2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение03.04.2014, 11:39 
Аватара пользователя


09/02/10

64
Приднестровье, Тирасполь
svv, согласен, давайте вначале разберемся с формулами
вот откуда я это взял http://savepic.net/5076996.htm

да, Вы правы, там две комплексные величины. Пока не могу придумать условий при которых та сумма произведений может =1..

h1 и h2 - это комплексные коэффициенты передачи в каналах связи
r1 и r2 - сигнал принятый в момент времени 1 и 2 соответственно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение03.04.2014, 12:23 
Заслуженный участник


23/07/08
7738
Харьков
В формуле 3.19 пропущена тильда ~ над $x_1$. Это видно из того, что в аналогичной формуле 3.22 тильда не пропущена: $\tilde{x}_2$.

Таким образом, правильные формулы:
$\tilde{x}_1=h_1^*r_1+h_2 r_2^*$
$\tilde{x}_2=h_2^*r_1-h_1 r_2^*$
(т.е. числители в моих формулах, полученных по правилу Крамера).
Это хоть и не в точности восстановленные сигналы $x_1$, $x_2$, но уже нечто очень близкое, отличающееся тем самым постоянным коэффициентом $h_1 h_1^*+h_2 h_2^*$ (который, как теперь понятно, единице не равен).

Иными словами, связь между «тильдованными» и «нетильдованными» иксами такая:
$\tilde{x}_1=(h_1 h_1^*+h_2 h_2^*)x_1$
$\tilde{x}_2=(h_1 h_1^*+h_2 h_2^*)x_2$
В Вашем скане это формулы (3.21) и (3.24). Из них сами $x_1, x_2$ получаются уже элементарно (как математически, так и физически).

mike84
Вы, пожалуйста, начинайте потихоньку использовать для записи формул $\TeX$. Обучиться можно здесь: topic8355.html и topic183.html. Гораздо красивее, аккуратнее, читабельнее получается. Да и Правила этого требуют. :wink:
Пишем: $\tilde{x}_1=(h_1 h_1^*+h_2 h_2^*)x_1$
Получаем: $\tilde{x}_1=(h_1 h_1^*+h_2 h_2^*)x_1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение03.04.2014, 15:15 
Аватара пользователя


09/02/10

64
Приднестровье, Тирасполь
Т.е. при помощи вашего решения из

$\[{r_1} = {h_1}{x_1} + {h_2}{x_2}\]$
$\[{r_2} =  - {h_1}x_2^* + {h_2}x_1^*\]$

мы получили напрямую

$\[\widetilde{x}_1 = \dfrac{{{h^*}_1{r_1} + {h_2}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$; $\[\widetilde{x}_2 = \dfrac{{{h^*}_2{r_1} + {h_1}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$

без подстановки, как указано в формулах 3.19-3.20, 3.22-3.23

соответственно значение выражения $\[{h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*\]$ будет зависеть от значений величин канальных коэффициентов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение03.04.2014, 15:44 
Заслуженный участник


23/07/08
7738
Харьков
Большие дроби получаются, если вместо \frac написать \dfrac .

1) Вы хотели в $\TeX$ сделать так, как видели у кого-то, но не получилось.
Если Вы подведете курсор мышки к формуле, Вы увидите её код.
Скопировать формулу можно через свойства изображения.
(Оба совета работают в Opera, за остальные браузеры не отвечаю)

2) Почему я считаю, что ${h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*$ не обязательно равен единице.
Он должен был быть единичным, когда мы думали, что
$\bullet$ те $x_1, x_2$, что в формулах (3.17), (3.18)
$\bullet$ и те $x_1, x_2$, что в формулах (3.19), (3.22)
— это одни и те же величины. Если требовать, чтобы это были одни и те же величины, то да, это возможно только при ${h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*=1$.

Но внимательный взгляд на этот текст показал, что в (3.19), (3.22) стоят (или должны стоять, если исправить опечатку) другие величины: $\tilde x_1$ и $\tilde x_2$. Из формул (этих и формул Крамера) видно, что они отличаются от $x_1, x_2$ как раз этим множителем. Поскольку разные величины уже не обязаны быть равны друг другу, требования ${h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*=1$ больше нет.

