Модель электрического заряда

[lek]

Time в сообщении #852920 писал(а):

Если вычисления ограничены пространством именно кватернионов, значит, речь может идти только о линейных или, максимум, дробно-линейных уравнениях. Когда смотрел по Вашей ссылке, примеров других не линейных уравнений для вещественных кватернионов я не заметил. Если плохо смотрел, прошу привести хоть одно уравнение в кватернионах, не сводящееся к дробно-линейной функции. Желательно здесь и в явном виде.

Надо было глянуть следующую главу, но можно дать выжимку и здесь... Уравнения движения для поля Янга-Миллса в пустоте имеют вид

$$ \partial^{\mu}F_{\mu\nu}+[A^{\mu},F_{\mu\nu}]=0, $$

где антисимметричный тензор

$$ F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}+[A_{\mu},A_{\nu}], $$

и представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для калибровочного потенциала $A_{\mu}$. При рассмотрении евклидовой теорией Янга-Миллса в $\mathbb{R}^{4}$ без ограничения общности можно считать, что калибровочный потенциал, а значит и тензор $F_{\mu\nu}$, являются кватернионными $\mathbb{H}'$-функциями. Выбирая потенциал в виде

$$ A_{\mu}(x)=\frac{1}{2}\frac{x\,\partial_{\mu}\bar{x}-\partial_{\mu}x\,\bar{x}}{1+|x|^{2}},\quad x\in\mathbb{H}, $$

прямым вычислением доказываем, что он удовлетворяет уравнениям движения.

[evgeniy]

Выходит, что без кватернионов решить уравнение Янга-Миллса невозможно, или существует эквивалентная запись решения этих уравнений в комплексной плоскости. Т.е. получается, что решение нелинейного уравнения математической физики возможно только в кватернионах. Это весьма любопытный факт. Теперь надо найти физический смысл решения в кватернионах. Когда я нашел, что решение уравнений математической физики комплексное, в результате долгих раздумий я построил модель комплексного пространства topic80251.html. Нечто аналогичное надо проделать с кватернионами.

[Time]

lek
Извините мое упрямство, но я в приведенном Вами примере вижу только формальную запись нелинейных функций от кватернионной переменной и частный случай нетривиального решения соответствующего уравнения.
Поясню на примере. Известно, что в общем случае задачи трехмерных стационарных течений идеальной жидкости, не могут решаться в терминах, обобщающих на трехмерие методы обычного комплексного потенциала. Однако, за счет особого вида симметрий потока, в частности, при осевой симметрии, методы функций комплексного потенциала обычной комплексной переменной прекрасно работают и можно так же как и на комплексной плоскости, но уже в трехмерном пространстве наслаждаться бесконечным разнообразием нетривиальных решений. Однако задача только формально оказывается трехмерной. Она легко сводится к двум измерениям и тогда, отсутствующие в трехмерии не линейные конформные преобразования евклидовой плоскости, оказываются и тут задействованными по полной. Как только в следующей задаче исчезает специальная симметрия, позволяющая свести ее к двум измерениям, ничего сделать уже нельзя. То есть, формально уравнения записать, конечно, можно, вот только решения найти не удается..
Не могу утверждать однозначно, но в приведенном Вами примере конкретного приложения нетривиального уравнения с кватернионной переменной, проглядывает симметрия, аналогичная в трехмерии, осевой. Не сочите за занудство, я бы хотел увидеть уравнение и его решение для кватернионной переменной, когда нет специальной симметрии, фактически сводящей задачу к двум измерениям. В таких случаях работают не функции кватернионной переменной, а обычной комплексной, с небольшими поправками на четыре измерения. Примерно так же, как в описанных мною трехмерных задачах, обладающих осевой симметрией.
Знаете ли Вы примеры решений уравнения движения для поля Янга-Миллса, записанные в кватернионах, в таких, не обладающих повышенной симметрией, случаях?

[Soshnikov_Serg]

evgeniy в сообщении #852871 писал(а):

Вообще то не достаточно, какие уравнения получаются в результате использования этого Лагранжиана, почему их решение представляется в виде потенциала e/r и где аналогия между источниками и зарядами, одинаковые ли получаются уравнения. Или укажите ссылку в интернете, в которой получаются эти уравнения и каково их решение и где аналогия. В общем распишите во всех деталях Вашу аналогию, может быть и для вас что-то прояснится. Вопрос, эта аналогия качественная или количественная?

