Задачки по дифф геометрии

[loshka]

Здравствуйте, завтра снова вторник...

Прошу помощи в задачках

1)Пусть $a$- угол между постоянным вектором $\mathbf a$и касательным вектором $\mathbf r$ Составить параметрическое уравнение кривой, если известна зависимость:
а)$R=f(a)$ $R$-радиус кривизны;
б)$a=f(R)$;
в)$s=f(a)$ $s$-дуга кривой;
г)$a=f(s)$

2)Доказать, что если главные нормали кривой образуют постоянный угол с направлением вектора $\mathbf e$, то

$\frac{d}{ds}(\frac{k^2+\varkappa^2}{k(d/ds)(\varkappa/k)})+\varkappa=0$

И в обратную сторону доказать утверждение. Найти этот вектор

В первой задачи, честно помучившись часик и поняв, что идей нет заглянул в ответ нашел следующие словеса:
составили вектор $\mathbf b$ что бы он организовывал ортонормированный базис с вектором $\mathbf a$

a) Дальше такое равенство $\frac{dR}{ds}=k$ Как я понял это следует из определение кривизны потом $ ds=f(a)da$
$x=\int\cos(a)f(a)da$ $y=\int\sin(a)f(a)da$
Не могу понять откуда взялись $\cos(a) \sin(a) $
б) $\frac{ds}{ds}=\frac{1}{R}$
$ f'(R)\frac{dR}{ds}=\frac{1}{R}$ Как получается это равенство я понять не могу и что в нем означает f'(R) не понятно
Дальше все делается примерно так же сводится к интегралам и в них подставляются косинусы

Во второй задачки снова ужас, выражение, в котором ничиго не понятно...
Мои мысли: Пусть $\mathbf n$ Направляющий вектор главной нормали, запишем наше условие в виде скалярного произведения $ (\mathbf n ; \mathbf e)=0$
Дифференцируем(мне не понятно что произойдет с вектором $\mathbf e$) и используем формулу Френе получается $(-k\mathbf r + b\varkappa ; e)=0$
Потом если снова продифференцировать и использовать формулы Френе и расписать скалярное произведение, там получится что произведение трех сомножителей равно 0, значит какой-то из них равен 0, т.к. угол и длина вектора $\mathbf e$, не могу быть нулевыми значит длина нашего вектора главной нормали,которые 2 раза дифференцировали равно 0, в итоге у меня получилось, что длина этой штуки $|-k^2\mathbf n -\mathbf n \varkappa^2|=0$
От минуса можно избавится, вроде немного похоже на числитель исходного выражения...
Пришел снова к вектору $\mathbf n$, Думаю нужно какое-то хитрое действие, а какое понять не могу

Помогите пожалуйста.

[svv]

По первой задаче — несколько формул, подразумеваемых авторами, но не выписанных явно.
$\mathbf r=x\mathbf a+y\mathbf b$
$\mathbf v=\frac{d\mathbf r}{ds}=\cos\alpha\;\mathbf a+\sin\alpha\;\mathbf b$
Дифференцируя последнюю, получим
$\frac{d\mathbf v}{ds}=(-\sin\alpha\;\mathbf a+\cos\alpha\;\mathbf b)\frac{d\alpha}{ds}=\mathbf n\;\frac{d\alpha}{ds}$,
из которой (а не по определению) и следует $k=\frac{d\alpha}{ds}$.
Отсюда
$\mathbf r=\int \mathbf v ds=\int \mathbf v\frac{ds}{d\alpha} d\alpha=\int \mathbf v f(\alpha) d\alpha$
Записывая в компонентах, получаем то, что в ответе.

Вы в а) написали $\frac{dR}{ds}=k$, в б) написали $\frac{ds}{ds}=\frac{1}{R}$, но обе формулы неверны.

Предыдущие задачи удалось сдать?

[loshka]

Я вижу преподавателя только по вторникам, поэтому завтра иду сдавать 4 задачи



Да, я как-то сильно описался a) $\frac{da}{ds}=k$ b) $\frac{da}{ds}=\frac{1}{R}$

Оу, спасибо, буду думать, что получается под остальными буквами в первой задачи

[svv]

Из $\mathbf r=\int \mathbf v\;ds$ в компонентах получаем
$\begin{cases}x=\int \cos\alpha\;ds\\y=\int \sin\alpha\;ds\end{cases}$
откуда так или иначе получаются все четыре буквы.

[loshka]

Понял в первой, спасибо)
Во второй мысли верные? Стоит ли вынести вектор $\mathbf n$ и продолжить дифференцировать?

Не могу понять,как так знаменатель получили

[svv]

loshka в сообщении #852576 писал(а):

запишем наше условие в виде скалярного произведения $(\mathbf n ; \mathbf e)=0$

Это скалярное произведение само по себе не равно нулю (с чего бы? разве векторы перпендикулярны?). При единичных $\mathbf e$ и $\mathbf n$ оно равно косинусу того самого постоянного угла между ними. Кстати, в моем издании задачника авторы в одной из формул приравняли это нулю, но это ошибка.

