Магические кубы

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #853249 писал(а):

По просьбе Stefano (для тестирования программ) я создала аккаунт и ввела три результата
(два из них - мои оригинальные решения, одно - известное решение из Интернета; имею за три решения 3 балла; пока все три решения оптимальные, ибо других - лучших - решений не имеется; два из трёх решений могут быть улучшены; в задаче 2,4 у меня минимальное решение).

Напомню ещё раз, авось будет полезно для потенциальных участников конкурса.

В задаче № 1 для $n=4$ я нашла решение с магической константой $S=900$, но не уверена, что это минимальное решение.
В задаче № 2 для $n=4$ у меня минимальное решение с магической константой $S=1260$.

Сейчас пытаюсь решить задачу № 2 для $n=5$ (ассоциативный куб 5-го порядка из различных простых чисел). Пока есть только приближения к решению (они показаны выше).

Для $n=6$ я ввела известное интернетовское решение (задача № 1, не ассоциативный куб).

[Nataly-Mak]

Наконец-то все элементы в приближении к решению различные и только одна неправильная комплементарная пара - состоит из не простых чисел (помечены звёздочкой):

863  2837  8963  5573  5279 
 3767  4019  4397  5483  5849 
 2423  9173  1949  7013  2957 
 8609  6203  167  113  8423 
 7853  1283  8039  5333  1007* 

 1613  7109  7559  6047  1187 
 8429  557  83  5189  9257 
 3137  2153  7433  5393  5399 
 8753  7883  197  29  6653 
 1583  5813  8243  6857  1019 

 4253  6947  4463  179  7673 
 7583  269  587  8117  6959 
 7499  5783  4703  3623  1907 
 2447  1289  8819  9137  1823 
 1733  9227  4943  2459  5153 

 8387  2549  1163  3593  7823 
 2753  9377  9209  1523  653 
 4007  4013  1973  7253  6269 
 149  4217  9323  8849  977 
 8219  3359  1847  2297  7793 

 8399*  4073  1367  8123  1553 
 983  9293  9239  3203  797 
 6449  2393  7457  233  6983 
 3557  3923  5009  5387  5639 
 4127  3833  443  6569  8543 

Приближение с двумя "дырками"!

Эх, ну где же решение?

Пока буду программировать шаблон № 3, программа по шаблону № 2 работает; решений с 4 "дырками" довольно много, некоторые вот даже с 2 "дырками" получаются.

-- Чт апр 24, 2014 18:47:31 --

Ещё раз тестирую программу проверки ice00, ввожу только что полученное приближение к решению, программа проверки сообщает:

Цитата:

1007 is not a prime number!

Хорошо проверяет, не обманешь

[Nataly-Mak]

По поводу борьбы с "дырками"...
Ничего лучше следующего преобразования пока не придумала:



Это преобразование "плюс-минус" (так я называла аналогичные преобразования магических квадратов) переводит ассоциативный куб 5-го порядка в ассоциативный же куб.

[Nataly-Mak]

Для иностранных коллег пробую писать по-английски (прошу извинить плохой перевод):

I offer patterns for magic cubes of order 4.

Pattern #1 of residues modulo 3:

1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 1 1
2 2 1 1

1 1 2 2
2 1 2 1
1 2 1 2
2 2 1 1

2 2 1 1
1 2 1 2
2 1 2 1
1 1 2 2

2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2

Pattern #2 of residues modulo 5:

2  4  3  1 
1  2  1  1 
1  2  3  4 
1  2  3  4
  
3  4  4  4 
4  2  2  2 
4  3  1  2 
4  1  3  2
  
3  3  1  3 
4  3  4  4 
2  3  4  1 
1  1  1  2
  
2  4  2  2 
1  3  3  3 
3  2  2  3 
4  1  3  2 

Drafting magic cube of order 4 pattern provides a solution quickly.

Это я сейчас запостила на форуме сайта ice00.
Он уже сделал на сайте простенький форум, для обсуждения вполне годится.

Добро пожаловать!

Да, ну вот шаблон №2 для кубов 4-го порядка только что сделала. Решила попробовать новый шаблон, по первому шаблону что-то у меня решения быстро не находятся.
Сейчас запустила сразу обе программы - по шаблону №1 и по шаблону №2.
Ищу решение задачи №1 с магической константой $S=870$. Интересно, какая программа быстрее найдёт решение

Визуальное наблюдение за работой программ даёт основание полагать, что шаблон №2 эффективнее. Но это всего лишь визуальное наблюдение.

