Модель электрического заряда

[VladimirKalitvianski]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #852428 писал(а):

Ваша чушь меня не интересует. Избавьте меня от неё.

Причем здесь я? Это не моя чушь, правильный Вы мой.

[evgeniy]

Soshnikov_Sergчтобы был предмет разговора, а то беспредметно беседуют, напишите уравнения которым подчиняются источники и стоки и уравнения, которым подчиняются заряды, да не на словах, а выпишите уравнения, тогда многое прояснится.

[lek]

Time в сообщении #852459 писал(а):

На много более интересно то обстоятельство, что алгебра двойных чисел, в отличие от алгебры комплексных чисел, не имеет "своей" теоремы Фробениуса и легко расширяется на три и четыре измерения без потери каких бы то ни было математических свойств.

Строго говоря это не совсем так. Теорема Фробениуса описывает конечномерные ассоциативные алгебры с делением над полем вещественных чисел. Тот же набор алгебр $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}$ можно получить, если вместо условия делимости использовать эквивалентное условие существования положительно определенной квадратичной формы $n(x)$, удовлетворяющей условию композиционности $n(xy)=n(x)n(y)$. Заменяя условие положительности формы условием знакопеременности, получаем пару (расщепляемых) алгебр: $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ и $\mathbb{H}^{*}$. Первая из них является алгеброй двойных чисел, а вторая - расщепляемой вещественной алгеброй кватернионов. Следовательно в размерностях $n=3$ и $n>4$ теряется свойство композиционности элементов (ассоциативной) алгебры.

[Time]

lek в сообщении #852553 писал(а):

Строго говоря это не совсем так. Теорема Фробениуса описывает конечномерные ассоциативные алгебры с делением над полем вещественных чисел. Тот же набор алгебр $\mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}$ можно получить, если вместо условия делимости использовать эквивалентное условие существования положительно определенной квадратичной формы $n(x)$, удовлетворяющей условию композиционности $n(xy)=n(x)n(y)$. Заменяя условие положительности формы условием знакопеременности, получаем пару (расщепляемых) алгебр: $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ и $\mathbb{H}^{*}$. Первая из них является алгеброй двойных чисел, а вторая - расщепляемой вещественной алгеброй кватернионов. Следовательно в размерностях $n=3$ и $n>4$ теряется свойство композиционности элементов (ассоциативной) алгебры.

Не могу согласиться. У алгебры $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ никакие свойства алгебры $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$, в том числе и то, что Вы называете свойством композиционности элементов - не теряются. Так же как и для n>4 расширений двойных чисел. Если я правильно Вас понял, алгебра, которую Вы назвали "расщепляемой вещественной алгеброй кватернионов", это "наши" квадрачисла или $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$? Или это что-то другое? Например алгебра, которую Розенфельд называет алгеброй антикватернионов, которой соответствует метрика четырехмерного псевдоевклидова пространства с сигнатурой (+,+,-,-). Если последнее, то наше расхождение связано с тем, что Вас интересуют только квадратичные типы метрических форм, а мы такого ограничения не накладываем, так как готовы рассматривать финслеровы и псевдофинслеровы расширения метрической формы.

[arseniiv]

Time, а вы слышали про алгебры Клиффорда? (Это просто вопрос.)

[Time]

arseniiv в сообщении #852583 писал(а):

Time, а вы слышали про алгебры Клиффорда? (Это просто вопрос.)

Конечно, но они за редким исключением не позволяют решать те задачи, которые нам интересны. В частности, вам известны алгебры Клиффорда с размерностью выше двух, что бы над ними были возможны аналитические функции или их обобщения? На подобии тех, что возможны над комплексными или двойными числами..

[arseniiv]

Про аналитические функции я у них особо не спрашивал.