Кроме того, если бы это было равно единице, то автор статьи упростил бы это выражение в формулах (3.21), (3.24), а он этого не сделал.

Конечно, все эти соображения появились только после знакомства с текстом статьи.

mike84 в сообщении #844954 писал(а):
$\[\widetilde{x}_1 = \frac{{{h^*}_1{r_1} + {h_2}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$; $\[\widetilde{x}_2 = \frac{{{h^*}_2{r_1} + {h_1}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$
Нет, такие дроби — это $x_1, x_2$ без тильд. С тильдами — это их числители.

mike84 в сообщении #844954 писал(а):
но как все-таки получаются эти соотношения?
$\tilde{x}_1 = {h_1}^*{r_1} + {h_2}r_2^*$; $\tilde{x}_2 = {h_2}^*{r_1} + {h_1}r_2^*$
Доказать эти формулы нельзя по той простой причине, что величины $\tilde{x}_1$ и $\tilde{x}_2$ до момента их появления в формулах (3.19), (3.22) нигде не были определены. Поэтому остается одна возможность: формулы (3.19),(3.22) — это определения тильдованных иксов.

Но когда мы их определили, связь между ними и простыми иксами уже получается автоматически. Т.е. по формулам Крамера
$x_1=\dfrac{h_1^*r_1+h_2 r_2^*}{h_1 h_1^*+h_2 h_2^*}$,
а мы определили $\tilde{x}_1$ как числитель этой дроби. Следовательно,
$\tilde{x}_1=(h_1 h_1^*+h_2 h_2^*)x_1$
(формула 3.21)

-- Чт апр 03, 2014 15:50:10 --

mike84
У Вас уже хорошо получается набирать формулы, но Вы, по-моему, иногда ставите лишние квадратные скобки \[ и \]

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение03.04.2014, 16:12 
Аватара пользователя


09/02/10

64
Приднестровье, Тирасполь
Т.е. при помощи вашего решения из

$\[{r_1} = {h_1}{x_1} + {h_2}{x_2}\]$
$\[{r_2} =  - {h_1}x_2^* + {h_2}x_1^*\]$

мы получили напрямую истинные значения $x_1$ и $x_2$, а не их оценки $\[{\widetilde{x}_1}\]$ и $\[{\widetilde{x}_2}\]$.

$\[\ x_1 = \dfrac{{{h^*}_1{r_1} + {h_2}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$; $\[\ x_2 = \dfrac{{{h^*}_2{r_1} + {h_1}{r^*}_2}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$

без подстановки, как указано в формулах 3.19-3.20, 3.22-3.23

соответственно значение выражения $\[{h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*\]$ будет зависеть от значений величин канальных коэффициентов.

Цитата:
Но внимательный взгляд на этот текст показал, что в (3.19), (3.22) стоят (или должны стоять, если исправить опечатку) другие величины: и . Из формул (этих и формул Крамера) видно, что они отличаются от как раз этим множителем. Поскольку разные величины уже не обязаны быть равны друг другу, требования больше нет.

согласен, если бы выражение $\[{h_1}h_1^* + {h_2}h_2^*\]=1$, то $\[x = \widetilde x\]$, а это невозможно, по причине того, что канальные коэффициенты имеют определенные значения.

Я формулы набираю через программу MathType, вот она и ставит \[ и \]...) :-)

svv, я Вам очень благодарен за помощь !!!

-- Чт апр 03, 2014 15:45:31 --

Домашним заданием у меня будет вычислить значения $x_1$ и $x_2$, применительно к случаю
Изображение
исходя из значений $r_11, r_12, r_21, r_22$ по Вашему предложенному методу :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение03.04.2014, 16:47 
Заслуженный участник


23/07/08
7738
Харьков
r_{11}

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение03.04.2014, 16:50 
Аватара пользователя


09/02/10

64
Приднестровье, Тирасполь
исходя из значений $r_{11}, r_{12}, r_{21}, r_{22}$ по Вашему предложенному методу :-) (исправил)

