Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO

[mike84]

svv, согласен, давайте вначале разберемся с формулами
вот откуда я это взял http://savepic.net/5076996.htm

да, Вы правы, там две комплексные величины. Пока не могу придумать условий при которых та сумма произведений может =1..

h1 и h2 - это комплексные коэффициенты передачи в каналах связи
r1 и r2 - сигнал принятый в момент времени 1 и 2 соответственно.

[svv]

В формуле 3.19 пропущена тильда ~ над $x_1$. Это видно из того, что в аналогичной формуле 3.22 тильда не пропущена: $\tilde{x}_2$.

Таким образом, правильные формулы:
$\tilde{x}_1=h_1^*r_1+h_2 r_2^*$
$\tilde{x}_2=h_2^*r_1-h_1 r_2^*$
(т.е. числители в моих формулах, полученных по правилу Крамера).
Это хоть и не в точности восстановленные сигналы $x_1$, $x_2$, но уже нечто очень близкое, отличающееся тем самым постоянным коэффициентом $h_1 h_1^*+h_2 h_2^*$ (который, как теперь понятно, единице не равен).

Иными словами, связь между «тильдованными» и «нетильдованными» иксами такая:
$\tilde{x}_1=(h_1 h_1^*+h_2 h_2^*)x_1$
$\tilde{x}_2=(h_1 h_1^*+h_2 h_2^*)x_2$
В Вашем скане это формулы (3.21) и (3.24). Из них сами $x_1, x_2$ получаются уже элементарно (как математически, так и физически).

mike84
Вы, пожалуйста, начинайте потихоньку использовать для записи формул $\TeX$. Обучиться можно здесь: topic8355.html и topic183.html. Гораздо красивее, аккуратнее, читабельнее получается. Да и Правила этого требуют.
Пишем: $\tilde{x}_1=(h_1 h_1^*+h_2 h_2^*)x_1$
Получаем: $\tilde{x}_1=(h_1 h_1^*+h_2 h_2^*)x_1$

[mike84]

Т.е. при помощи вашего решения из

$\[{r_1} = {h_1}{x_1} + {h_2}{x_2}\]$
$\[{r_2} = - {h_1}x_2^* + {h_2}x_1^*\]$

мы получили напрямую

$\[\widetilde{x}_1 = \dfrac{{{h^*}_1{r_1} + {h_2}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$; $\[\widetilde{x}_2 = \dfrac{{{h^*}_2{r_1} + {h_1}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$

без подстановки, как указано в формулах 3.19-3.20, 3.22-3.23

соответственно значение выражения $\[{h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*\]$ будет зависеть от значений величин канальных коэффициентов.

[svv]

Большие дроби получаются, если вместо \frac написать \dfrac .

1) Вы хотели в $\TeX$ сделать так, как видели у кого-то, но не получилось.
Если Вы подведете курсор мышки к формуле, Вы увидите её код.
Скопировать формулу можно через свойства изображения.
(Оба совета работают в Opera, за остальные браузеры не отвечаю)

2) Почему я считаю, что ${h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*$ не обязательно равен единице.
Он должен был быть единичным, когда мы думали, что
$\bullet$ те $x_1, x_2$, что в формулах (3.17), (3.18)
$\bullet$ и те $x_1, x_2$, что в формулах (3.19), (3.22)
— это одни и те же величины. Если требовать, чтобы это были одни и те же величины, то да, это возможно только при ${h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*=1$.

Но внимательный взгляд на этот текст показал, что в (3.19), (3.22) стоят (или должны стоять, если исправить опечатку) другие величины: $\tilde x_1$ и $\tilde x_2$. Из формул (этих и формул Крамера) видно, что они отличаются от $x_1, x_2$ как раз этим множителем. Поскольку разные величины уже не обязаны быть равны друг другу, требования ${h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*=1$ больше нет.

Кроме того, если бы это было равно единице, то автор статьи упростил бы это выражение в формулах (3.21), (3.24), а он этого не сделал.

Конечно, все эти соображения появились только после знакомства с текстом статьи.

mike84 в сообщении #844954 писал(а):

$\[\widetilde{x}_1 = \frac{{{h^*}_1{r_1} + {h_2}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$; $\[\widetilde{x}_2 = \frac{{{h^*}_2{r_1} + {h_1}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$

Нет, такие дроби — это $x_1, x_2$ без тильд. С тильдами — это их числители.

mike84 в сообщении #844954 писал(а):

но как все-таки получаются эти соотношения?
$\tilde{x}_1 = {h_1}^*{r_1} + {h_2}r_2^*$; $\tilde{x}_2 = {h_2}^*{r_1} + {h_1}r_2^*$

Доказать эти формулы нельзя по той простой причине, что величины $\tilde{x}_1$ и $\tilde{x}_2$ до момента их появления в формулах (3.19), (3.22) нигде не были определены. Поэтому остается одна возможность: формулы (3.19),(3.22) — это определения тильдованных иксов.

