Электрический ток

[Munin]

Nirowulf в сообщении #842916 писал(а):

Простите, это сарказм или пожелание? :D

Выясним, глядя, как Pineapple отреагирует :-) Вообще он смышлёный.

(Оффтоп)

Nirowulf
У меня одно пожелание: перед тем, как отправлять пост, просто перечитывайте его свежим взглядом, а? Вот например, фраза:

Nirowulf в сообщении #842939 писал(а):

Электростатика рассматривает случай постоянного электрического поля, при отсутствии магнитного и при отсутствии электрических токов...

читается не вполне однозначно: может показаться, что речь идёт о каком-то "магнитном токе" и его отсутствии (ну так русский язык работает, да и запятые сэкономлены). Хотя достаточно было бы вписать одно слово: "при отсутствии магнитного поля" - и всё. Не пугайтесь повторяющихся слов, это правило из школьных сочинений по литературе - в научно-технических текстах не работает, здесь термин должен быть воспроизведён буквально, как термин, а не заменён синонимами и экивоками.

Что такое частная производная, Pineapple может ещё и не знать (а может и знать, не знаю). Тогда можно пояснить, что здесь это просто производная по времени, которая показывает изменение величины со временем.

[Nirowulf]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #843055 писал(а):

читается не вполне однозначно: может показаться, что речь идёт о каком-то "магнитном токе" и его отсутствии (ну так русский язык работает, да и запятые сэкономлены). Хотя достаточно было бы вписать одно слово: "при отсутствии магнитного поля" - и всё. Не пугайтесь повторяющихся слов, это правило из школьных сочинений по литературе - в научно-технических текстах не работает, здесь термин должен быть воспроизведён буквально, как термин, а не заменён синонимами и экивоками.

Да, здесь я что-то слово "поле" зря пропустил, согласен.

[Pineapple]

Цитата:

Что такое частная производная, Pineapple может ещё и не знать (а может и знать, не знаю). Тогда можно пояснить, что здесь это просто производная по времени, которая показывает изменение величины со временем.

Немного знаю. Если есть функция нескольких переменных, то частная производная - это производная по какой-нибудь одной переменной.

В общем я понял, что, когда нет магнитного поля, электромагнитных волн и заряд неподвижен, электрическое поле является потенциальным и это экспериментальный факт, закон природы.
Еще я узнал, что поле потенциальное, если ротор поля равен нулю. А он равен нулю когда заряды неподвижны, отсутствует магнитное поле и электрический ток.
А вот, что такое градиент и ротор я не понял.

[Munin]

Pineapple в сообщении #843111 писал(а):

Немного знаю. Если есть функция нескольких переменных, то частная производная - это производная по какой-нибудь одной переменной.

Правильно. Ещё другой способ сказать то же самое: в многомерном пространстве нескольких переменных, это производная по направлению какой-то выбранной оси координат. И обозначается "круглыми" значками \partial $\partial$ (всегда парой: в числителе и в знаменателе).

Pineapple в сообщении #843111 писал(а):

А вот, что такое градиент и ротор я не понял.

Что такое градиент - это "карта стрелочек", составленная по известному "рельефу".

Что такое ротор - мы вам здесь не объясняли. Но я могу направить вас к книге, которую уже рекомендовал: Зильберман "Электричество и магнетизм". В ней ротор называется "вихри поля" (а дивергенция - "источники поля"). Градиент там тоже объяснён, на понятии потенциала. Эти три величины: градиент, дивергенция, ротор - составляют основу векторного анализа.

[Nirowulf]

Pineapple в сообщении #843111 писал(а):

А вот, что такое градиент и ротор я не понял.

Некоторые дифференциальные операции. Узнаете их, когда пройдёте векторный анализ. Хотя, в принципе, чтобы понять их стандартные формулы достаточно знать частные производные и иметь представление о координатах.

Имхо, математически эти операции проще и лучше всего изучить через(и вместе с) аппарат т.н. дифференциальных форм. Но для вас, к сожалению, это пока сложновато.

Про градиент можно ещё добавить, что стрелочки смотрят в направлении наибыстрейшего возрастании величины, от которой берётся градиент.

Дивергенция векторного поля, грубо говоря, показывает в какой степени малая окрестность данной точки пространства является источником или истоком этого векторного поля т.е. какой имеется поток поля через границу небольшой области, охватывающей данную точку пространства.