[Time]

arseniiv
При случае, обязательно спросите.
Алгебры комплексных и двойных чисел являются частными примерами алгебр Клиффорда и аналитические (для двойных h-аналитические) функции над ними определяются вполне содержательным образом. А вот при n>2, если не отказаться от квадратичности формы, Вы про аналитические функции над такими многокомпонентными алгебрами вряд ли что услышите (даже если "их" спросите). Алгебры "наших" тройных, четверных и т.д. чисел не относятся к алгебрам Клиффорда, так как им соответствуют уже не квадратичные формы и не обычные скалярные произведения. Зато с обобщением аналитичности функций и с бесконечно-параметрическими множествами конформных преобразований - все в порядке.

У меня встречный вопрос: а Вы об алгебрах, с которыми естественным образом связываются не квадратичные, а кубические и более высокого порядка метрические формы, что ни будь слышали? На всякий случай - я так же спрашиваю без подколки..

[arseniiv]

Time в сообщении #852593 писал(а):

Алгебры "наших" тройных, четверных и т.д. чисел не относятся к алгебрам Клиффорда, так как им соответствуют уже не квадратичные формы и не обычные скалярные произведения.

Да ну? Бывает, от квадратичной формы алгебры Клиффорда требуют невырожденность, но это не обязательно. Гиперкомплексные числа с любым квадратом (положительным, отрицательным, нулевым) мнимой единицы являются алгеброй Клиффорда.

-- Пн апр 21, 2014 19:17:55 --

Time в сообщении #852593 писал(а):

У меня встречный вопрос: а Вы об алгебрах, с которыми естественным образом связываются не квадратичные, а кубические и более высокого порядка метрические формы, что ни будь слышали? На всякий случай - я так же спрашиваю без подколки..

Нет, даже кубические формы отдельно не доводилось встречать.

[Time]

arseniiv в сообщении #852601 писал(а):

Бывает, от квадратичной формы алгебры Клиффорда требуют невырожденность, но это не обязательно. Гиперкомплексные числа с любым квадратом (положительным, отрицательным, нулевым) мнимой единицы являются алгеброй Клиффорда.

Не всякая гиперкомплексная алгебра с единицей и ассоциативным умножением порождает именно квадратичную форму. Это уже по определению не может являться алгеброй Клиффорда. Кстати, для таких алгебр фундаментальный смысл имеют не столько квадраты мнимых единиц, сколько кубы и четвертые степени. В зависимости от n-арности формы.. Но это уже не принципиально.

arseniiv в сообщении #852601 писал(а):

Нет, даже кубические формы отдельно не доводилось встречать.

Простейшие финслеровы (или псевдофинслеровы) пространства имеют после квадратичной именно кубические метрические формы. Еще Риман, в своей знаменитой статье "О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии" в качестве одного из примеров таких метрических форм рассматривал форму состоящую из компонент в четвертых степенях. Позднее, в комментариях к этой статье Г.Вейль назвал такие пространства частным случаем финслеровых пространств. Как писал Риман, геометрии совсем не обязаны быть связываемы исключительно с квадратичными метрическими формами (не важно, положительными, отрицательными или вырожденными). Просто такие геометрии (и связанные с ними алгебры) на много меньше исследованы, чем обычные квадратичные.

[arseniiv]

Time в сообщении #852610 писал(а):

Не всякая гиперкомплексная алгебра с единицей и ассоциативным умножением порождает именно квадратичную форму. Это уже по определению не может являться алгеброй Клиффорда. Кстати, для таких алгебр фундаментальный смысл имеют не столько квадраты мнимых единиц, сколько кубы и четвертые степени.

Так я-то имел в виду алгебру с одной единицей (потому и писал «квадратом мнимой единицы» в ед. ч..

[lek]

Time в сообщении #852575 писал(а):

Не могу согласиться. У алгебры $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ никакие свойства алгебры $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$, в том числе и то, что Вы называете свойством композиционности элементов - не теряются. Так же как и для n>4 расширений двойных чисел.