Признаться, несколько озадачен на счет уравнений.В общем-то, вполне стандартные уравнения, какие мы имеем в задаче для черной дыры Райснера-Нордстрема. Только тензор энергии-импульса в правой части уравнений Эйнштейна берется со знаком минус.
При варьировании по потенциалам поля скоростей получаем:
$\partial_{\mu}(\sqrt{-g}F^{\mu\nu})=0$
Оно как раз и дает: $A_0=\frac{a}{r}$
Для метрического тензора:
$R_{\mu\nu}-\frac12 g_{\mu\nu} R = -T_{\mu\nu}$
$T_{\mu\nu}=\frac12 g^{\lambda\tau}F_{\mu\lambda}F_{\nu\tau}-\frac18 g_{\mu\nu} F_{\lambda\tau} F^{\lambda\tau}$
Решением последнего является метрика
$ds^2=(1-\frac{r_g}{r}-\frac{a^2}{r^2})dt^2-\frac{dr^2}{1-\frac{r_g}{r}-\frac{a^2}{r^2}}-r^2d\Omega^2$
Или, может я опять что-то не понял? Может, имелось ввиду, как вдали от горловин все это становится аналогом Максвелловской электродинамики? Тут наверно сразу не отвечу. Не готовился к такому вопросу. А вообще - интересный вопрос. Обещаю в ближайшее время подумать.
Про аналогию...
Вот Кулоновская сила: $F=k\frac{q_1 q_2}{r^2}$
Вот сила взаимодействия двух источников: $F=\frac43\pi\rho\frac{Q_1 Q_2}{r^2}$
Q - мощность источников, объем в единицу времени. $\rho$ - плотность. В модели выбирается постоянной. Аналогия - количественная или качественная? По-моему - обе. Поведение объектов должно быть аналогичным, как и аналогичным описывающий количественно их взаимодействие закон

[evgeniy]

Вы изложили принятую точку зрения на взаимодействие электромагнитного и гравитационного поля. Но дело в том, что гравитационный потенциал входит в метрический тензор в виде $g_{00}=1+2\varphi/c^2$. Если вычислить электрический потенциал на бесконечности от тела, то получим формулу для потенциала $a^2/r^2$, что не верно. Значит в формулу для метрического тензора входит квадрат потенциала, что довольно странно. Если вам не лень, проверьте входит квадрат потенциала в формулу для метрического тензора. Дело в том, что при малых поправках к метрическому тензору пространства Минковского, получается волновое уравнение для поправки см. ЛЛ т. II. А волновому уравнению удовлетворяет потенциал, а не квадрат потенциала.

Soshnikov_Serg в сообщении #853043 писал(а):

Вот сила взаимодействия двух источников: $F=\frac43\pi\rho\frac{Q_1 Q_2}{r^2}$

Какие приближения делали при выводе этой формулы. Для не идеальной жидкости она справедлива?

[Soshnikov_Serg]

evgeniy в сообщении #853065 писал(а):

Если вычислить электрический потенциал на бесконечности от тела, то получим формулу для потенциала $a^2/r^2$, что не верно. Значит в формулу для метрического тензора входит квадрат потенциала, что довольно странно.

Нет, электрический потенциал на бесконечности получается нормальным, я его приводил: $A_0=\frac{a}{r}$. А в метрику он действительно входит квадратом. Это же нормально, если метрика определяется плотностью энергии.

evgeniy в сообщении #853065 писал(а):

при малых поправках к метрическому тензору пространства Минковского, получается волновое уравнение для поправки

Но тут наверное вот такое условие будет выполняться: $\frac{a^2}{r^2}<<\frac{r_g}{r}<<1$

evgeniy в сообщении #853065 писал(а):

Какие приближения делали при выводе этой формулы

Неидеальную - не рассчитывал. Там все может существенно поменяться, на сколько я знаю. Вывод формулы можно посмотреть вот тут: ГГД, стр.20-21.

[lek]

evgeniy в сообщении #853013 писал(а):

Выходит, что без кватернионов решить уравнение Янга-Миллса невозможно, или существует эквивалентная запись решения этих уравнений в комплексной плоскости. Т.е. получается, что решение нелинейного уравнения математической физики возможно только в кватернионах. Это весьма любопытный факт.

Речь идет только о евклидовой теории Янга-Миллса в $\mathbb{R}^{4}$. В другой размерности или в неевклидовом пространстве кватернионных решений нет (по крайней мере, я не встречал). Да и в рассматриваемом случае необходимости исключительно в кватернионном формализме нет, поскольку есть альтернативные подходы (матричный формализм, например).