[Nataly-Mak]

Программа по шаблону №2 уже нашла очень близкое приближение к решению - всего два элемента повторяются:

7,19,443,401,
71,557,31,211,
331,167,313,59,
461,127,83,199,

23,109,349,389,
379,107,227,157,
439,113,11,307,
29,541,283,17,

223,593,41,13,
359,43,229,239,
47,103,449,271,
241,131,151,347,

617,149,37,67,
61,163,383,263,
53,487,97,233,
139,71,353,307

Программа mertz сообщает об этом решении:

type 1
size 4
71 is not unique
307 is not unique
All Sums = 870

Умная программа

[Nataly-Mak]

Решение с магической константой $S=870$ найдено

Его нашла программа по шаблону №1 за 7,5 часов. Программа по шаблону №2 выдала много приближений с 2 "дырками", но полного решения найти пока не смогла, прервала.

Протестировала программу ice00, как будут понижаться баллы участников при улучшении результатов лидера. Всё сработало
Когда я ввела улучшенное решение, у меня по-прежнему 3 балла, а результат Jarek уменьшился (1,2877 -> 1,2802).
Ну, я надеюсь, что Jarek отыграет это уменьшение

Это можно сделать даже на задаче 1,4: почти уверена, что $S=870$ ещё не минимум для этой задачи. Завтра запущу поиск решения с меньшей магической константой.

И программа mertz решением вполне довольна

type 1
size 4
All Sums = 870

[Nataly-Mak]

И ещё один шаг вперёд: нашла не ассоциативный куб 4-го порядка с магической константой $S=840$.
И снова первая нашла решение программа по шаблону №1, хотя программа по шаблону №2 вроде работает лучше, уже выдала два приближения с 2 "дырками".
Поиск этого решения продолжался менее часа.

Так, иду дальше, пока господа программисты во всём мире соображают, что к чему и зачем нужны этой странной мадам магические кубы из простых чисел

На очереди у меня магическая константа $S=810$, иду с шагом 30.
По первому шаблону константа должна быть кратна 3, по второму - должна быть кратна 5, ну и понятно, что она должна быть чётной.
Интервал, в котором может находиться минимальная магическая констната простого магического куба 4-го порядка из различных простых чисел теперь такой: (576, 840).

Да, решение на сайт ice00, конечно, ввела. Решение принято, результат Jarek ещё чуточку уменьшился.

-- Вс апр 27, 2014 09:18:42 --

Магический куб 6-го порядка из различных простых чисел известен (он есть в Интернете), его магическая константа $S=29610$. Очень большая! Думаю, что минимизация вполне возможна.

Этому магическому кубу соответствует такой щаблон из вычетов по модулю 4:

3  3  3  3  3  3 
 3  1  1  1  1  3 
 3  1  1  3  3  3 
 1  3  1  3  1  1 
 3  3  3  1  1  3 
 1  3  1  3  1  1
 
 3  1  3  3  1  3 
 3  1  3  1  3  3 
 3  1  1  1  1  3 
 3  3  1  3  1  3 
 3  3  3  3  3  3 
 3  1  3  3  1  3
 
 1  1  1  1  3  3 
 1  3  3  3  3  1 
 1  1  3  1  3  1 
 1  1  1  1  1  1 
 3  3  1  3  1  3 
 3  1  1  1  3  1
 
 3  3  1  1  3  3 
 1  1  3  1  3  1 
 3  1  1  1  1  3 
 3  3  1  3  1  3 
 1  3  3  3  3  1 
 3  3  1  1  3  3
 
 3  3  1  3  3  1 
 3  3  3  3  3  3 
 1  1  3  1  3  1 
 1  1  1  1  1  1 
 1  3  1  3  1  1 
 1  3  1  3  3  3
 
 1  3  1  3  1  1 
 3  1  1  1  1  3 
 3  1  1  3  3  3 
 1  3  1  3  1  1 
 3  3  3  1  1  3 
 3  3  3  3  3  3 

Шаблон есть, общей формулы не ассоциативного куба 6-го порядка у меня ещё нет, занималась пока только ассоцитивными кубами.
Ну, общую формулу получить не проблема. Пишем систему уравнений, скармливаем её матпакету и - общая формула готова.