Ошибаетесь. Однако доказательство не тривиально, поэтому дам ссылку на книгу Жевлакова, Слинько, Шестакова и Ширшова "Кольца близкие к ассоциативным" (глава 2, теорема 1). Скачать можно здесь.

Time в сообщении #852575 писал(а):

Если я правильно Вас понял, алгебра, которую Вы назвали "расщепляемой вещественной алгеброй кватернионов", это "наши" квадрачисла или $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$? Или ... алгебра, которую Розенфельд называет алгеброй антикватернионов, которой соответствует метрика четырехмерного псевдоевклидова пространства с сигнатурой (+,+,-,-).

Второе.

[Time]

arseniiv в сообщении #852612 писал(а):

Так я-то имел в виду алгебру с одной единицей (потому и писал «квадратом мнимой единицы» в ед. ч..

Куда же тогда вы относите алгебры кватернионов или антикватернионов? Ведь у них целых три мнимых единицы?
Считаете их не алгебрами Клиффорда? Вы уж определитесь как ни будь..

-- Пн апр 21, 2014 18:47:58 --

Цитата:

Ошибаетесь. Однако доказательство не тривиально, поэтому дам ссылку на книгу Жевлакова, Слинько, Шестакова и Ширшова "Кольца близкие к ассоциативным" (глава 2, теорема 1). Скачать можно здесь
.

Посмотрел Вашу ссылку. Там речь идет об алгебрах с квадратичной(!) формой. Для них Вы написали все правильно. А алгебра $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ относится к алгебрам не с квадратичной, а с кубической формой. Соответственно, алгебра $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ связана с формой чатвертой степени. Такие не рассматриваются в доказанной теореме, на которую Вы ссылаетесь.

lek в сообщении #852616 писал(а):

Второе.

Понятно, эта алгебра, как и алгебра обычных кватернионов связана с очень узким множеством конформных преобразований и соответствующих им аналитических функций. В отличие от алгебр $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$. Последние две не попали в упоминаемою Вами теорему, но они в плане конформных преобразований связанных с ними пространств ни чем не хуже алгебры двойных чисел. И модуль (модуль тут понимается как мера "длины" соответствующего числу вектора) произведения двух чисел таких алгебр равен произведению их модулей (это иное определение того, что Вы называете композицией). Только еще раз подчеркну, модули у чисел таких алгебр связаны уже с формами третьей и четвертой степени, соответственно.

[evgeniy]

Извините что вмешиваюсь, но у меня возник вопрос. Когда я стал использовать комплексные числа для решения дифференциальных уравнений, они получились как решение нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, в частности как комплексные положения равновесия. Какая задача приводит к определению в виде решения кватернионы.

[Soshnikov_Serg]

evgeniy в сообщении #852546 писал(а):

Soshnikov_Sergчтобы был предмет разговора, а то беспредметно беседуют, напишите уравнения которым подчиняются источники и стоки и уравнения, которым подчиняются заряды, да не на словах, а выпишите уравнения, тогда многое прояснится.

С удовольствием. Действительно, такое впечатление, что тема обалденно актуальная...
В принципе, тут как раз все вертится вокруг горловины Эйнштейна-Розена. Соответственно, и функция Лагранжа для получения уравнений - как у них:
$L=-\sqrt{-g}R+\frac14\sqrt{-g} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$
В отличии от Эйнштейна-Максвелла - изменен знак перед вторым слагаемым.
В предложенной модели предполагается, что второй слагаемое как раз описывает слагаемое типа
$\rho \frac{V^2}{2}$
где $\rho$ - постоянная (отрицательная по знаку) плотность эфира. V - вектор локальной скорости эфира. В общем случае - величина комплексная. Мнимая часть отвечает за скорость эфира, связанную с движением самого пространства (изменение геометрии пространства вокруг движущейся горловины). В лагранжиане берется реальная часть квадрата скорости. Собственно, все...
Этого будет достаточно?