-- Чт апр 03, 2014 15:52:54 --

Еще одна просьба, если можно, по реализации Фазовой разнесенной передачи.
Если будут какие мысли подскажите пожалуйста на будущее)

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение03.04.2014, 16:57 
Заслуженный участник


23/07/08
7738
Харьков
Ну, понятно, автор статьи тоже знал эти формулы, полученные по Крамеру. Смотрите: в обеих формулах (3.22) и (3.24) в левых частях стоит $\tilde x_2$. Поэтому можно приравнять правые части. Получим
$h_2^*r_1-h_1 r_2^*=(|h_1|^2+|h_2|^2)x_2$,
откуда элементарно получается
$x_2=\dfrac{h_2^*r_1-h_1 r_2^*}{|h_1|^2+|h_2|^2}$
Я думаю, до такого он догадался бы.

На самом деле он, конечно, тоже получал $x_1, x_2$ по Крамеру, но результат (вернее, числители $\tilde x_1, \tilde x_2$) представил в (3.19) и (3.22) как формулы, полученные «ниоткуда» (что и вызвало Ваше законное недоумение). Как результат гениальной догадки. Хотя это просто решения системы линейных алгебраических уравнений $2\times 2$.

-- Чт апр 03, 2014 17:01:04 --

mike84 в сообщении #844976 писал(а):
Еще одна просьба, если можно, по реализации Фазовой разнесенной передачи.
Если будут какие мысли подскажите пожалуйста на будущее)
Понимаете, мне для этого надо будет познакомиться с темой, я же в ней совершенно не ориентируюсь. Просто для вот этих алгебраических выкладок не обязательно было разбираться в каналах и сигналах, на этом я и выехал. А тут уже надо быть специалистом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение04.04.2014, 09:12 
Аватара пользователя


09/02/10

64
Приднестровье, Тирасполь
Цитата:
На самом деле он, конечно, тоже получал по Крамеру, но результат (вернее, числители ) представил в (3.19) и (3.22) как формулы, полученные «ниоткуда» (что и вызвало Ваше законное недоумение). Как результат гениальной догадки. Хотя это просто решения системы линейных алгебраических уравнений .

Да, вот как оказывается нынче скрывают получение определенных выражений)))

