Интерполяционные многчлены Лагранжа и Котельникова

[profrotter]

Рассмотрим интерполяцию функции $f(t)$ по её дискретным значениям $f_n=f(nT)=f(t_n)$ на равномерной сетке $t_n=nT$, $n=-\frac {N-1}{2},...,\frac {N-1}{2}$, $N$ - чётное количество нетривиальных отсчётов, $T$ - период дискретизации.

На узлах интерполяции можно построить интерполяционный многочлен Лагранжа, который будет представлять собою многочлен степени $N-1$, график которого проходит через узлы интерполяции $(t_n,f_n)$:

$$\psi_1(t)=\sum\limits_{k=0}^{N-1}a_kt^k.$$

Известно, что такой многочлен является единственным.

Построим также интерполирующую функцию на основе ряда Котельникова:

$$\psi_2(t)=\sum\limits_{n=-\frac {N-1}{2}}^{\frac {N-1}{2}}f_nsinc\left(\frac {\pi}{T}(t-nT)\right).$$

Используя разложение синуса в ряд Маклорена, базисную функцию Котельникова представим в виде степенного ряда, а с учётом этого представления и сам ряд Котельникова перепишем в виде степенного ряда:

$$\psi_2(t)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}b_kt^k.$$

При неограниченном увеличении количества отсчётов $N\to+\infty$ обе рассмотренные интерполирующие функции являются степенными рядами - многочленами бесконечной степени и проходят через один и тот же набор точек на плоскости. В виду того, что многочлен, график которого проходит через заданный набор точек на плоскости, определён единственным образом имеем

$$\psi_1(t)|_{N\to+\infty}=\psi_2(t)|_{N\to+\infty}.$$

То есть интерполирующая функция на основе многочлена Лагранжа при неограниченном увеличении количества отсчётов совпадает с интерполирующей функцией на основе ряда Котельникова, что выражает их ассимтотическую связь.

1. Можно ли рассматривать изложенное как доказательство ассимтотической связи многочлена Лагранжа и ряда Котельникова?

2. Имеются ли какие-либо ошибки или некорректности в приведённых соображениях?

3. Можно ли так:

Цитата:

... обе рассмотренные интерполирующие функции являются степенными рядами - многочленами бесконечной степени и проходят через один и тот же набор точек на плоскости. В виду того, что многочлен, график которого проходит через заданный набор точек на плоскости, определён единственным образом имеем ...

4. Где об этом можно прочитать?

[Narn]

Цитата:

При неограниченном увеличении количества отсчётов $N\to+\infty$ обе рассмотренные интерполирующие функции являются степенными рядами - многочленами бесконечной степени и проходят через один и тот же набор точек на плоскости.

Так нельзя. При увеличении $N$ у вас могут не просто добавляться старшие степени, а меняться коэффициенты при младших степенях, и никакого степенного ряда в пределе вы не получите.

И что это за один и тот же набор точек? То есть с точки зрения математической строгости ваше рассуждение пока неубедительно (и не вполне ясно, что именно вы хотите доказать --- что если взять многочлен Лагранжа достаточно высокой степени, то он будет мало отличаться от соотв. многочлена Котельникова?).

[profrotter]

Narn в сообщении #572375 писал(а):

Так нельзя. При увеличении $N$ у вас могут не просто добавляться старшие степени, а меняться коэффициенты при младших степенях, и никакого степенного ряда в пределе вы не получите.

Коэффициенты обязательно будут меняться. Но почему не получится ряда? - Возможно Вы хотите сказать, что может получиться функциональный ряд, который в некоторых точках будет расходиться?

Narn в сообщении #572375 писал(а):

И что это за один и тот же набор точек?

Это набор узлов интерполяции $(t_n,f_n)$

Narn в сообщении #572375 писал(а):

...если взять многочлен Лагранжа достаточно высокой степени, то он будет мало отличаться от соотв. многочлена Котельникова?.

Именно это я и хочу доказать.

[мат-ламер]

profrotter в сообщении #572400 писал(а):

Именно это я и хочу доказать.

Это неверно. Интерполяция многочленами с равноотстоящими узлами вообще плохой вид интерполяции и может вообще не сходиться (причём для относительно хорошей, т.е. достаточно гладкой функции). Смотрите в Википедии статью "Феномен Рунге". Куда сходится ряд Котельникова не знаю, но возможно тут сходимость такая же, как и для рядов Фурье.

[profrotter]

мат-ламер в сообщении #572524 писал(а):

Это неверно. Интерполяция многочленами с равноотстоящими узлами вообще плохой вид интерполяции и может вообще не сходиться (причём для относительно хорошей, т.е. достаточно гладкой функции).

Это вещь известная:

Однако, если присмотрется к тому же примеру Рунге можно убедиться, что раскачка интерполирующей функции между узлами наблюдается возле границ интервала интерполяции, а в серединке всё выглядит прилично. При неограниченном увеличении количества узлов интерполяции границы отодвигаются так далеко-далеко. Причём этот эффект можно наблюдать даже при интерполяции не гладкой функции:

мат-ламер в сообщении #572524 писал(а):

Куда сходится ряд Котельникова не знаю, но возможно тут сходимость такая же, как и для рядов Фурье.

Ряд Котельникова - это частный случай (обобщённого) ряда Фурье.

