Применения сплайн- и вообще глобальной интерполяции

[eugrita]

Нельзя ли прояснить практическую применимость
а)методов глобальной интерполяции (полиномами) (имеется ввиду
интерполяционные полиномы в форме Лагранжа и Ньютона)
б)методов сплайн-интерполяции (кубический сплайн).

Вопрос на форуме вызван вопросами ряда студентов, на который я не могу ответить. В самом деле, если посмотрим в сторону модных сейчас предметов
эконометрики и экономико-математического моделирования - то там вообще не ставится вопрос об интерполяциях -только аппроксимации - регресии, МНК, тренды, прогнозы...
На безупречный аргумент что "все физические и экономические измерения происходят с ошибками и как следствие из этого - исх.данные надо сглаживать, искать зависимости не точно проходящие через точки а аппроксимации" мне нечего возразить.
Кто может это опровергнуть или прояснить суть дела?
(Я намеренно исключил из рассмотрения ортогональную систему функций
sinnx, cosnx - так как в применимости рядов и интегралов Фурье не сомневаюсь)

На тему сплайн-интерполяции видел в инете материалы на тему применимости B-сплайнов в работе станков с программным управлением (резка деталей) но это все как-то расплывчато

[profrotter]

Можно осуществлять сглаживание, выделение тренда или прогнозирование поточечно. Потом интерполировать. Лагранж имеет скорее теоретическое значение, так как при количестве узлов более 6-7 возникают известные проблемы.

[Pphantom]

eugrita в сообщении #643697 писал(а):

Нельзя ли прояснить практическую применимость
а)методов глобальной интерполяции (полиномами)

Главное, пожалуй, это последующее использование в различных вычислительных методах.

[мат-ламер]

Интерполяция сплайнами применяется в системах автоматизированного проектирования для задания линий и поверхностей. Мы можем интерактивно менять положение управляющих точек и изменять геометрию проектируемого объекта.

[_Ivana]

eugrita есть разные задачи - для каждой свои методы. Например - возьмем wav файл. Представляете себе что это такое? Правильно, последовательный набор чисел, задающих отсчеты исходной функции. Причем, точность задания считается абсолютной - точнее, определяется только точностью формата. Подразумевается, что отсчеты идут равномерно с частотой допустим 48 кгц. А теперь стоит задача из этого ряда получить отсчеты сигнала с частотой 44100 гц или ещё хуже - с переменной заранее неизвестной частотой. Тут и применяется в том числе и интерполяция, для расчета промежуточных значений в любых точках интервала. И это только один из примеров. Применение в управлении станками вы сами отметили.

ЗЫ пока долго набирал текст, уже примеров добавили. Про сплайны Безье ещё
почитайте - их применение в дизайне от контуров корпусов автомобилей до символов шрифтов тру-тайп.

profrotter, позволю себе категорически не согласиться с распространенным имхо заблуждением

Цитата:

Лагранж имеет скорее теоретическое значение, так как при количестве узлов более 6-7 возникают известные проблемы.

И практически применяется, и проблемы обходятся. Хотя, если вести речь именно о глобальной интерполяции одним полиномом Лагранжа, то здесь конечно я соглашусь. А так люди (я не вас лично имею в виду) сами не попробуют, прочитают примеры про функцию Рунге и утверждения подобные вашему, и становятся жертвами этого стереотипа, не понимая границ его истинности и ложности.

[eugrita]

_Ivana в сообщении #643759 писал(а):

eugrita А теперь стоит задача из этого ряда получить отсчеты сигнала с частотой 44100 гц или ещё хуже - с переменной заранее неизвестной частотой.

Это где же такая задача стоит - при изменении звукового формата что ли?
Т.е. в задачах перекодировки звуковой информации,

[_Ivana]

Это называется простым русским словом передискретизация или английским ресемплинг Можно погуглить http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B8%D1%8F Это не изменение формата, это изменение частоты дискретизации, в том числе и нестационарное, требуется и применяется много где.