Собственно, теорема Гаусса в дифференциальной форме выглядит так:

$$\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi \rho.$$

$\rho -$ объёмная плотность электрического заряда. Теорема Гаусса и говорит нам, что если есть ненулевая плотность электрического заряда в некотором объёме пространства, то есть и ненулевой поток электрического поля $\mathbf{E}$ через границу этого объёма.

Вообще, кинематический смысл этих операций можно объяснить на примере движения жидкости, откуда вроде и пришла эта терминология(исток, сток, поток и т.д.)

Пусть у нас есть некоторое векторное поле, зависящее от координат, $\mathbf{A}=\mathbf{A}(x,y,z).$ Поле задано в некоторой области пространства $\Omega$, будем считать, что эта область заполнена жидкостью, а вектор $\mathbf{A}(x,y,z)$, выражает скорость, с которой движется частица жидкости, находящаяся в данный момент в точке с координатами $(x,y,z)$. Частица жидкости это, сиречь, малая шаровая капелька.

Наша малая шаровая капля в процессе движения жидкости за малый промежуток времени $\varepsilon$ подвергается трём вещам:
1)Тривиальному параллельному переносу вместе со своим центром на вектор $\varepsilon\mathbf{A}$
2)Объёмной деформации т.е. сжатию( растяжению), превращаясь из шара в эллипсоид.
3)Вращению

Оказывается, что:

a)Эта объёмная деформация за малый промежуток времени $\varepsilon$ равна $\varepsilon \operatorname{div}\mathbf{A}$ т.е. деформация происходит со скоростью $\operatorname{div}\mathbf{A}$.

b)Вращение малой капли жидкости происходит с угловой скоростью $\mathbf{w}=\frac{1}{2}\operatorname{rot}\mathbf{A}$. Если поле $\mathbf{A}$ потенциально, то $\mathbf{w}=\frac{1}{2}\operatorname{rot}\mathbf{A}=0$, следовательно, капля не испытывает вращения, а только сдвиг и деформацию. Такое движение жидкости называют незавихрённым.

Малая $=$ бесконечно малая, чтобы лишних слов не писать каждый раз.

[Munin]

(Оффтоп)

Nirowulf в сообщении #843165 писал(а):

Малая $=$ бесконечно малая

В математике. В физике под этим словом подразумевается скорее "пренебрежимо малая". Потому что мы знаем, что "бесконечно увеличивать под микроскопом" физическое явление зачастую нельзя, например, потому что текущая жидкость начинает распадаться на толкающиеся атомы. Но на большом масштабе этой атомной картиной можно пренебречь.

[Nirowulf]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #843175 писал(а):

В математике. В физике под этим словом подразумевается скорее "пренебрежимо малая". Потому что мы знаем, что "бесконечно увеличивать под микроскопом" физическое явление зачастую нельзя, например, потому что текущая жидкость начинает распадаться на толкающиеся атомы. Но на большом масштабе этой атомной картиной можно пренебречь.

Ну это я оговорку больше для забредших сюда матфизиков сделал, чтобы не заклевали=)

Так я с вами полностью согласен.

[Nirowulf]

Nirowulf в сообщении #843165 писал(а):

Хотя, в принципе, чтобы понять их стандартные формулы достаточно знать частные производные и иметь представление о координатах.

Люблю я писать интригующие формулы, так что не могу удержаться. Тем более, что Pineapple сознался, что имеет некоторое представление о частной производной.

Итак, будем обитать в $3$-мерном плоском пространстве, на котором введены декартовы координаты $x,y,z.$

Пусть у нас есть скалярное поле $\varphi=\varphi(x,y,z)$ и векторное поле $\mathbf{A}=\mathbf{A}(x,y,z)=(A_x(x,y,z),A_y(x,y,z),A_z(x,y,z))$.

Градиентом скалярного поля $\varphi$ называется вектор

$$\operatorname{grad}\varphi=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right).$$

Дивергенцией векторного поля $\mathbf{A}$ называется скалярная величина

$$\operatorname{div}\mathbf{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}.$$

Ротором(или вихрем) векторного поля $\mathbf{A}$ называется вектор

$$\operatorname{rot}\mathbf{A}=\operatorname{curl}\mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right).$$

$\operatorname{rot}$ это название, принятое в русскоязычной и европейской литературе( кроме Англии). Пришло из немецкой литературы.

