Росток аналитических функций

[g______d]

А где встречается такое определение ростка гладкой функции?

[OlgaD]

g______d в сообщении #845870 писал(а):

А где встречается такое определение ростка гладкой функции?

Присоединяюсь к вопросу

-- 06.04.2014, 11:30 --

Хотя, наверное, это отождествление имелось в виду

nnosipov в сообщении #845408 писал(а):

Росток аналитической функции в точке (допустим, в нуле) --- это фактически последовательность $\{a_n\}$ её коэффициентов Тейлора. Посадили Взяли $a_n=n$ --- выросла дробно-линейная функция. Взяли $a_n=1/n$ --- логарифм вырос. Взяли $a_n=n!$ --- ничего не выросло (нет такой аналитической функции).

[g______d]

OlgaD в сообщении #846069 писал(а):

Хотя, наверное, это отождествление имелось в виду

Для аналитической оба определения эквивалентны, а для гладкой – нет.

-- Вс, 06 апр 2014 00:42:26 --

Что, собственно, подтверждает приведенный выше пример.

-- Вс, 06 апр 2014 00:43:29 --

А, вот, вспомнил: совокупность производных называется либо $\infty$-джетом, либо $\infty$-струей.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #845870 писал(а):

А где встречается такое определение ростка гладкой функции?

Это учебная задача, позволяющая "пощупать", как должны различаться разумные определения ростка для разных классов функций.

[OlgaD]

g______d в сообщении #846074 писал(а):

А, вот, вспомнил: совокупность производных называется либо $\infty$-джетом, либо $\infty$-струей.

С этими определениями я совсем не знакома. А можно на более понятном языке сформулировать определение ростка функции для гладкий функций.

[Brukvalub]

Выше я уже сформулировал это определение.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

а не ввести ли нам на пространстве ростков топологию

[OlgaD]

Brukvalub в сообщении #845857 писал(а):

Согласен. Будем понимать под ростком в данной точке последовательность значений производных функции в данной точке.

По-видимому имелось в виду это определение? Просмотрела.

[Otta]

OlgaD в сообщении #846082 писал(а):

С этими определениями я совсем не знакома. А можно на более понятном языке сформулировать определение ростка функции для гладкий функций.

Оно такое же, как и для любой другой. Аналитической, в частности. С этого тема начиналась.
Функция $e^{-1/x^2}$ - то, что называется плоским добавком, - имеет тождественно нулевой ряд Тейлора в нуле и является примером, как тождественно нулевому формальному ряду могут в классе $C^\infty$ соответствовать различные функции. И возникает необходимость вспоминать про плоские добавки именно там, где происходил переход от рассуждений с формальными рядами к рассуждениям с бесконечно дифференцируемыми функциями. Такие результаты есть, но это всё о другом, и определение ростка от этого не изменится.

Именно, функция $e^{-1/x^2}$ не является элементом ростка нулевой функции, т.к. в любой проколотой окрестности они не совпадают.

[Brukvalub]

Вот правильное определение ростка для гладких функций:

Brukvalub в сообщении #845857 писал(а):

..
Если же под ростком понимать множество всех функций, попарно совпадающих в какой-либо окрестности данной точки, то задачка выглядит хуже, хотя тоже имеет смысл.
...

[Otta]

Угу.

[OlgaD]

Otta в сообщении #846096 писал(а):

OlgaD в сообщении #846082 писал(а):

С этими определениями я совсем не знакома. А можно на более понятном языке сформулировать определение ростка функции для гладкий функций.

Оно такое же, как и для любой другой. Аналитической, в частности. С этого тема начиналась.
Функция $e^{-1/x^2}$ - то, что называется плоским добавком, - имеет тождественно нулевой ряд Тейлора в нуле и является примером, как тождественно нулевому формальному ряду могут в классе $C^\infty$ соответствовать различные функции. И возникает необходимость вспоминать про плоские добавки именно там, где происходил переход от рассуждений с формальными рядами к рассуждениям с бесконечно дифференцируемыми функциями. Такие результаты есть, но это всё о другом, и определение ростка от этого не изменится.

Именно, функция $e^{-1/x^2}$ не является элементом ростка нулевой функции, т.к. в любой проколотой окрестности они не совпадают.

С примером Коши я знакома. А вот над разницей в определении ростка для разных классов функции пока еще не задумывалась

[Munin]

_Ivana в сообщении #845869 писал(а):

надо только врезать туда соответствующую "выпуклость" и склеить в точках врезки по всем бесконечным производным. "Врезку" можно генерировать как полином бесконечной степени, коэффициенты которого рассчитываются по условиям склейки всех производных (начиная с нулевой) в обоих краях?

http://en.wikipedia.org/wiki/Bump_function
Как это называется по-русски?

[OlgaD]

Brukvalub в сообщении #846097 писал(а):

Вот правильное определение ростка для гладких функций:

Brukvalub в сообщении #845857 писал(а):

..
Если же под ростком понимать множество всех функций, попарно совпадающих в какой-либо окрестности данной точки, то задачка выглядит хуже, хотя тоже имеет смысл.
...

Разве оно же не понималось в самом начале для аналитических функций. По-моему я запуталась

[Otta]

Munin всю сознательную жизнь называю "шапочкой"

-- 06.04.2014, 14:44 --

OlgaD в сообщении #846100 писал(а):

С примером Коши я знакома. А вот над разницей в определении ростка для разных классов функции пока еще не задумывалась

Я же Вам не про пример Коши, он тут как раз неуместен, и я об этом говорю.
Я про то, что определение то же, какая ему разница на класс функций.

OlgaD в сообщении #846102 писал(а):

Разве оно же не понималось в самом начале для аналитических функций. По-моему я запуталась

Есть немного.