Для ассоциативного куба 6-го порядка из простых чисел надо найти шаблончик.
Такого куба пока не знаю, поэтому шаблон надо сочинить по одному из моих приближённых решений.

[Nataly-Mak]

Взяла построенный мной ассоциативный куб 6-го порядка из различных натуральных чисел:

(Оффтоп)

1231,9163,7043,10967,6619,1787,
7861,4871,8699,4201,4859,6319,
11003,7139,1237,9347,2683,5401,
8279,3203,9869,3011,1381,11067,
7021,1537,9961,4501,10309,3481,
1415,10897,1,4783,10959,8755,

8659,8959,7819,1327,8407,1639,
8677,7771,8989,8393,1649,1331,
6071,4057,7523,5033,7933,6193,
1441,5839,2351,6547,10061,10571,
3659,7537,3421,9847,2393,9953,
8303,2647,6707,5663,6367,7123,

7267,8413,1241,3497,7981,8411,
2249,6781,7273,5377,5189,9941,
9323,6397,4717,7747,1559,7067,
8941,3133,9907,3919,6151,4759,
6911,2623,4589,10613,6721,5353,
2119,9463,9083,5657,9209,1279,

10991,3061,6613,3187,2807,10151,
6917,5549,1657,7681,9647,5359,
7511,6119,8351,2363,9137,3329,
5203,10711,4523,7553,5873,2947,
2329,7081,6893,4997,5489,10021,
3859,4289,8773,11029,3857,5003,

5147,5903,6607,5563,9623,3967,
2317,9877,2423,8849,4733,8611,
1699,2209,5723,9919,6431,10829,
6077,4337,7237,4747,8213,6199,
10939,10621,3877,3281,4499,3593,
10631,3863,10943,4451,3311,3611,

3515,1311,7487,12269,1373,10855,
8789,1961,7769,2309,10733,5249,
1203,10889,9259,2401,9067,3991,
6869,9587,2923,11033,5131,1267,
5951,7411,8069,3571,7399,4409,
10483,5651,1303,5227,3107,11039

Этому кубу соответствует такой шаблон из вычетов по модулю 4:

3  3  3  3  3  3 
 1  3  3  1  3  3 
 3  3  1  3  3  1 
 3  3  1  3  1  3 
 1  1  1  1  1  1 
 3  1  1  3  3  3
  
 3  3  3  3  3  3 
 1  3  1  1  1  3 
 3  1  3  1  1  1 
 1  3  3  3  1  3 
 3  1  1  3  1  1 
 3  3  3  3  3  3
  
 3  1  1  1  1  3 
 1  1  1  1  1  1 
 3  1  1  3  3  3 
 1  1  3  3  3  3 
 3  3  1  1  1  1 
 3  3  3  1  1  3
  
 3  1  1  3  3  3 
 1  1  1  1  3  3 
 3  3  3  3  1  1 
 3  3  3  1  1  3 
 1  1  1  1  1  1 
 3  1  1  1  1  3
  
 3  3  3  3  3  3 
 1  1  3  1  1  3 
 3  1  3  3  3  1 
 1  1  1  3  1  3 
 3  1  1  1  3  1 
 3  3  3  3  3  3

Вполне годится для построения куба из простых чисел.
Всё готово, можно писать программу

-- Вс апр 27, 2014 09:44:29 --

Вот и общая формула ассоциативного куба 6-го порядка в исполнении Xaositect:

Xaositect в сообщении #836259 писал(а):

Но раз уж Вы так настаиваете, то вот что мне выдал матпакет ($xIJK$ --- элемент куба с координатами $I,J,K$ (от 0 до 5, $K$ от 0 до 2), $T$ - сумма двух противоположных элементов. 64 свободных переменных, включая $T$, 45 зависимых):

(Длинно)

$ x000 = 24*T - x111 - x112 - x121 - x122 - x131 - x132 - x141 - x142 - x151 - x152 - x211 - x212 - x221 - x222 - x231 - x232 - x241 - x242 - x251 - x252 - x311 - x312 - x321 - x322 - x331 - x332 - x341 - x342 - x351 - x352 - x411 - x412 - x421 - x422 - x431 - x432 - x441 - x442 - x451 - x452 - x511 - x512 - x521 - x522 - x531 - x532 - x541 - x542 + x550 $