Time в сообщении #853038 писал(а):

Не могу утверждать однозначно, но в приведенном Вами примере конкретного приложения нетривиального уравнения с кватернионной переменной, проглядывает симметрия, аналогичная в трехмерии, осевой.

Верно, $SO(4)$-симметрия.

Time в сообщении #853038 писал(а):

Не сочите за занудство, я бы хотел увидеть уравнение и его решение для кватернионной переменной, когда нет специальной симметрии, фактически сводящей задачу к двум измерениям.

Например, уравнения Нама

$$ \varepsilon_{ijk}\frac{d}{dt}T_{k}+[T_{i},T_{j}]=0, $$

где

$$ T_{1}=-a(t)e_{1},\quad T_{2}=-a(t)e_{2},\quad T_{3}=-b(t)e_{3} $$

и $e_{i}$ - кватернионные единицы. Решение имеет вид

$$ a(t)=\frac{A}{sh(At+B)},\quad b(t)=A\,cth(At+B), $$

где $sh$ и $cth$ - эллиптические функции Якоби, а $A$ и $B$ - произвольные константы. Подробности в статье Ивановой и Попова (там использован матричный формализм, эквивалентный кватернионному). Ссылка здесь, раздел 4.2.

Time в сообщении #853038 писал(а):

Знаете ли Вы примеры решений уравнения движения для поля Янга-Миллса, записанные в кватернионах, в таких, не обладающих повышенной симметрией, случаях?

Нет, не знаю (и не уверен, что они существуют).

[g______d]

lek в сообщении #853084 писал(а):

где $sh$ и $cth$ - эллиптические функции Якоби

Разве конкретно здесь это не просто гиперболические синус и котангенс? Ну т. е. они, конечно, являются частными случаями для $m=1$ ...

[lek]

Да, конечно. Есть решение более общего вида (для произвольного $m$), но я его не стал выписывать.

[Time]

lek в сообщении #853084 писал(а):

Например, уравнения Нама

Правильно ли я понимаю, что в данном случае задача никаким образом не сводится к двум измерениям?

И еще вопрос, можете ли Вы привести непротиворечивые примеры просто неких элементарных функций от кватернионов, более сложных, чем дробно-линейные и никоим образом не сводящиеся к двумерной задаче? Что называется, в явном виде, как это делается в обычном комплексном анализе? Например, дать определение квадратичной и обратной к ней функции квадратного корня. Или, экспоненты и логарифма..

[lek]

Time в сообщении #853278 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что в данном случае задача никаким образом не сводится к двум измерениям?

Напротив, этому решению соответствует плоская кривая в подпространстве $\mathbb{R}^{2}\subset\mathbb{H}'$ с базисом $\{e_{1}+e_{2}, e_{3}\}$.

Timeсообщении #853278 писал(а):

И еще вопрос, можете ли Вы привести непротиворечивые примеры просто неких элементарных функций от кватернионов, более сложных, чем дробно-линейные и никоим образом не сводящиеся к двумерной задаче? Что называется, в явном виде, как это делается в обычном комплексном анализе? Например, дать определение квадратичной и обратной к ней функции квадратного корня. Или, экспоненты и логарифма..

Откровенно говоря, все это находится вне области моих научных интересов. Поэтому сходу не отвечу, а влезать в эту проблематику нет ни времени, ни желания... Тем более, что мы уже сейчас весьма далеко отошли от темы, заявленной ТС.

[evgeniy]

Soshnikov_Serg в сообщении #853079 писал(а):

evgeniy в сообщении #853065
писал(а):
при малых поправках к метрическому тензору пространства Минковского, получается волновое уравнение для поправки Но тут наверное вот такое условие будет выполняться: $\frac{a^2}{r^2}<<\frac{r_g}{r}<<1$

Повторяю, дело в том, что малая поправка к метрическому тензору Минковского должна удовлетворять волновому уравнению. это следует из уравнения ОТО. Т.е. если имеем $g_{lk}=g_{lk}^0+h_{lk}$ и поправка мала, то величина $h_{lk}$ должна удовлетворять волновому уравнению. Т.е. величина $\frac{a^2}{r^2}$ должна быть решением волнового уравнения. Величина гравитационного поля правильная и удовлетворяет волновому уравнению. Аналогично, когда величина $\frac{a^2}{r^2}$ мала она должна удовлетворять волновому уравнению.
Причем в метрический тензор входит не плотность энергии, которая пропорциональна квадрату напряженности поля, а входит квадрат потенциала, что не является плотностью энергии, а ничего не обозначает. Можно конечно отмахнуться от противоречия, тем более, что теория общепризнана, но я так не делаю.

