Наибольшее и наименьшее значение в области

[Limit79]

Здравствуйте!

Решая некоторую бОльшую задачу, возник вопрос в такой задачке: найти наибольшее и наименьшее значение функции

$$f(x;y) = - (x-3) (y+7)$$

методом Лагранжа, при условии, что

$$x^2-9=0$$

После взятия производных, и шаманства с системой, получил такое:

$$\left\{\begin{matrix} y=6 \lambda -7\\ x=3 \end{matrix}\right.$$

А вот что делать дальше -- не знаю. Пытался искать ограничения на $y$ для области, в которой ведется поиск наименьшего и наибольшего значения -- результатов не дало.

Скорее всего тут надо отталкиваться от исходной задачи, она такова:

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x;y) = - (x-3) (y+7)$ на области $D$, ограниченной линиями $x+y=-3$, $x^2-9=0$. При исследовании на прямолинейном участке границы используйте метод исключения переменной. На криволинейном участке границы воспользуйтесь методом множителей Лагранжа.

Спасибо!

[Otta]

Условие некорректно. Область неограничена.

[gris]

А разве $x^2-9=0$ линия? В принципе, можно считать, что это два параллельные прямые, но тогда где область и где кривая?

[Limit79]

Otta
У меня была такая мысль

Давайте будем считать, что область такова:

(Область D)

gris
Параллельные прямые? Ведь $x^2-9=0 \Rightarrow x= \pm 3$ - две точки.

Цитата:

Давайте будем считать, что область такова:

(Область D)

[Otta]

Приплыли. $x=3$ - это точка?

Limit79 в сообщении #852235 писал(а):

Давайте будем считать, что область такова:

Ну, считайте.

[Limit79]

Otta в сообщении #852239 писал(а):

Приплыли. $x=3$ - это точка?

Otta в сообщении #852239 писал(а):

Ну, считайте.

Мое решение и построено на этом предположении

В системе найдено значение $x=3$, единственное, что крутится на уме - подставить $x=3$ в первое ограничение $x+y=-3$, то есть $3+y=-3 \Rightarrow y=-6$, но как обосновать - не знаю

[Otta]

Ничё не понимаю.

Limit79 в сообщении #852240 писал(а):

В системе найдено значение $x=3$,

В какой системе?
Что Вы вообще сейчас делаете?

[Limit79]

Otta
Вроде я понял, при ограничении $y=x^2-9$, функция Лагранжа будет

$$F(x,y, \lambda) =- (x-3) (y+7) + \lambda (y-x^2+9)$$

а я брал

$$F(x,y, \lambda) =- (x-3) (y+7) + \lambda (x^2-9)$$

[Otta]

Limit79 в сообщении #852243 писал(а):

функция Лагранжа будет

$$F(x,y, \lambda) =- (x-3) (y+7) + \lambda (y-x^2+9)$$

Ну да, будет. Дальше что?

[Limit79]

Otta в сообщении #852244 писал(а):

Ну да, будет. Дальше что?

Пока не знаю, сейчас считаю.

[gris]

Вот это похоже на правду. И Лагранж прекрасно получается.

[Limit79]

Решением системы будут две точки:

$$\left ( 1 \pm \sqrt{\frac{5}{3}} ; - \frac{19}{3} \pm 2 \sqrt{\frac{5}{3}} \right )$$

Дальше их исследовать по достаточному условию, или можно уже на этом шаге их как-то отсеять? (в ответе те две точки, которые найдены при ограничении $x+y=-3$).

[Otta]

[Арифметику не проверяю.]
Не нужно достаточное условие. Понятно, что максимум будет в одной из точек локального экстремума на Вашем компакте. Может, внутри, может, на границе (включая угловые точки, кстати, у меня подозрение, что Вы их не смотрели,... а локальный экстремум внутри области смотрели?). Но в одной из. Достаточно их все найти, найти все значения функции в них и сравнить между собой.

[gris]

Функция седёльная, так что внутри как бы и не того.

[Otta]

(Ну, всякое бывает, общий случай пою.)