Наибольшее и наименьшее значение в области

[Limit79]

Otta в сообщении #852256 писал(а):

Не нужно достаточное условие. Понятно, что максимум будет в одной из точек локального экстремума на Вашем компакте.

Не понятно Не могли бы Вы, пожалуйста, пояснить, почему?

Насколько я понимаю, тут надо рассмотреть три варианта:

а) Внутри области:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = -y-7=0$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = -x+3=0$$

$$M(3;-7) \notin D$$

б) На границе $x+y=-3$, исключая переменные, получаю функцию одной переменной $f(x)=x^2-7x+12$ при $x \in [-3;2]$

$f'(x)=0$ при $x=\frac{7}{2}$, но $\frac{7}{2} \notin [-3;2]$.

На концах: $f(-3)=42$ и $f(2)=2$


После этих двух шагов, у нас есть две точки: $f(-3)=42$ и $f(2)=2$

К ним надо добавить те точки, которые получаются на границе $y=x^2-9$, сравнить их все, и найти минимум и максимум, но вот я застопорился на том, почему не нужно проверять по достаточному условию точки, полученные при решении системы в методе Лагранжа

-- 20.04.2014, 20:09 --

Otta в сообщении #852256 писал(а):

Не нужно достаточное условие.

Otta в сообщении #852256 писал(а):

может, на границе

В Лагранже получили две точки

$$\left ( 1 \pm \sqrt{\frac{5}{3}} ; - \frac{19}{3} \pm 2 \sqrt{\frac{5}{3}} \right )$$

Они же на границе находятся

[Otta]

Ну а значение в них какое у функции?

[Limit79]

Otta
А, вот оно как

То есть можно вычислить значения функции в этих точках, показать, что эти значения будут в $[2;42]$ (т.е. между теми, что мы раньше нашли), следовательно, они нас не интересуют, да?

[Otta]

Угу.

[Limit79]

Otta
gris
Спасибо!

Прием вполне логичный, но я б не додумался

-- 20.04.2014, 20:50 --

Otta
Видимо я рано обрадовался... Посчитал значение исходной функции в точке

$$f \left ( 1 - \frac{\sqrt{15}}{3} ; \frac{-2 \sqrt{15}-19}{3} \right ) \approx -6.303$$

А

$$-6.303 \notin [2;42]$$

Значение во второй точке лежит на этом отрезке.

-- 20.04.2014, 21:10 --

Нашел в книжке подобный пример:

(Лунгу, Письменный)

Там тоже получают из Лагранжа две точки, значение в одной из них $ \approx-25.935$, но в ответе, в минимальное значение они пишут другую точку с бОльшим значением $\min f(x,y) = -24$

[Limit79]

Я получил второй дифференциал функции Лагранжа:

$$d^2F = -2 \lambda dx^2-2dxdy$$

Сейчас я, наверное, буду нести откровенный бред, но:

При

$$\lambda = -2 - \frac{\sqrt{15}}{3}$$

квадратичная форма

$$d^2F = -2 \lambda dx^2-2dxdy$$

будет неопределенной, значит в точке, соответствующей этому значению лямбда, экстремума нет.

[Ms-dos4]

Почему это она неопределённая?

[Limit79]

Ms-dos4
Она может принимать как положительные так и отрицательные значения, наверное (правда это, скорее, следствие).

Но, блин, она должна такой быть

[Ms-dos4]

Вы гессиан то выпишите, и на знак посмотрите (у $\[{d^2}F\]$ будет обратный). Хотя и так очевидно, какой знак у $\[{d^2}F\]$.
P.S.Я вообще не понял, а зачем вы ищите что это, экстремум или нет? Вам же нужно просто минимум/максимум найти.

[Limit79]

Ms-dos4 в сообщении #852300 писал(а):

P.S.Я вообще не понял, а зачем вы ищите что это, экстремум или нет? Вам же нужно просто минимум/максимум найти.

В данной точке есть некоторое значение функции, и, если сравнить значения в полученных точках, то минимум будет как раз в этой точке, но матпакеты говорят, что не будет тут минимума.

[Ms-dos4]

Limit79
1)И что вы спрашиваете у мат пакетов?
2)И вы гессиан то найдите, да подставьте туда ваш $\[x\]$ и $\[\lambda \] $, и посмотрите что там.

[Otta]

Limit79
Находим все подозрительные точки (неважно, на границе или внутри). Сравниваем значения. Выбираем максимальное - минимальное. С Вас же это хотят, зачем Вам большее?

Limit79 в сообщении #852270 писал(а):

$$f \left ( 1 - \frac{\sqrt{15}}{3} ; \frac{-2 \sqrt{15}-19}{3} \right ) \approx -6.303$$

Раз получилось меньше, значит, меньше. Против фактов не попрешь. Если не ошиблись, конечно.

[provincialka]

Так, я не поняла. Вы что исследуете по второму дифференциалу: точку локального экстремума или граничного (условного)? Если последнее, то надо брать $d^2F$ не в чистом виде, а с учетом уравнения связи. То есть продифференцировать соотношение $y=x^2-9$ и выразить один $dy$ через $dx$.
Но вообще-то ничего этого не нужно.

[Limit79]

Ms-dos4 в сообщении #852306 писал(а):

1)И что вы спрашиваете у мат пакетов?

Спрашиваю минимум и максимум данной функции при данных ограничениях.

Ms-dos4 в сообщении #852306 писал(а):

2)И вы гессиан то найдите, да подставьте туда ваш $\[x\]$ и $\[\lambda \] $, и посмотрите что там.

Гессиан нашел $H=2 \lambda + 4x$, для данной точки он получился отрицательный.

-- 20.04.2014, 22:19 --

Otta в сообщении #852308 писал(а):

Раз получилось меньше, значит, меньше. Против фактов не попрешь. Если не ошиблись, конечно.

Тогда, получается, wolfram alpha врет, ибо у него минимальное значение равно $2$.

[Otta]

Limit79 в сообщении #852310 писал(а):

Спрашиваю минимум
и максимум
данной функции при данных ограничениях.

Да, ну тоже надо знать, что спрашивать. Минимум.

-- 21.04.2014, 00:24 --

Limit79 в сообщении #852310 писал(а):

Тогда, получается, wolfram alpha врет, ибо у него минимальное значение равно $2$.

Нет, он не врет. Хотя это и бывает. Внимательно перечитывайте, как был интерпретирован Ваш запрос.
Прочитайте по Вашей ссылке. Видите знак конъюнкции между теми условиями, что Вы ввели? То есть запрос интерпретирован так: должны выполняться оба условия. То есть он выбирает минимум из значений в точках пересечения. Аминь.