Но когда мы их определили, связь между ними и простыми иксами уже получается автоматически. Т.е. по формулам Крамера
$x_1=\dfrac{h_1^*r_1+h_2 r_2^*}{h_1 h_1^*+h_2 h_2^*}$,
а мы определили $\tilde{x}_1$ как числитель этой дроби. Следовательно,
$\tilde{x}_1=(h_1 h_1^*+h_2 h_2^*)x_1$
(формула 3.21)

-- Чт апр 03, 2014 15:50:10 --

mike84
У Вас уже хорошо получается набирать формулы, но Вы, по-моему, иногда ставите лишние квадратные скобки \[ и \]

[mike84]

Т.е. при помощи вашего решения из

$\[{r_1} = {h_1}{x_1} + {h_2}{x_2}\]$
$\[{r_2} = - {h_1}x_2^* + {h_2}x_1^*\]$

мы получили напрямую истинные значения $x_1$ и $x_2$, а не их оценки $\[{\widetilde{x}_1}\]$ и $\[{\widetilde{x}_2}\]$.

$\[\ x_1 = \dfrac{{{h^*}_1{r_1} + {h_2}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$; $\[\ x_2 = \dfrac{{{h^*}_2{r_1} + {h_1}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$

без подстановки, как указано в формулах 3.19-3.20, 3.22-3.23

соответственно значение выражения $\[{h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*\]$ будет зависеть от значений величин канальных коэффициентов.

Цитата:

Но внимательный взгляд на этот текст показал, что в (3.19), (3.22) стоят (или должны стоять, если исправить опечатку) другие величины: и . Из формул (этих и формул Крамера) видно, что они отличаются от как раз этим множителем. Поскольку разные величины уже не обязаны быть равны друг другу, требования больше нет.

согласен, если бы выражение $\[{h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*\]=1$, то $\[x = \widetilde x\]$, а это невозможно, по причине того, что канальные коэффициенты имеют определенные значения.

Я формулы набираю через программу MathType, вот она и ставит \[ и \]...)

svv, я Вам очень благодарен за помощь !!!

-- Чт апр 03, 2014 15:45:31 --

Домашним заданием у меня будет вычислить значения $x_1$ и $x_2$, применительно к случаю

исходя из значений $r_11, r_12, r_21, r_22$ по Вашему предложенному методу

[svv]

r_{11}

[mike84]

исходя из значений $r_{11}, r_{12}, r_{21}, r_{22}$ по Вашему предложенному методу (исправил)

-- Чт апр 03, 2014 15:52:54 --

Еще одна просьба, если можно, по реализации Фазовой разнесенной передачи.
Если будут какие мысли подскажите пожалуйста на будущее)

[svv]

Ну, понятно, автор статьи тоже знал эти формулы, полученные по Крамеру. Смотрите: в обеих формулах (3.22) и (3.24) в левых частях стоит $\tilde x_2$. Поэтому можно приравнять правые части. Получим
$h_2^*r_1-h_1 r_2^*=(|h_1|^2+|h_2|^2)x_2$,
откуда элементарно получается
$x_2=\dfrac{h_2^*r_1-h_1 r_2^*}{|h_1|^2+|h_2|^2}$
Я думаю, до такого он догадался бы.

На самом деле он, конечно, тоже получал $x_1, x_2$ по Крамеру, но результат (вернее, числители $\tilde x_1, \tilde x_2$) представил в (3.19) и (3.22) как формулы, полученные «ниоткуда» (что и вызвало Ваше законное недоумение). Как результат гениальной догадки. Хотя это просто решения системы линейных алгебраических уравнений $2\times 2$.

-- Чт апр 03, 2014 17:01:04 --

mike84 в сообщении #844976 писал(а):

Еще одна просьба, если можно, по реализации Фазовой разнесенной передачи.
Если будут какие мысли подскажите пожалуйста на будущее)

Понимаете, мне для этого надо будет познакомиться с темой, я же в ней совершенно не ориентируюсь. Просто для вот этих алгебраических выкладок не обязательно было разбираться в каналах и сигналах, на этом я и выехал. А тут уже надо быть специалистом.