$\operatorname{curl}$ это название из англоязычной литературы, собственно, curl по-английски означает вихрь, завиток и т.д.

Эти формулы можно записать в более изящном виде, если ввести векторный дифференциальный оператор, называемый оператор набла

$$ \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right).$$

Если вектор $\nabla$ умножить на скаляр $\varphi$, то получаем градиент $$\nabla\varphi=\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\frac{\partial \varphi}{\partial y},\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=\operatorname{grad}\varphi$$.

Если вектор $\nabla$ скалярно умножить на вектор $\mathbf{A}$, то получаем дивергенцию

$$\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}=\operatorname{div}\mathbf{A}.$$

Если вектор $\nabla$ векторно умножить на вектор $\mathbf{A}$, то получаем ротор

$$\nabla\times\mathbf{A}=\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=\operatorname{rot}\mathbf{A}. $$

Оператор набла также иногда называют оператором Гамильтона, в честь Уильяма Гамилтона, который впервые ввёл этот оператор. Но лучше не употреблять это название, так как в физике под оператором Гамильтона подразумевают совсем другое $-$ гамильтониан в квантовой теории.

[Nemiroff]

Nirowulf в сообщении #843165 писал(а):

Собственно, теорема Гаусса в дифференциальной форме выглядит так:

$$\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi \rho.$$

$\rho -$ объёмная плотность электрического заряда. Теорема Гаусса и говорит нам, что если есть ненулевая плотность электрического заряда в некотором объёме пространства, то есть и ненулевой поток электрического поля $\mathbf{E}$ через границу этого объёма.

Скукотища. Буковки, жирный шрифт и граница объёма.
А нафига нужна эта теорема? Что-нибудь посчитать можно? Полезное? Вот шарик. Из криптонита. Равномерно заряженный. И куда эти "дифференциальные операторы" вставлять?

Pineapple в сообщении #843111 писал(а):

Еще я узнал, что поле потенциальное, если ротор поля равен нулю.

Главное вот эту фразу не запомнить слишком хорошо.

Pineapple в сообщении #843111 писал(а):

В общем я понял, что, когда нет магнитного поля, электромагнитных волн и заряд неподвижен, электрическое поле является потенциальным и это экспериментальный факт, закон природы.

К этому достаточно легко привыкнуть. Пока не мешаются всякие токи и непонятно как работающие магниты, все эти электроны, заряженные шарики и плоскости и прочая — они как планеты, на первый взгляд ничего особенного (ну кроме знака и заряда). А для гравитации вообще всё хорошо — что-то же про потенциальную энергию было, которая работа, которая не зависит...
Для точечного заряда потенциальность электростатического поля несложно проверить руками. А для нескольких — что-то брякнуть про суперпозицию.

Pineapple в сообщении #842613 писал(а):

Потому что поле может перемещать пробный заряд только в радиальном направлении?

Если от этого понятнее, то да. При этом возникает вопрос, почему поле может перемещать заряд только в радиальном направлении. Можно на этом месте сказать, что это экспериментальный факт.

[Munin]

Nirowulf в сообщении #843365 писал(а):

Оператор набла также иногда называют оператором Гамильтона, в честь Уильяма Гамилтона, который впервые ввёл этот оператор.

И ещё, по-английски он почему-то часто называется "del".

Nemiroff в сообщении #843372 писал(а):

При этом возникает вопрос, почему поле может перемещать заряд только в радиальном направлении. Можно на этом месте сказать, что это экспериментальный факт.

Именно что экспериментальный, потому что физики знают и другие поля, которые не обладают таким свойством. Например, ядерная сила между протонами и нейтронами. Она тянет нуклон ещё и вбок.

-- 31.03.2014 13:58:23 --

Для интересующихся:
Эриксон, Вайзе. Пионы и ядра.
Нуклон-нуклонная сила в области однопионного обмена - разделы 3.2-3.8, с. 56, ф-лы (3.9), (3.13).
Background по взаимодействию Юкавы (в пренебрежении спиновой, изоспиновой и нецентральной структурой) хорошо изложен в
Мухин. Экспериментальная ядерная физика. Книга 2.
см. § 81, тж. см. § 84.4, § 84.7-9.

[Nirowulf]

Munin в сообщении #843486 писал(а):

И ещё, по-английски он почему-то часто называется "del".