[eugrita]

Цитата:

Хотя, если вести речь именно о глобальной интерполяции одним полиномом Лагранжа, то здесь конечно я соглашусь..

Если так ,то пожалуй надо выкинуть из ВУЗовских программ численных методов
упоминание об интерполяционном полиноме Лагранжа и Ньютона и само-собой освободить от нудных примеров его расчета либо с калькулятором либо с Excel
а в оставшееся время добавить что-то поинтереснее - например те же кривые Безье и B-сплайны как в фундаментальной лекции
http://www.intuit.ru/department/graphics/rastrgraph/4/rastrgraph_4.html
(правда пересмотр ВУЗовских программ-неблагодарное дело- еще в немилость попадешь к зав.кафедрой)

[_Ivana]

Не надо ничего выкидывать. Лагранж используется при построении многих сплайнов, базирующихся на локальной оценке производных. И ещё один интересный факт - синк с окном Гаусса является (чем бы вы думали?) - именно Лагранжем

[Алексей К.]

Фундаментальная лекция писал(а):

Наглядный метод построения этих кривых был предложен де Кастелье (de Casteljau) в 1959 году [26]. Метод де Кастелье основан..,

Нехорошо, что неизвестный автор известную фамилию исказил. Читается, произносится и пишется по-русски Кастельжо.

[Алексей К.]

eugrita в сообщении #643697 писал(а):

На тему сплайн-интерполяции видел в инете материалы на тему применимости B-сплайнов в работе станков с программным управлением (резка деталей) но это все как-то расплывчато

На чертёж не поместишь дифференциальное уравнение, из которого конструктор получил профиль кулачка для обеспечения, скажем, требуемого закона движения толкателся. На чертеже будет просто набор точек, описывающий профиль. Результат численного решения того ДУ с заведомо достаточной точностью. Даже для простой кривульки типа архимедовой спирали будет вывешена табличка $(x_i,y_i)$. Ну, иногда конструктор умудряется приблизить это последовательностью круговых дуг.

Эту табличку надо именно интерполировать. Вставлять какие-то сглаживания и аппроксимации нет оснований. И, более того, --- права не имеем: про диффур знал только конструктор, а я, технолог ЧПУ, и знать не хочу. У меня есть табличка и допуск формы профиля. Моё дело --- как можно лучше проинтерполировать кривую. Не забудем, что мех. обработка внесёт свои дополнительные погрешности, и мы ещё будем проводить допусковый контроль готового изделия для их оценки. А заранее что-то искажать нет резона.

[ewert]

eugrita в сообщении #643825 писал(а):

надо выкинуть из ВУЗовских программ численных методов
упоминание об интерполяционном полиноме Лагранжа и Ньютона

Во-первых, надо отдавать себе отчёт в том, что Лагранж и Ньютон -- это одно и то же, только в разных формах. Во-вторых, выкинуть -- это дело, конечно, хорошее; только тогда придётся быть последовательными и выкинуть также все квадратурные формулы, вообще любые упоминания о численном интегрировании. Нафик, ибо нефик!

[profrotter]

_Ivana в сообщении #643832 писал(а):

Лагранж используется при построении многих сплайнов

Интерполяционный многочлен Лагранжа используется при численной оценке производной функции по её дискретным значениям. А уж для чего будут использованы полученные оценки - зависит от конкретной решаемой задачи. Так что сплайны - сплайнами, производные - производными.

_Ivana в сообщении #643832 писал(а):

И ещё один интересный факт - синк с окном Гаусса является (чем бы вы думали?) - именно Лагранжем

Что-нибудь по существу написать можете? Я, например, вот тут topic58649.html разбирался - разбирался с чем-то похожим.