[mike84]

Цитата:

На самом деле он, конечно, тоже получал по Крамеру, но результат (вернее, числители ) представил в (3.19) и (3.22) как формулы, полученные «ниоткуда» (что и вызвало Ваше законное недоумение). Как результат гениальной догадки. Хотя это просто решения системы линейных алгебраических уравнений .

Да, вот как оказывается нынче скрывают получение определенных выражений)))

Результат домашнего задания
До конца немного не удалось довести, напишу на чем остановился
Итак имеем уравнения
$\[\begin{array}{l} {r_{11}} = {h_{11}}{x_1} + {h_{12}}{x_2} \\ r_{12}^* = h_{12}^*{x_1} - h_{11}^*{x_2} \\ {r_{21}} = {h_{21}}{x_1} + {h_{22}}{x_2} \\ r_{22}^* = h_{22}^*{x_1} - h_{21}^*{x_2} \\ \end{array}\]$
$\[\begin{array}{l} \left( \begin{array}{l} {r_{11}} \\ r_{12}^* \\ \end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_{11}}} & {{h_{12}}} \\ {h_{12}^*} & { - h_{11}^*} \\ \end{array}} \right)\left( \begin{array}{l} {x_1} \\ {x_2} \\ \end{array} \right) \\ {x_1} = \frac{{\left| \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{r_{11}}} & {{h_{12}}} \\ \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {r_{12}^*} & { - h_{11}^*} \\ \end{array} \\ \end{array} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_{11}}} & {{h_{12}}} \\ {h_{12}^*} & { - h_{11}^*} \\ \end{array}} \right|}} = \dfrac{{ - h_{11}^*{r_{11}} - {h_{12}}r_{12}^*}}{{ - h_{11}^*{h_{11}} - {h_{12}}h_{12}^*}} = \dfrac{{h_{11}^*{r_{11}} + {h_{12}}r_{12}^*}}{{h_{11}^*{h_{11}} + {h_{12}}h_{12}^*}} \\ {x_2} = \frac{{\left| \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{h_{11}}} & {{r_{11}}} \\ \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {h_{12}^*} & {r_{12}^*} \\ \end{array} \\ \end{array} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_{11}}} & {{h_{12}}} \\ {h_{12}^*} & { - h_{11}^*} \\ \end{array}} \right|}} = \dfrac{{{h_{11}}r_{12}^* - h_{12}^*{r_{11}}}}{{ - h_{11}^*{h_{11}} - {h_{12}}h_{12}^*}} = \dfrac{{h_{12}^*{r_{11}} - {h_{11}}r_{12}^*}}{{h_{11}^*{h_{11}} + {h_{12}}h_{12}^*}} \\ \left( \begin{array}{l} {r_{21}} \\ r_{22}^* \\ \end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_{21}}} & {{h_{22}}} \\ {h_{22}^*} & { - h_{21}^*} \\ \end{array}} \right)\left( \begin{array}{l} {x_1} \\ {x_2} \\ \end{array} \right) \\ {x_1} = \frac{{\left| \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{r_{21}}} & {{h_{22}}} \\ \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {r_{22}^*} & { - h_{21}^*} \\ \end{array} \\ \end{array} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_{21}}} & {{h_{22}}} \\ {h_{22}^*} & { - h_{21}^*} \\ \end{array}} \right|}} = \dfrac{{ - h_{21}^*{r_{21}} - {h_{22}}r_{22}^*}}{{ - h_{21}^*{h_{21}} - {h_{22}}h_{22}^*}} = \dfrac{{h_{21}^*{r_{21}} + {h_{22}}r_{22}^*}}{{h_{21}^*{h_{21}} + {h_{22}}h_{22}^*}} \\ {x_2} = \frac{{\left| \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{h_{21}}} & {{r_{21}}} \\ \end{array} \\ \begin{array}{*{20}{c}} {h_{22}^*} & {r_{22}^*} \\ \end{array} \\ \end{array} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_{21}}} & {{h_{22}}} \\ {h_{22}^*} & { - h_{21}^*} \\ \end{array}} \right|}} = \dfrac{{{h_{21}}r_{22}^* - h_{22}^*{r_{21}}}}{{ - h_{21}^*{h_{21}} - {h_{22}}h_{22}^*}} = \dfrac{{h_{22}^*{r_{21}} - {h_{21}}r_{22}^*}}{{h_{21}^*{h_{21}} + {h_{22}}h_{22}^*}} \\ \end{array}\]$
А вот как соединить $x_1$ и $x_2$ ?

Либо решить $\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{r_{11}}} \\ {r_{12}^*} \\ {{r_{21}}} \\ {r_{22}^*} \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_{11}}} & {{h_{12}}} \\ {h_{12}^*} & { - h_{11}^*} \\ {{h_{21}}} & {{h_{22}}} \\ {h_{22}^*} & { - h_{21}^*} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ \end{array}} \right)\]$
но как взять определитель от не квадратной матрицы?

