорим про суперпозицию состояний с разного к-ва частиц $c_0\psi_0+c_1\psi_1(\mathbf{r}_1)+c_2\psi_2(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2)$ - здесь имеются ввиду реальные а не виртуальные частицы, верно?

Слова "реальные" и "виртуальные" надо отложить на потом. Не пытайтесь запихать в голову всё сразу.

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Не совсем понятно как суперпозиция разного количества частиц стыкуется с законов сохранения, например заряда.
Бывает взвешенная суперпозиция из одного, двух и трех электронов?

Закон сохранения заряда - означает, что заряд сохраняется во времени. Значит, такая суперпозиция должна развиваться во времени так, что каждый её "этаж" во времени остаётся на своём "этаже". Мы приписываем этим этажам разные заряды: 0 частиц - заряд 0, 1 частица - заряд $e,$ 2 частицы - заряд $2e,$ и так далее. Поэтому закон сохранения заряда запрещает этажам переходить друг в друга.

Если мы учитываем не только электроны, но и другие заряженные частицы (например, мюоны или позитроны), то у нас оказывается, что один и тот же электрический заряд имеют несколько разных "этажей". Например, заряд 0 имеет этаж "0 частиц", и его же имеет этаж "1 электрон и 1 позитрон". Значит, закон сохранения заряда не запрещает такие переходы, в которых возникает пара "электрон-позитрон" из ничего, или наоборот, такая пара существует, и потом исчезает. Это уже реальные КТП-шные процессы рождения пары и аннигиляции.

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Каков "заряд" состояния такой суперпозиции (или он тоже "размазан" с разных вероятностей по величин 0, 1е, 2е?)

Да, именно. И число частиц "размазано".

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Если нет - существует подобие "гамильтониана" на уровне на котором такие несовместимые состояния с разным суммарным зарядом "фильтруются"? Или для них мы просто такие суперпозиции "не пишем", потому что знаем что "нельзя"?

Есть такие понятия, как правила суперотбора и сектор суперотбора, но я думаю, грузить ими рановато. Тем более, что я и сам в них почти не разбираюсь :-)

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Кстати у этого объекта ("суперпозиции разночастичных состояний" - "тарелки фруктов") - есть отдельное имя ("вектор пространства Фока"?) Или она тоже называется "вектором состояния"....

Да, есть отдельное имя - вектор пространства Фока. И он же называется вектором состояния.
Вектор пространства Фока $\subset$ вектор состояния.
Волновая функция $\subset$ вектор состояния.
Вектор состояния - это общий термин, для квантового состояния в любом разделе квантовой физики.

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Но, в записи $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0}\psi_n(\mathbf{r}_i)$ я вижу что оператор действует на функцию "чисто $n$ частиц" $\psi_n(\mathbf{r}_i)$

Не путайте. Число частиц - это просто число. А $\psi_n(\mathbf{r}_i)$ - это $n$-частичная волновая функция. Штука более сложная, это комплексная функция в $3n$-мерном пространстве, которое здесь обозначено $\mathbf{r}_i.$

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Хотя функция $n$ частиц, вроде должна обозначаться как $\psi_n(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_n)$ а не $\psi_n(\mathbf{r}_i)$?

Это оно и есть, я так сократил (подразумевается, что $i=1,\ldots,n$). Извините, если было непонятно. Для меня это привычка от тензорных обозначений.

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

А такое можно как нибудь записать в виде только "произведения" некоего "условного оператора рождения" на "тарелки фруктов" (но без суммы):
(некий оператор рождения)*(некая тарелка фруктов) = $\delta(\mathbf{r} - \mathbf{u})\psi_n(\mathbf{r}_i) + \delta(\mathbf{r} - \mathbf{v})\varphi_n(\mathbf{r}_i)$ ?

Да, но для этого сам этот оператор рождения надо задать. И задать его можно как сумму $\hat{a}^+_{\text{некий}}=\hat{a}^+_{\mathbf{u}}+\hat{a}^+_{\mathbf{v}}.$ Просто чтобы не говорить о нём как о "неком", а иметь какой-то конкретный.

manul91 в сообщении #857713 писал(а):

Как я понимаю, эти операторы рождения/уничтожения - абстрактно обобщенные значки, пока им не придан конкретный смысл из контекста (чтобы было понятно, как они эффективно добавляют или убирают частиц).