$ x100 = -6*T + x111 + x112 + x121 + x122 + x131 + x132 + x141 + x142 + x151 + x152 + x450 + x451 + x452 $

$ x200 = -6*T + x211 + x212 + x221 + x222 + x231 + x232 + x241 + x242 + x251 + x252 + x350 + x351 + x352 $

$ x300 = -6*T + x250 + x251 + x252 + x311 + x312 + x321 + x322 + x331 + x332 + x341 + x342 + x351 + x352 $

$ x400 = -6*T + x150 + x151 + x152 + x411 + x412 + x421 + x422 + x431 + x432 + x441 + x442 + x451 + x452 $

$ x500 = 3*T - x150 - x151 - x152 - x250 - x251 - x252 - x350 - x351 - x352 - x450 - x451 - x452 + x511 + x512 + x521 + x522 + x531 + x532 + x541 + x542 - x550 $

$ x010 = -6*T + x111 + x112 + x211 + x212 + x311 + x312 + x411 + x412 + x511 + x512 + x540 + x541 + x542 $

$ x110 = -x111 - x112 + x440 + x441 + x442 $

$ x210 = -x211 - x212 + x340 + x341 + x342 $

$ x310 = x240 + x241 + x242 - x311 - x312 $

$ x410 = x140 + x141 + x142 - x411 - x412 $

$ x510 = 9*T - x140 - x141 - x142 - x240 - x241 - x242 - x340 - x341 - x342 - x440 - x441 - x442 - x511 - x512 - x540 - x541 - x542 $

$ x020 = -6*T + x121 + x122 + x221 + x222 + x321 + x322 + x421 + x422 + x521 + x522 + x530 + x531 + x532 $

$ x120 = -x121 - x122 + x430 + x431 + x432 $

$ x220 = -x221 - x222 + x330 + x331 + x332 $

$ x320 = 9*T - x240 - x241 - x242 - x250 - x251 - x252 - x321 - x322 - x330 - x331 - x332 - x340 - x341 - x342 - x350 - x351 - x352 $

$ x420 = 9*T - x140 - x141 - x142 - x150 - x151 - x152 - x421 - x422 - x430 - x431 - x432 - x440 - x441 - x442 - x450 - x451 - x452 $

$ x520 = -9*T + x140 + x141 + x142 + x150 + x151 + x152 + x240 + x241 + x242 + x250 + x251 + x252 + x340 + x341 + x342 + x350 + x351 + x352 + x440 + x441 + x442 + x450 + x451 + x452 - x521 - x522 - x530 - x531 - x532 $

$ x030 = -15*T + x131 + x132 + x140 + x141 + x142 + x150 + x151 + x152 + x231 + x232 + x240 + x241 + x242 + x250 + x251 + x252 + x331 + x332 + x340 + x341 + x342 + x350 + x351 + x352 + x431 + x432 + x440 + x441 + x442 + x450 + x451 + x452 - x530 $

$ x130 = 9*T - x131 - x132 - x140 - x141 - x142 - x150 - x151 - x152 - x430 - x431 - x432 - x440 - x441 - x442 - x450 - x451 - x452 $

$ x230 = 9*T - x231 - x232 - x240 - x241 - x242 - x250 - x251 - x252 - x330 - x331 - x332 - x340 - x341 - x342 - x350 - x351 - x352 $

$ x040 = 3*T - x140 - x240 - x340 - x440 - x540 $

$ x050 = 3*T - x150 - x250 - x350 - x450 - x550 $

$ x001 = -12*T + x111 + x121 + x131 + x141 + x151 + x211 + x221 + x231 + x241 + x251 + x311 + x321 + x331 + x341 + x351 + x411 + x421 + x431 + x441 + x451 + x511 + x521 + x531 + x541 + x551 $