Другое дело, что производная этого по $s$ равна нулю.

loshka в сообщении #852576 писал(а):

мне не понятно что произойдет с вектором $\mathbf e$

Он считается постоянным, его производная равна нулю.

loshka в сообщении #852576 писал(а):

и используем формулу Френе получается $(-k\mathbf r + b\varkappa ; e)=0$

Откуда вылез радиус-вектор?

[loshka]

описался там должно быть $\operatorname{cons}t$ Я просто не знал, что произойдет c $\mathbf e$ Это тот же самый вектор $\mathbf e$ из условия

-- 21.04.2014, 22:43 --

не удержался, тоже посмотрел ответ в одну сторону понятно, а вот в обратную, там говорится что наше исходное выражение это постоянный вектор, почему так понять не могу

[svv]

Обозначим $p=\frac{k^2+\varkappa^2}{k(\varkappa/k)'}$
Мы составили вектор $\mathbf e=\frac{\varkappa}{k}p\mathbf v+\mathbf n+p\mathbf b$.
Пусть $p'=-\varkappa$. Надо доказать, что
1) Вектор $\mathbf e$ постоянный:
$\mathbf e'=\left(\frac{\varkappa}{k}\right)'p\mathbf v+\frac{\varkappa}{k}p'\mathbf v+\frac{\varkappa}{k}p\mathbf v'+\mathbf n'+p'\mathbf b+p\mathbf b'=$
$=\frac{k^2+\varkappa^2}{k}\mathbf v-\frac{\varkappa^2}{k}\mathbf v+\varkappa p\mathbf n-k\mathbf v+\varkappa \mathbf b-\varkappa\mathbf b-p\varkappa\mathbf n=0$

2) Произведение $\langle \mathbf e, \mathbf n \rangle$ постоянно — это очевидно.

[loshka]

Круто однако у Вас получается svv
Спасибо огромное

-- 21.04.2014, 23:47 --

вот не очень понятно почему $p'=-\varkappa$

[svv]

При доказательстве в обратную сторону это исходное утверждение. Только у Мищенко и Фоменко оно было записано как
$\frac{d}{ds}\frac{k^2+\varkappa^2}{k(\varkappa/k)'}+\varkappa=0$
А с учетом нашего обозначения $p=\frac{k^2+\varkappa^2}{k(\varkappa/k)'}$ это
$\frac{d}{ds}p+\varkappa=0$

[loshka]

блин, классно однако

-- 22.04.2014, 02:50 --

Подскажите пожалуйста, где можно компактно и понятно почитать о индуцированной метрике, а то следующая задачка состоит в нахождение площади тора в индуцированной метрике, а в учебниках,которые я читаю про такое не написано

[loshka]

какой-то ужас, все твердычит мне про криволинейные интегралы, требует что бы я объяснил, как если в результате интегрирование векторной функции получается веторная функция, то как сумма 2 векторных функций может давать число...


с задачей про вектор $\mathbf e $ вообще назадавал кучу вопросов(( Самый противный такой, почему если ты вектор $\mathbf e$ берешь в базисе Френе, то раз для различных точек, базис разный, то и вектора будут разные относительно базиса в котором задана кривая, какой же смысл в твоем действие...
Вектор $\mathbf e$ нужно найти в базисе кривой...
Тут я был просто немного в шоке и закончил беседу...
Задал 150 вопросов, и все какие-то каверзные, идея понятны, термины понятны, а вокруг 3 сосен нравится ходить мужику...

[svv]

loshka в сообщении #853005 писал(а):

требует что бы я объяснил, как если в результате интегрирование векторной функции получается веторная функция, то как сумма 2 векторных функций может давать число...

Скорее всего, он решил Вас проверить, понимаете ли Вы, что стоит в правой части равенства:
$\int\limits_{\gamma} \mathbf r\;dk + \int\limits_{\gamma} \varkappa\;\mathbf b\;ds=0$
Правильный ответ: нуль-вектор, так как слева сумма двух векторов.
Неправильный ответ: вещественное число нуль.

[loshka]

блин...... Что-то я совсем не очень

[svv]

loshka в сообщении #853005 писал(а):

Самый противный такой, почему если ты вектор $\mathbf e$ берешь в базисе Френе, то раз для различных точек, базис разный, то и вектора будут разные относительно базиса в котором задана кривая, какой же смысл в твоем действие... Вектор $\mathbf e$ нужно найти в базисе кривой...

Здесь я могу только сказать: то, что в разных точках кривой базис Френе разный, конечно же, учитывалось при решении. При доказательстве в обратную сторону, например, векторы базиса тоже дифференцировались, как и положено векторам, зависящим от параметра. Итак, в каждой точке кривой получаем своё разложение. Поэтому постоянство вектора $\mathbf e$ вовсе не означает постоянство его компонент (коэффициентов разложения по базису) вдоль кривой. В том-то и дело: базис вдоль кривой меняется, но коэффициенты разложения тоже меняются, причем так, что линейная комбинация переменных базисных векторов с переменными коэффициентами даёт постоянный вектор.