А студентам надо расширять кругозор. Надо пояснить им, что кроме МНК существует много других методов, которые предполагают цифровую обработку исходных данных. Выделение тренда, например, может быть реализовано путём цифровой фильтрации. Полагаю алгоритм скользящего среднего (moving average) экономистам известен. Разница с тем же МНК очевидна: в случае МНК требуется подобрать удачную математическую модель и из заданных требований определить её свободные параметры. При выделении тренда путём фильтрации математической моделью тренда является интерполирующая функция, построенная по результатам фильтрации. В некоторых случаях такой подход может оказаться более универсальным. Смотрим пример:
Исходные данные:

Импульсная характеристика цифрового фильтра:

Частотная характеристика цифрового фильтра:

Тренд - результат фильтрации:

Все вместе (исходные данные, тренд, центрированные данные) после интерполяции сплайном второй степени гладкости (правда я использую исключительно локальные сплайны):

Что касается прогнозирования, то уместно будет вспомнить о нейронных сетях, которые позволяют получить прогноз в виде дискретных значений тренда или самого процесса. Непрерывное прогнозирование тренда может быть достигнуто путём интерполяции.

Но следует отметить особо, что во всех случаях, когда имеется большое количество узлов интерполяции, глобальная интерполяция является вычислительно неэффективной.

[_Ivana]

profrotter Радует, что вы откликнулись в конструктивном ключе, а не написали что-то типа шаблонного "Лагранж по точкам более 6 склонен к неустранимым осцилляциям и поэтому не используется". Я сейчас на работе, много расписывать нет времени, вечером прочитаю вашу ссылку и напишу подробнее про обнаруженную мной связь Лагранжа и синка с Гауссом.

[_Ivana]

Возьмем достаточно большой набор отсчетов с равномерной дискретизацией некой функции. Полагаем, что сама функция и частота дискретизации удовлетворяют теореме Котельникова. Допустим, мы хотим получить значение исходной функции в некоей точке внутри интервала, для примера в 0.37 его ширины. Для этого мы построим интерполяционный многочлен Лагранжа по некоторому количеству точек, симметричному относительно нашего интервала, и посчитаем его значение в искомой точке. Многочлен будем записывать в форме Лагранжа, то есть в виде линейной комбинации базисных полиномов с весовыми коэффициентами - значениями отсчетов исходной функции, базисные полиномы можем для простоты расчета не раскрывать скобки а записывать прямо в виде множества произведений. Так как мы знаем, для какой точки внутри интервала мы хотим посчитать значение, мы можем заранее рассчитать значения всех базисных полиномов Лагранжа в этой точке, и потом уже перемножать эти коэффициенты со значениями отсчетов - получим, насколько я понимаю, некий КИХ-фильтр НЧ с частотой среза равной половине частоты дискретизации (максимум по Котельникову), или интерполяционный фильтр. Причем, его коэффициенты будут зависеть только от задания исходной точки внутри интервала (наши 0.37), то есть, насколько надо сдвинуть сигнал во временной области. Число коэффициентов фильтра (порядок многочлена Лагранжа) я брал в диапазоне вплоть до нескольких тысяч - да, интерполировал полиномами Лагранжа таких степеней Значения коэффициентов в "краях" фильтра получаются при этом очень маленькими, я пробовал их симметрично отбрасывать до какого-то уровня точности, понижая таким образом порядок фильтра. АЧХ и точность интерполяции вели себя предсказуемо при этом. А теперь мы можем зайти с другой стороны - рассмотреть этот фильтр, как рассчитанный по синку с каким-то окном. Рассчитаем коэффициенты фильтра такого же порядка для той же искомой точки (0.37) по чистому синку без окна, потом возьмем отношение коэффициентов получившихся фильтров - это будет наше окно. Выглядит оно красиво, логарифм от него получается красивой параболой - значит это окно Гаусса. Но окно гаусса параметрическое - зависит от параметра. задающего компромисс между точностью и приближением к частоте Найквиста. Так в нашем случае именно этот компромисс (а значит и параметр окна) задает количество отбрасываемых с краев коэффициентов фильтра при данном исходном порядке полинома Лагранжа.