$ x101 = 3*T - x111 - x121 - x131 - x141 - x151 $

$ x201 = 3*T - x211 - x221 - x231 - x241 - x251 $

$ x301 = 3*T - x311 - x321 - x331 - x341 - x351 $

$ x401 = 3*T - x411 - x421 - x431 - x441 - x451 $

$ x501 = 3*T - x511 - x521 - x531 - x541 - x551 $

$ x011 = 3*T - x111 - x211 - x311 - x411 - x511 $

$ x021 = 3*T - x121 - x221 - x321 - x421 - x521 $

$ x031 = 3*T - x131 - x231 - x331 - x431 - x531 $

$ x041 = 3*T - x141 - x241 - x341 - x441 - x541 $

$ x051 = 3*T - x151 - x251 - x351 - x451 - x551 $

$ x002 = -12*T + x112 + x122 + x132 + x142 + x152 + x212 + x222 + x232 + x242 + x252 + x312 + x322 + x332 + x342 + x352 + x412 + x422 + x432 + x442 + x452 + x512 + x522 + x532 + x542 + x552 $

$ x102 = 3*T - x112 - x122 - x132 - x142 - x152 $

$ x202 = 3*T - x212 - x222 - x232 - x242 - x252 $

$ x302 = 3*T - x312 - x322 - x332 - x342 - x352 $

$ x402 = 3*T - x412 - x422 - x432 - x442 - x452 $

$ x502 = 3*T - x512 - x522 - x532 - x542 - x552 $

$ x012 = 3*T - x112 - x212 - x312 - x412 - x512 $

$ x022 = 3*T - x122 - x222 - x322 - x422 - x522 $

$ x032 = 3*T - x132 - x232 - x332 - x432 - x532 $

$ x042 = 3*T - x142 - x242 - x342 - x442 - x542 $

$ x052 = 3*T - x152 - x252 - x352 - x452 - x552 $

А в следующем посте в моём исполнении.
Выбирайте на свой вкус

-- Вс апр 27, 2014 10:29:21 --

Смотрю кино - очень интересное
Сама сценарист, сама режиссёр...
Работают две программы, выдают приближения с 2 "дырками", вот, например:



Выдаётся последний слой куба 4-го порядка (не ассоциативного), на котором программа завершает построение. Где стоят нули - это и есть "дырки", эти два элемента куба "плохие": либо не простые числа, либо повторяющиеся числа.
Элементы в "дырках" уже можно вычислить. В показанном примере ($S=810$) в "дырках" стоят элементы 127 и 143; 127 число простое, значит, оно повторяется.

[Nataly-Mak]

Покажу классический ассоциативный куб 6-го порядка (автор Johnson, 1989 г.):

32 156 199 140 48 76   192 127 53 81 19 179   55 104 12 166 194 120
42 85 26 150 214 134   13 173 186 121 65 93   206 114 70 98 6 157
190 128 54 79 20 180   59 108 7 167 195 115   36 151 200 144 46 74
122 174 184 14 63 94   207 1 71 99 112 161     40 86 135 148 212 30
57 106 116 168 196 8   139 155 201 34 47 75   188 24 52 80 129 178
208 2 72 100 110 159   41 87 133 149 213 28   126 172 182 15 64 92
 
125 153 202 35 45 91   189 4 68 84 130 176        58 107 117 145 215 9
39 88 137 165 193 29   142 170 183 16 62 78      209 21 49 101 111 160
187 5 69 82 131 177     56 105 118 146 216 10    123 154 203 33 43 95
143 171 73 17 66 181   102 22 50 210 109 158     37 197 138 163 89 27
60 211 119 147 103 11  124 152 96 31 44 204      83 3 67 191 132 175
97 23 51 205 113 162    38 198 136 164 90 25    141 169 77 18 61 185

Не так давно был построен. Должна быть соответствующая статья. Можно попытаться найти и прочитать, как Johnson построил этот замечательный кубик.

Кстати, на этом кубе я проверила свою общую формулу для ассоциативного куба 6-го порядка.

-- Вс апр 27, 2014 11:11:18 --

И далее интересные рассуждения об интернетовском кубе 6-го порядка из простых чисел на форуме ПЕН, не буду дублировать:
http://e-science.ru/forum/index.php?s=& ... t&p=429708

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #855613 писал(а):

Смотрю кино - очень интересное
Работают две программы, выдают приближения с 2 "дырками"...
Элементы в "дырках" уже можно вычислить. В показанном примере ($S=810$) в "дырках" стоят элементы 127 и 143; 127 число простое, значит, оно повторяется.

Эта серия закончилась
решение с магической константой $S=810$ найдено.
И снова по шаблону №1! И не очень долго искалось.

