Бесконечно гладкие функции с "врезками"

[g______d]

_Ivana в сообщении #847023 писал(а):

Я могу ошибаться, но у меня подозрение, что базисные многочлены Лагранжа сходятся к синку со всеми своими производными.

Вы имеете в виду интерполяционные многочлены Лагранжа? По отношению к какой сетке?

Мне не очевидно, что даже их значения во всех точках сходятся, не то что там производные какие-то.

[_Ivana]

g______d, некоторое время назад я кустарно изобретал очередные велосипеды, обнаружил определенные закономерности, которые в лирической форме (по мнению прочитавших) описал в этом после. Потом я обнаружил на просторах инета этот маленький аппендикс, ссылку на который привел вот в этой теме, в которой автор тоже изобретал этот велосипед, но с более мощных теоретических и не лирических позиций. В общем, велосипед популярный:

Цитата:

The equivalence of sinc interpolation to Lagrange interpolation was apparently first published by the mathematician Borel in 1899, and has been rediscovered many times since

ЗЫ только что случайно заметил в цитате уже промелькнувшую в теме фамилию. Оказывается, вот кто был настоящий первоизобретатель этого велосипеда. И да, как уже говорили - более 100 лет назад

[Oleg Zubelevich]

g______d

Вы не могли бы изложить решение задачи из головного поста внятно и подробно?

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #847238 писал(а):

Вы не могли бы изложить решение задачи из головного поста внятно и подробно?

Формулировку задачи из головного поста я так и не понял, поэтому не могу. Я писал про решение другой задачи: пусть есть функция, бесконечно гладкая на $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$, непрерывная слева со всеми производными в точке 0 и непрерывная справа со всеми производными в точке 1. Тогда она продолжается до гладкой функции на $\mathbb R$. Решение надо? По-моему, Вам это должно быть очевидно.

-- Вт, 08 апр 2014 09:53:59 --

_Ivana, все-таки, вы можете точно сформулировать хоть какое-нибудь точное утверждение про сходимость? Желательно еще с доказательством или ссылкой.

[Oleg Zubelevich]

задачу из головного поста я понял так. вот берем функцию, которую Вы описали:

g______d в сообщении #847272 писал(а):

пусть есть функция, бесконечно гладкая на $(-\infty,0)\cup(1,+\infty)$, непрерывная слева со всеми производными в точке 0 и непрерывная справа со всеми производными в точке 1. Тогда она продолжается до гладкой функции на $\mathbb R$.

Вопрос: можно ли подобрать такую последовательность полиномов $P_n$, что

1) полиномы приближают данную функцию равномерно на $[0,1]$ при $n\to \infty$
2) сам полином $P_n$ и его производные до $n$-й степени совпадают соответственно с функцией и ее производными в точках $0,1$

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #847280 писал(а):

1) полиномы приближают данную функцию равномерно на $[0,1]$ при $n\to \infty$

Данную – это какую? На $[0,1]$ у нас пока нет функции. Или просто сходятся к какой-то?

[Oleg Zubelevich]

сходятся к заданной функции из $C^\infty[0,1]$ Давайте считать, что задана такая функция

[Dan B-Yallay]

Oleg Zubelevich в сообщении #847287 писал(а):

Давайте считать, что задана такая функция

Предполагается, что заданная функция из $C^\infty [0,1]$ бесконечно гладко стыкуется в точках $0,1$ с первоначальной?

[g______d]

Тогда вообще не важно, что происходит вне $[0,1]$, давайте считать, что дана функция на этом интервале и всё (к ответу это меня пока не приближает).

[Dan B-Yallay]

Тогда полиномы - это частичные суммы ряда Тейлора (если есть) этой данной функции в любой внутренней точке отрезка [0,1]

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #847309 писал(а):

Тогда полиномы - это частичные суммы ряда Тейлора (если есть) этой данной функции в любой внутренней точке отрезка [0,1]

Они ни одному из условий не удовлетворяют, вообще говоря.

[Dan B-Yallay]

Да, глупость ляпнул.

[g______d]

Oleg Zubelevich в сообщении #847280 писал(а):

Вопрос: можно ли подобрать такую последовательность полиномов $P_n$, что

1) полиномы приближают данную функцию равномерно на $[0,1]$ при $n\to \infty$
2) сам полином $P_n$ и его производные до $n$-й степени совпадают соответственно с функцией и ее производными в точках $0,1$

А почему нельзя сделать примерно так же, как Вы делали выше? Вычтем из функции полином и сведем задачу к случаю, когда значения функции и первых $n$ производных в 0 и 1 равны нулю. После этого приблизим полиномами функцию $\frac{f(x)}{x^n(x-1)^n}$; ясно, что если умножить результат на $x^n(x-1)^n$ и прибавить вычтенный полином, получится то, что нужно.

[Oleg Zubelevich]

не удалось мне там всем условиям удовлетворить

[Dan B-Yallay]

Oleg Zubelevich в сообщении #847280 писал(а):

2) сам полином $P_n$ и его производные до $n$-й степени совпадают соответственно с функцией и ее производными в точках $0,1$

Из этого следует $f^{(n)}(0)=f^{(n)}(1) $. Если заданная функция этим условиям не удовлетворяет...