-- Ср апр 23, 2014 11:03:30 --

Time я прочел рекомендованную литературу и в ней описывается комплексная структура. Комплексной структурой называется тензор $J_{MN}$, компоненты которого удовлетворяют.
$J_{MK}J_{KS}=-\delta_{MS}$
Это не определение комплексного кватерниона, а определение комплексной структуры.

[Soshnikov_Serg]

evgeniy в сообщении #853301 писал(а):

малая поправка к метрическому тензору Минковского должна удовлетворять волновому уравнению

Если не принимать во внимание знаки в приведенной мной метрике, то это - известная метрика Райснера-Нордстрема. Ей уже без малого сто лет. И Ландау отменил ее, что ли?

evgeniy в сообщении #853301 писал(а):

в метрический тензор входит не плотность энергии, которая пропорциональна квадрату напряженности поля, а входит квадрат потенциала

Не совсем корректно выразился в предыдущем сообщении. Извиняюсь. Потенциал решения: $A_0=\frac{a}{r}$. Соответственно, компонента поля $E_r=\frac{a}{r^2}$. В метрику входит радиальная плотность энергии: $\rho = r^2 E_r^2$ (ну-у, с точностью до размерных множителей) Откуда и получается $\frac{a^2}{r^2}$

[Time]

lek в сообщении #853293 писал(а):

Напротив, этому решению соответствует плоская кривая в подпространстве $\mathbb{R}^{2}\subset\mathbb{H}'$ с базисом $\{e_{1}+e_{2}, e_{3}\}$.

Спасибо за ответы. Надеюсь, я уже исчерпал вопросы.
На сколько я понимаю, и это решение фактически сводится к решению в комплексных числах, так как задача сводится к двум измерениям с незначительными поправками на четырехмерное пространство. То есть, собственно, четырехмерных задач с эффективным использованием формализма кватернионов, скорее всего, не существует. Собственно, об этом я и говорил.

lek в сообщении #853293 писал(а):

Откровенно говоря, все это находится вне области моих научных интересов. Поэтому сходу не отвечу, а влезать в эту проблематику нет ни времени, ни желания...

Для меня кватернионы так же мало интересны. Я больше занимаюсь четырехмерными коммутативно-ассоциативными алгебрами. Над ними возможно естественное обобщение комплексного анализа и легко определяются элементарные функции именно для четырехмерных задач.

lek в сообщении #853293 писал(а):

Тем более, что мы уже сейчас весьма далеко отошли от темы, заявленной ТС

Это не совсем так. Если бы кватернионы, все же, допускали для себя расширение аналитических функций комплексной переменной именно в четырех измерениях, то получить содержательную модель электрического заряда, о которой пишет ТС, не было бы особой проблемой. Беда в том, что "нужных" функций над кватернионами не удается без противоречий построить, а дробно-линейных или тех, что сводятся к обычному комплексному анализу для этого явно не достаточно.
Зато в "наших" коммутативно-ассоциативных гиперкомплексных алгебрах необходимые функции определяются вполне естественным образом, но там, правда, другие проблемы. Дело в том, что современная физика строится вокруг псевдоримановых геометрий пространства-времени, а упомянутые мной алгебры порождают специального вида четырехмерные псевдофинслеровы многообразия. Приспособить физику того же электромагнитного поля к таким геометриям - совсем не тривиальная задача.

evgeniy в сообщении #853301 писал(а):

Time я прочел рекомендованную литературу и в ней описывается комплексная структура. Комплексной структурой называется тензор $J_{MN}$, компоненты которого удовлетворяют.
$J_{MK}J_{KS}=-\delta_{MS}$
Это не определение комплексного кватерниона, а определение комплексной структуры.

Я не очень понял, какую именно литературу Вы имеете ввиду. Если речь о моей ссылке на В.В.Кассандрова, то могу предложить посмотреть его статью в нашем журнале:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... /06-06.pdf

[evgeniy]

Lek ссылался на статью
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus
которую я с удовольствием прочел, она довольно простая и в ней описаны решения уравнения Янга-Миллса.