Нет, если у него написан, например, индекс $\hat{a}^+_{\mathbf{r}_0},$ то это уже конкретный оператор, потому что у него указан смысл: понятно, что он добавляет частицу именно в точке $\mathbf{r}_0,$ и никак иначе.

В физике элементарных частиц часто приходится указывать ещё дополнительную информацию, прежде всего о типе частицы. И тогда операторы рождения-уничтожения просто обозначают именно так же, как называется частица: то есть $\bar{e},e$ - для электронов, $\bar{p},p$ - для протонов, $\bar{\nu},\nu$ - для нейтрино, и т. д. (Здесь вместо $e^\dagger$ пишут $\bar{e},$ потому что кроме эрмитова сопряжения берётся ещё спинорное сопряжение. И одновременно, $\bar{e}$ - обозначение античастицы.) Это я поясняю, если вам захочется читать формулы типа лагранжианов Стандартной Модели. Там участвуют лептоны, кварки, глюоны...

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #857728 писал(а):

Скалярное произведение - просто формально пишем

$$c_0^*c_0'+c_1^*c_1'(\psi_1,\psi_1')+c_2^*c_2'(\psi_2,\psi_2')+\ldots$$

Не надо ничего писать "формально". Потому что смысл этого не ясен. Надо просто дописать базисные орты и просуммировать (проинтегрировать) по индексам. Нет никаких проблем сложить два орта, скажем $|r\rangle$ и $|r,r'\rangle$. Просто некоторые орты нумеруются так (одним индексом), а некоторые --- эдак (несколькими индексами). Но все они объекты с одним смыслом. А вот сумма ФУНКЦИЙ $\psi(r)$ и $\psi(r,r')$ --- это действительно бред сивой кобылы. Но суть в том, что эти функции --- просто коэффициенты разложения.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #857726 писал(а):

Так что, к примеру, утверждение, что оператор импульса это градиент (с точностью до множителя), строго говоря, не верно.

Угу. Он в некотором базисе градиент. И то, градиент по координатам заданной частицы.

Alex-Yu в сообщении #857726 писал(а):

Печально, но лично у меня нет надежды, что больше никто не станет читать, например, Ландау-Лифшица т.3 ДО ТОГО, как прочитаны "Принципы" Дирака.

Зато сейчас многие могут прочитать ФЛФ 8-9 до ЛЛ-3. Тоже неплохо. Ну и, есть некоторые ещё книги на подходе (на волне моды на "квантовые вычисления").

-- 01.05.2014 21:05:13 --

Alex-Yu в сообщении #857739 писал(а):

А вот сумма ФУНКЦИЙ $\psi(r)$ и $\psi(r,r')$ --- это действительно бред сивой кобылы.

Согласен. Все формулы, которые я написал, можно (и стоило бы) переписать в бра-кет виде. Но на переправе коней не меняют, так что пусть сначала что-то уложится в голове в том виде, в каком есть.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #857741 писал(а):

Но на переправе коней не меняют, так что пусть сначала что-то уложится в голове в том виде, в каком есть.

Мне в свое время уложить не удалось. Хотя затратил просто чертову прорву труда. И лишь потом, после правильного дираковского подхода: "ах, вот они о чем, чего же так долго мозги пудрили...".

[Munin]

Ну, не буду настаивать. Посмотрим, как у ТС пойдёт.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #857749 писал(а):

Ну, не буду настаивать. Посмотрим, как у ТС пойдёт.

Посмотрим. Но нужно сказать, что у Дирака НЕ ПРОСТО ДРУГИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ. У него другой (и при этом правильный) СМЫСЛ математических манипуляций.

Конечно, когда уже все понял (но не до того) можно работать и просто с функциями, "формально". Но на этом пути ничего ПОНЯТЬ нельзя. Во всяком случае очень трудно понять. Не знаю как кому, но лично мне в свое время не удалось понять.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #857757 писал(а):

У него другой (и при этом правильный) СМЫСЛ математических манипуляций.

Ну, я надеюсь, при этом всё те же векторы в гильбертовом пространстве? Или как?