-- Вс апр 27, 2014 13:00:16 --

Nataly-Mak в сообщении #850858 писал(а):

Ну, и ассоциативные кубы 6-го порядка из различных простых чисел я строить тоже пыталась. Общую формулу получила.
Применила такой алгоритм: сначала случайная генерация 4-х слоёв куба, затем достраивание первого слоя по общей формуле (6-ой слой определяется по ассоциативности).
Покажу один пример - сгенерированные случайным образом 4 слоя куба: ...

Одно из полученных приближений в этом эксперименте:

31,7963,5843,9767,5419,587,
6661,3671,7499,3001,3659,5119,
9803,5939,37,8147,1483,4201,
7079,2003,8669,1811,181,9867*,
5821,337,8761,3301,9109,2281,
215*,9697,-1199*,3583,9759*,7555*,

7459,7759,6619,127,7207,439,
7477,6571,7789,7193,449,131,
4871,2857,6323,3833,6733,4993,
241,4639,1151,5347,8861,9371,
2459,6337,2221,8647,1193,8753,
7103,1447,5507,4463,5167,5923,

6067,7213,41,2297,6781,7211,
1049,5581,6073,4177,3989,8741,
8123,5197,3517,6547,359,5867,
7741,1933,8707,2719,4951,3559,
5711,1423,3389,9413,5521,4153,
919,8263,7883,4457,8009,79,

9791,1861,5413,1987,1607,8951,
5717,4349,457,6481,8447,4159,
6311,4919,7151,1163,7937,2129,
4003,9511,3323,6353,4673,1747,
1129,5881,5693,3797,4289,8821,
2659,3089,7573,9829,2657,3803,

3947,4703,5407,4363,8423,2767,
1117,8677,1223,7649,3533,7411,
499,1009,4523,8719,5231,9629,
4877,3137,6037,3547,7013,4999,
9739,9421,2677,2081,3299,2393,
9431,2663,9743,3251,2111,2411,

2315*,111*,6287,11069*,173,9655*,
7589,761,6569,1109,9533,4049,
3*,9689,8059,1201,7867,2791,
5669,8387,1723,9833,3931,67,
4751,6211,6869,2371,6199,3209,
9283,4451,103,4027,1907,9839

$K=9870$, $S=29610$.

В решении всего 5 неправильных комплементарных пар, то есть 10 "плохих" элементов куба. При этом два числа из 10 оказались простыми числами (3 и 11069), ну, всё равно мало радости так как комплементарные пары неправильные.
Все элементы в этом кубе различны, все суммы правильные (проверила куб в программе mertz).

Это у меня пока лучшее приближение к решению для ассоциативного куба 6-го порядка из различных простых чисел.
Предполагаю, что ассоциативный куб 6-го порядка с константой ассоциативности $K=9870$ из различных простых чисел существует.

[Nataly-Mak]

Очень интересно!
Магический куб 8-го порядка из простых чисел, приведённый на этой странице
http://www.magic-squares.net/c-t-htm/c_prime.htm

концентрический!

Цитата:

Order-8 Concentric Prime Magic Cube

Это значит, что внутри него содержится, например, магический куб 6-го порядка из простых чисел с магической константой $S=29610$, ещё куб 4-го порядка с магической константой $S=19740$ и ещё, кажется, один куб 4-го порядка (не вникла в подробности).

В связи с этим есть такая идея: берём какой-нибудь из известных магических кубов 4-го порядка и пробуем сделать вокруг него куб 6-го порядка - то бишь концентрический. Другими словами: достроим куб 4-го порядка до куба 6-го порядка.

[Nataly-Mak]

Nataly-Mak в сообщении #854023 писал(а):

Наконец-то все элементы в приближении к решению различные и только одна неправильная комплементарная пара - состоит из не простых чисел (помечены звёздочкой):

863  2837  8963  5573  5279 
 3767  4019  4397  5483  5849 
 2423  9173  1949  7013  2957 
 8609  6203  167  113  8423 
 7853  1283  8039  5333  1007* 

 1613  7109  7559  6047  1187 
 8429  557  83  5189  9257 
 3137  2153  7433  5393  5399 
 8753  7883  197  29  6653 
 1583  5813  8243  6857  1019 

 4253  6947  4463  179  7673 
 7583  269  587  8117  6959 
 7499  5783  4703  3623  1907 
 2447  1289  8819  9137  1823 
 1733  9227  4943  2459  5153 

 8387  2549  1163  3593  7823 
 2753  9377  9209  1523  653 
 4007  4013  1973  7253  6269 
 149  4217  9323  8849  977 
 8219  3359  1847  2297  7793 

 8399*  4073  1367  8123  1553 
 983  9293  9239  3203  797 
 6449  2393  7457  233  6983 
 3557  3923  5009  5387  5639 
 4127  3833  443  6569  8543 

Приближение с двумя "дырками"!