[svv]

Ну да, здесь видна проблема:

Значения $x_1, x_2$, полученные решением первой системы уравнений (в которой $r_{11}, r_{12}^*$), могут не совпадать со значениями $x_1,x_2$, полученными решением второй системы уравнений (в которой $r_{21}, r_{22}^*$).

Это может указывать на то, что выбрана не совсем корректная математическая модель.

Философски дилемма звучит так.
$\bullet$ Если Вы уверены из каких-то надежных соображений, что $x_1,x_2$ в обеих системах одни и те же, зачем решать обе системы? Решите одну, из неё уже их найдёте.
$\bullet$ Если Вы не уверены, что это одни и те же величины, почему обозначили их одинаково?

То же и в матричном варианте: получается переопределенная система уравнений, которая имеет решение только при специальном выборе $h_{11}, h_{12}$ и т.д. Они должны быть строго пропорциональны друг другу (но тогда фактически тоже там в два раза меньше переменных), иначе решения не существует.

[mike84]

,
в книге написано так, давайте разбираться

т.е. в принципе если сложить числители полученных $x_1$ и числители полученных $x_2$, то получим то что написано в книге (3.31, 3.32). Но как к этому дойти и почему именно так?

[mike84]

А может решение это:
вообще эта система работает так.
В момент времени $t_1$ принимаем сигналы
первой антенной $\[{r_{11}} = {h_{11}}{x_1} + {h_{12}}{x_2}\]$
второй антенной $\[{r_{21}} = {h_{21}}{x_1} + {h_{22}}{x_2}\]$
уже в принципе можно посчитать значения $x_1$ и $x_2$

затем в момент времени $t_2$ принимаем сигналы
первой антенной $\[{r_{12}} = - {h_{11}}x_2^* + {h_{12}}x_1^*\]$
второй антенной $\[{r_{22}} = - {h_{21}}x_2^* + {h_{22}}x_1^*\]$
опять считаем значения $x_1$ и $x_2$

сравниваем $x_1$ полученный в момент времени $t_1$ и $t_2$, и $x_2$ в $t_1$ и $t_2$.
Берем среднее значение и получаем результат.

Ну это чисто предположение и ни как не вяжется с тем что написано в книге...

-- Пт апр 04, 2014 12:21:51 --

Да и еще, подскажите, какое влияние оказывает то, что мы передаем сигналы при помощи ортогональной матрицы $\[G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} & {{x_2}} \\ { - x_2^*} & {x_1^*} \\ \end{array}} \right]\]$
столбцы это антенны, а строки это временные слоты.

-- Пт апр 04, 2014 12:22:43 --

Что, к примеру, будет если эту матрицу назначить произвольно?

[svv]

mike84 в сообщении #845289 писал(а):

временные слоты

Значит, в некоторые моменты времени надо решать одну систему, в некоторые вторую? Кодировка что, все время меняется, прыгает с первого способа на второй и обратно?

[mike84]

Цитата:

Значит, в некоторые моменты времени надо решать одну систему, в некоторые вторую?

Да, но только исходя из моего предположения...
К тому же как быть когда к примеру $x_1$ в первый момент времени будет отличаться от $x_1$ во второй момент времени?

Откуда опять же авторы взяли выражения 3.31 и 3.32 ?

Мы, с Вашей помощью, выяснили откуда взяты подобные выражения (3.19, 3.22) в первом случае.
А вот как во втором, пока непонятно...

Цитата:

Кодировка что, все время меняется, прыгает с первого способа на второй и обратно?

Под способами вы имели ввиду случай 1Tx*2Rx и 2Tx*2Rx ?

[svv]

Ну, я имел в виду, что в некоторый момент
$\[{r_{11}} = {h_{11}}{x_1} + {h_{12}}{x_2}\]$
$\[{r_{21}} = {h_{21}}{x_1} + {h_{22}}{x_2}\]$
Это я называю «первой кодировкой».
А в другой момент
$\[{r_{12}} = - {h_{11}}x_2^* + {h_{12}}x_1^*\]$
$\[{r_{22}} = - {h_{21}}x_2^* + {h_{22}}x_1^*\]$
Это я называю «второй кодировкой».
И восстанавливать сигнал надо уже по-другому.

Если это так, то вряд ли $x_1$ и $x_2$, найденные первым способом и вторым способом, надо как-то суммировать, чтобы найти среднее. Это же просто значения сигнала в разные моменты времени.