[profrotter]

Я хотел бы добавить ещё немного в обоснование рассматриваемой здесь гипотезы. При линейной интерполяции (когда сложению решетчатых функций соответствует сложение соответствующих интерполирующих функций), к которой относятся многочлен Ларанжа и ряд Котельникова, интерполирующую функцию в общем случае можно представить в виде:

$$\psi(t)=\sum f_n\varphi_n(t),$$

где $\varphi_n(t)$ - базисные функции. Базисные функции многочлена Лагранжа описываются выражением:

$$\varphi_n(t)=\prod\limits_{k=0,k\neq n}^{N-1}\frac {t-t_k}{t_n-t_k}.$$

Для ряда Котельникова:

$$\varphi_n(t)=sinc\left(\frac {\pi}{T}(t-t_n)\right).$$

Интерполирующая функция, таким образом, представляет собою взвешенную сумму базисных функций, с весами, определяемыми ординатами узлов интерполяции.

Вот я беру базисные функции $\varphi_0(t)$ Лагранжа и Котельникова, соответствующие моменту дискретизации $t_0=0$ и рассматриваю их при увеличении числа отсчётов. (При неограниченном увеличении числа отсчётов все моменты дискретизации становятся равноправными - не будет ни середины интервала интерполяции, ни правой части, ни левой. Поэтому всё равно какую базисную функцию рассматривать - с номером 0 или с номером 1 или 10...)

Пишу простенький код в Маткаде (это может повторить каждый):

И получаю графики: синим показана базисная функция Котельникова, красным - базисная функция Лагранжа:

$N=101$

$N=501$

$N=1001$

$N=5001$

И невзирая на пример Рунге, вообще отвелкаясь от всяких примеров интерполяции, я вижу, что имеется подынтервал внутри интервала интерполяции, внутри которого при увеличении числа отсчётов базисная функция Лагранжа переходит в базисную функцию Котельникова, соответственно, того же и ожидаю от интерполирующих функций. При расширении интервала интерполяции расширяется и подынтервал, на котором наблюдается указанное явление.

[Vince Diesel]

Надо обосновывать, что каждый из этих многочленов вообще к чему-то сходится, а если и сходятся, то к одному и тому же. Что не похоже на правду. Разве что вот так:

$$\lim_{N\to+\infty}(\psi_1(N,t)-\psi_2(N,t))=0.$$

Для проверки неплохо бы порисовать графики разностей.

[profrotter]

Я прошу прощения - напутал уже с сеткой дискретизации. Сначала ввёл одну нумерацию, а сегодня пользовался другой. Сегодняшняя удобнее будет: $t_n=t_0+nT$, $t_0=-\frac {N-1}{2}T$.

Запишем известное Эйлерово разложение синуса в бесконечное произведение:

$$\sin(t)=t\prod\limits_{k=1}^{+\infty}\left(1-\frac {t^2}{k^2\pi^2}\right)$$

Тогда для базисной функции Котельникова получим:

$$\varphi_{0\text{Котельникова}}(t)=sinc(\frac {\pi}{T}t)=\prod\limits_{k=1}^{+\infty}\left(1-\frac {t^2}{{kT}^2}\right)=$$

$$=\prod\limits_{k=1}^{+\infty}\frac {t-kT}{0-kT}\prod\limits_{k=1}^{+\infty}\frac {t+kT}{0+kT}=\prod\limits_{k=0,k\neq 0}^{+\infty}\frac {t-t_k}{0-t_k}=\varphi_{0\text{Лагранжа}}(t)|_{N\to+\infty}.$$

Показал ли я, что базисную функцию Котельникова можно рассматривать как предельный вариант базисной функции Лагранжа?

[profrotter]

Вот тут

profrotter в сообщении #572763 писал(а):

$\prod\limits_{k=0,k\neq 0}^{+\infty}\frac {t-t_k}{0-t_k}$

должно быть $\prod\limits_{k=0,t_k\neq 0}^{+\infty}\frac {t-t_k}{0-t_k}$

[_Ivana]

Вот здесь, в маленьком аппендиксе https://ccrma.stanford.edu/~jos/resampl ... _Sinc.html в паре предложений имхо показана суть как Ваших, так и моих поисков.

Цитата:

The equivalence of sinc interpolation to Lagrange interpolation was apparently first published by the mathematician Borel in 1899, and has been rediscovered many times since

(Оффтоп)

ЗЫ а вообще, конечно, жаль - я надеялся на этот форум, что когда у меня возникнет, к примеру, подобный вопрос - мне грамотные специалисты ответят по делу, помогут, поучаствуют в обсуждении, покажут ошибки, предложат свои варианты, наставят на путь истинный и скажут что "это уже открыли до тебя ещё 100 лет назад" и т.п. А тут автор, движимый интересной гипотезой, выкладывает её на форум, ожидает обсуждения и развития, а в ответ только "это неправильно" да "так нельзя"... Вместо совместного творческого процесса автору пришлось довариваться в собственном котле безо всякой реакции - как это знакомо... Расстроился прямо. Причем, я примерно в то же время что и ТС проводил свои поиски в сходном направлении, правда выглядело это ещё драматичнее - десять страниц эпической темы http://electronix.ru/forum/index.php?sh ... =0&start=0

[profrotter]

_Ivana, спасибо за ссылку. Это интересно.