К этому ассоциативному кубу 5-го порядка с 2 "дырками" можно попробовать применить такое преобразование:



чтобы исправить "плохие" элементы.
Конечно, может ничего и не получиться: не удастся найти такой $x$, чтобы все 8 элементов стали простыми числами, принадлежащими нашему массиву чисел (массив этот состоит из комплементарных пар простых чисел с константой комплементарности равной 9406). При этом все 8 элементов не должны повторить ни один из остальных элементов куба.

Такой вот способ борьбы с "дырками"

[Nataly-Mak]

Цитата:

Пригляделась внимательнее к кубу Gakuho Abe



В нём тоже 32 комплементарных пары простых чисел! Только они расположены не так, как должно быть в ассоциативном кубе по определению.

Смотрите:

7+2003=2010
1753+257=2010
1999+11=2010
733+1277=2010

и т.д. в каждом столбце всех слоёв куба.

Хитро построен куб :)
Может быть, есть какое-то преобразование, которое может превратить данный куб в ассоциативный?

Это я писала на ПЕН давно, как только впервые увидела этот кубик.
После того, как разглядела вчера концентрический куб 8-го порядка из простых чисел, поняла, как построен куб Gakuho Abe. Тот же самый принцип окаймления.

Обратите внимание: куб Gakuho Abe не ассоциативный, хотя составлен из 32 комплементарных пар простых чисел с константой комплементарности равной 2010 ($S/2$).
Без труда составляется ассоциативный куб 4-го порядка из различных простых чисел с такой же магической константой (константа ассоциативности $K=2010$).

Метод окаймления хорошо описан в книге Ю. В. Чебракова "Магические квадраты. Теория чисел. Алгебра. Комбинаторный анализ. - С.-Петербург, 1995".
Я изложила этот метод в своей книге
"Волшебный мир магических квадратов" (разумеется, со ссылкой на первоисточник).
Любопытно, что и этот метод тоже вполне годится для магических кубов.

-- Вт апр 29, 2014 10:05:15 --

dmd в сообщении #856598 писал(а):

Метод поиска у меня пока такой. Беру насквозь дырявый куб, состоящий целиком из дырок.
...
и в цикле складываю его со всеми возможными вариантами базисных нулевых кубиков, содержащих четыре 1 и четыре -1.

(Например)

1 0 -1 0
0 0 0 0
-1 0 1 0
0 0 0 0

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

-1 0 1 0
0 0 0 0
1 0 -1 0
0 0 0 0

0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

пытаясь уменьшить количество дырок.

Здорово!
А я вот всего две дырки в кубе 5-го порядка не могу исправить
Вчера попробовала "в лоб" исправить 2 дырки в своём решении с помощью показанного преобразования, ничего не получилось.
У меня много приближений с 4 дырками, есть ещё пара решений с 2 дырками.
Досадно - всего два "плохих" элемента.

[Nataly-Mak]

Магический куб 6-го порядка, построенный методом окаймления, я представляю себе примерно так:



Внутри находится магический куб 4-го порядка (он окрашен зелёным цветом); это построенный мной ассоциативный куб с магической константой $S=19740$, но не эквивалентный кубу, выложенному в Интернете (замечу, что для конкурса эти два решения считаются одинаковыми, так как имеют одинаковую магическую константу).

Если по этой схеме удастся составить куб, он будет иметь магическую константу S+K (S, K - магическая константа и константа ассоциативности куба 4-го порядка, находящегося внутри).
Кстати, именно такую константу имеет известный магический куб 6-го порядка из простых чисел. Не таким ли методом его построили

Чуть-чуть не уместились в скриншот первый и последний слои куба.