Если верить английской Вики, то потому что Гамильтон придумал для него это обозначение $\triangleleft$, перевернув букву дельта $\Delta$. Сам он называл его "atled", слово "delta" наоборот. От слова "delta" взяли первые 3 буквы и получили короткое и удобное название "del". Современное же обозначение $\nabla$ было введено Питером Тэтом.

Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics and physics, founded upon the lectures of J. Willard Gibbs by Edwin Bidwell Wilson писал(а):

This symbolic operator $\nabla$ was introduced by Sir W. R. Hamilton and is now in universal employment. There seems, however, to be no universally recognized name for it, although owing to the frequent occurrence of the symbol some name is a practical necessity. It has been found by experience that the monosyllable del is so short and easy to pronounce that even in complicated formulae in which $\nabla$ occurs a number of times, no inconvenience to the speaker or listener arises from the repetition. $\nabla V$ is read simply as 'del V'.

По одной из версий, с подачи Максвелла, если верить лорду Кельвину, символ стали называть "набла".

W. Thomson, Notes Lect. Molecular Dynamics & Wave Theory of Light at Johns Hopkins Univ. x 112 (MS) (1884) писал(а):

I took the liberty of asking Professor Bell whether he had a name for this symbol $\nabla$ and he has mentioned to me nabla, a humorous suggestion of Maxwell's. It is the name of an Egyptian harp, which was of that shape.

Согласно другой версии, название "набла" придумал Питер Тэт. А ещё одна версия утверждает, что название "набла" придумал не сам Максвелл, а его друг в переписке с самим Максвеллом.

[Munin]

(Оффтоп)

Nirowulf в сообщении #843680 писал(а):

Если верить английской Вики, то потому что Гамильтон придумал для него это обозначение $\triangleleft$, перевернув букву дельта $\Delta$. Сам он называл его "atled", слово "delta" наоборот. От слова "delta" взяли первые 3 буквы и получили короткое и удобное название "del".

Вот как раз про происхождение названия "del" в английской Вики не сказано.

И нашёл я эту статью Гамильтона 1837 года. Там этот символ используется в совершенно другом смысле - как placeholder для произвольной функции. А в современном смысле векторного оператора - это всё-таки Гиббс.

Nirowulf в сообщении #843680 писал(а):

По одной из версий, с подачи Максвелла, если верить лорду Кельвину, символ стали называть "набла".
Согласно другой версии, название "набла" придумал Питер Тэт. А ещё одна версия утверждает, что название "набла" придумал не сам Максвелл, а его друг в переписке с самим Максвеллом.

Одно точно: изначально название "набла" было несерьёзным, кого-то из этих авторов называли "музыкантом на набле", за ловкость в обращении с символом. А потом было подхвачено, и в старом смысле забылось.

Забавно, пойдёт в коллекцию к терминам "кварк", "чёрная дыра", "Большой Взрыв".

[Nirowulf]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #843704 писал(а):

И нашёл я эту статью Гамильтона 1837 года. Там этот символ используется в совершенно другом смысле - как placeholder для произвольной функции. А в современном смысле векторного оператора - это всё-таки Гиббс.

Спасибо за уточнение!

Munin в сообщении #843486 писал(а):

Именно что экспериментальный, потому что физики знают и другие поля, которые не обладают таким свойством. Например, ядерная сила между протонами и нейтронами. Она тянет нуклон ещё и вбок.

Да можно от электромагнетизма далеко не ходить, сила Лоренца в магнитном поле, которая перпендикулярна скорости частицы.

[Pineapple]

Если имеется электродвигатель, то чем будут отличаться эти формулы: $P=IU$ и $P=I^2 R$?

[Munin]

В цепи переменного тока и ток, и напряжение идут по синусоиде (в таких формулах для вычислений записывают действующее значение таких величин - амплитуду синусоиды, делённую на $\sqrt{2}$). И формула $I^2R$ хорошо работает только тогда, когда эти синусоиды совпадают по фазе: ток нарастает одновременно с напряжением. А все электроприборы, в которых имеются большие ёмкости, индуктивности, электромагниты, и в частности, все электродвигатели, - когда их включаешь в розетку, не подчиняются этому правилу. У них ток отстаёт от напряжения (или иногда опережает), и формула перестаёт работать. Возникают два понятия мощности: "полная" и "активная" (и комплексная разница между ними называется "реактивной"), и для электродвигателя они аналогичны "полной работе" и "бесполезной работе", которые нужны для вычисления КПД.