[Nataly-Mak]

Максимум, который мне удалось достичь в борьбе с дырками

Исходный ассоциативный куб 5-го порядка с 2 дырками (помечены звёздочкой):

863  2837  8963  5573  5279 
 3767  4019  4397  5483  5849 
 2423  9173  1949  7013  2957 
 8609  6203  167  113  8423 
 7853  1283  8039  5333  1007* 

 1613  7109  7559  6047  1187 
 8429  557  83  5189  9257 
 3137  2153  7433  5393  5399 
 8753  7883  197  29  6653 
 1583  5813  8243  6857  1019 

 4253  6947  4463  179  7673 
 7583  269  587  8117  6959 
 7499  5783  4703  3623  1907 
 2447  1289  8819  9137  1823 
 1733  9227  4943  2459  5153 

 8387  2549  1163  3593  7823 
 2753  9377  9209  1523  653 
 4007  4013  1973  7253  6269 
 149  4217  9323  8849  977 
 8219  3359  1847  2297  7793 

 8399*  4073  1367  8123  1553 
 983  9293  9239  3203  797 
 6449  2393  7457  233  6983 
 3557  3923  5009  5387  5639 
 4127  3833  443  6569  8543 

В результате усиленной борьбы получила решение с одной дыркой:

1409,2837,8963,5573,4733,
3767,4019,4397,5483,5849,
2423,9173,1949,7013,2957,
8609,6203,167,113,8423,
7307,1283,8039,5333,1553,

1613,7109,7559,6047,1187,
8429,557,83,5189,9257,
3137,2153,7433,5393,5399,
8753,7883,197,29,6653,
1583,5813,8243,6857,1019,

4253,6947,4463,179,7673,
7583,269,587,8117,6959,
7499,5783,4703,3623,1907,
2447,1289,8819,9137,1823,
1733,9227,4943,2459,5153,

8387,2549,1163,3593,7823,
2753,9377,9209,1523,653,
4007,4013,1973,7253,6269,
149,4217,9323,8849,977,
8219,3359,1847,2297,7793,

7853,4073,1367,8123,2099,
983,9293,9239,3203,797,
6449,2393,7457,233,6983,
3557,3923,5009,5387,5639,
4673,3833,443,6569,7997*

Всего один "плохой" элемент (помечен звёздочкой), и почти рядом с простым числом, так обидно
Не умею с дырками бороться, не доросла ещё

-- Чт май 01, 2014 09:04:09 --

Думаю над окаймлённым магическим кубом 6-го порядка. Пока у меня такая схема сложилась:



Внутри находится магический куб 4-го порядка (закрашено зелёным цветом); это все известные элементы.
Я пока не знаю, возможно ли в принципе составить окаймлённый магический куб 6-го порядка по такой схеме. Теоретически не исследовала вопрос
Однако вместо 216 неизвестных элементов куба 6-го порядка в этой схеме только 104 переменных.
Сейчас попробую написать систему уравнений, описывающих этот окаймлённый куб; потом попрошу её решить. Интересно, что это будет

-- Чт май 01, 2014 09:16:45 --

Ещё вчера написала программу поиска ассоциативного куба 4-го порядка по шаблону из вычетов по модулю 3:

1 1 2 2
1 1 2 2
2 2 1 1
2 2 1 1

1 1 2 2
2 1 2 1
1 2 1 2
2 2 1 1

2 2 1 1
1 2 1 2
2 1 2 1
1 1 2 2

2 2 1 1
2 2 1 1
1 1 2 2
1 1 2 2

Это очень хороший шаблон, он годится для построения и ассоциативных, и не ассоциативных кубов 4-го порядка. Рекомендую тем, кто решает конкурсную задачу.
По этому же шаблону я построила и все свои не ассоциативные кубы 4-го порядка из различных простых чисел.

Я раньше искала ассоциативные кубы просто по общей формуле, без использования шаблона. Нашла минимальное решение с магической константой $S=1260$ и ещё несколько следующих кубов.
С использованием шаблона программа работает в разы быстрее.
Нашла такую последовательность магических констант ассоциативных кубов 4-го порядка из различных простых чисел:

1260, 1320, 1380, 1428, 1440, 1500, 1560, 1596, 1620

Осталось маленькое теоретическое сомнение: если решение не найдено только по одному шаблону, значит ли это, что его вообще не существует
В общем случае, по-моему, не значит. Однако в этом частном случае, может быть, и значит.