Результат домашнего задания
До конца немного не удалось довести, напишу на чем остановился
Итак имеем уравнения
$\[\begin{array}{l}
 {r_{11}} = {h_{11}}{x_1} + {h_{12}}{x_2} \\ 
 r_{12}^* = h_{12}^*{x_1} - h_{11}^*{x_2} \\ 
 {r_{21}} = {h_{21}}{x_1} + {h_{22}}{x_2} \\ 
 r_{22}^* = h_{22}^*{x_1} - h_{21}^*{x_2} \\ 
 \end{array}\]$
$\[\begin{array}{l}
 \left( \begin{array}{l}
 {r_{11}} \\ 
 r_{12}^* \\ 
 \end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{h_{11}}} & {{h_{12}}}  \\
   {h_{12}^*} & { - h_{11}^*}  \\
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{l}
 {x_1} \\ 
 {x_2} \\ 
 \end{array} \right) \\ 
 {x_1} = \frac{{\left| \begin{array}{l}
 \begin{array}{*{20}{c}}
   {{r_{11}}} & {{h_{12}}}  \\
\end{array} \\ 
 \begin{array}{*{20}{c}}
   {r_{12}^*} & { - h_{11}^*}  \\
\end{array} \\ 
 \end{array} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{h_{11}}} & {{h_{12}}}  \\
   {h_{12}^*} & { - h_{11}^*}  \\
\end{array}} \right|}} = \dfrac{{ - h_{11}^*{r_{11}} - {h_{12}}r_{12}^*}}{{ - h_{11}^*{h_{11}} - {h_{12}}h_{12}^*}} = \dfrac{{h_{11}^*{r_{11}} + {h_{12}}r_{12}^*}}{{h_{11}^*{h_{11}} + {h_{12}}h_{12}^*}} \\ 
 {x_2} = \frac{{\left| \begin{array}{l}
 \begin{array}{*{20}{c}}
   {{h_{11}}} & {{r_{11}}}  \\
\end{array} \\ 
 \begin{array}{*{20}{c}}
   {h_{12}^*} & {r_{12}^*}  \\
\end{array} \\ 
 \end{array} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{h_{11}}} & {{h_{12}}}  \\
   {h_{12}^*} & { - h_{11}^*}  \\
\end{array}} \right|}} = \dfrac{{{h_{11}}r_{12}^* - h_{12}^*{r_{11}}}}{{ - h_{11}^*{h_{11}} - {h_{12}}h_{12}^*}} = \dfrac{{h_{12}^*{r_{11}} - {h_{11}}r_{12}^*}}{{h_{11}^*{h_{11}} + {h_{12}}h_{12}^*}} \\ 
 \left( \begin{array}{l}
 {r_{21}} \\ 
 r_{22}^* \\ 
 \end{array} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{h_{21}}} & {{h_{22}}}  \\
   {h_{22}^*} & { - h_{21}^*}  \\
\end{array}} \right)\left( \begin{array}{l}
 {x_1} \\ 
 {x_2} \\ 
 \end{array} \right) \\ 
 {x_1} = \frac{{\left| \begin{array}{l}
 \begin{array}{*{20}{c}}
   {{r_{21}}} & {{h_{22}}}  \\
\end{array} \\ 
 \begin{array}{*{20}{c}}
   {r_{22}^*} & { - h_{21}^*}  \\
\end{array} \\ 
 \end{array} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{h_{21}}} & {{h_{22}}}  \\
   {h_{22}^*} & { - h_{21}^*}  \\
\end{array}} \right|}} = \dfrac{{ - h_{21}^*{r_{21}} - {h_{22}}r_{22}^*}}{{ - h_{21}^*{h_{21}} - {h_{22}}h_{22}^*}} = \dfrac{{h_{21}^*{r_{21}} + {h_{22}}r_{22}^*}}{{h_{21}^*{h_{21}} + {h_{22}}h_{22}^*}} \\ 
 {x_2} = \frac{{\left| \begin{array}{l}
 \begin{array}{*{20}{c}}
   {{h_{21}}} & {{r_{21}}}  \\
\end{array} \\ 
 \begin{array}{*{20}{c}}
   {h_{22}^*} & {r_{22}^*}  \\
\end{array} \\ 
 \end{array} \right|}}{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{h_{21}}} & {{h_{22}}}  \\
   {h_{22}^*} & { - h_{21}^*}  \\
\end{array}} \right|}} = \dfrac{{{h_{21}}r_{22}^* - h_{22}^*{r_{21}}}}{{ - h_{21}^*{h_{21}} - {h_{22}}h_{22}^*}} = \dfrac{{h_{22}^*{r_{21}} - {h_{21}}r_{22}^*}}{{h_{21}^*{h_{21}} + {h_{22}}h_{22}^*}} \\ 
 \end{array}\]$
А вот как соединить $x_1$ и $x_2$ ?

Либо решить $\[\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{r_{11}}}  \\
   {r_{12}^*}  \\
   {{r_{21}}}  \\
   {r_{22}^*}  \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{h_{11}}} & {{h_{12}}}  \\
   {h_{12}^*} & { - h_{11}^*}  \\
   {{h_{21}}} & {{h_{22}}}  \\
   {h_{22}^*} & { - h_{21}^*}  \\
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{x_1}}  \\
   {{x_2}}  \\
\end{array}} \right)\]$
но как взять определитель от не квадратной матрицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение04.04.2014, 09:30 
Заслуженный участник


23/07/08
7738
Харьков
Ну да, здесь видна проблема:

Значения $x_1, x_2$, полученные решением первой системы уравнений (в которой $r_{11}, r_{12}^*$), могут не совпадать со значениями $x_1,x_2$, полученными решением второй системы уравнений (в которой $r_{21}, r_{22}^*$).

Это может указывать на то, что выбрана не совсем корректная математическая модель.

Философски дилемма звучит так.
$\bullet$ Если Вы уверены из каких-то надежных соображений, что $x_1,x_2$ в обеих системах одни и те же, зачем решать обе системы? Решите одну, из неё уже их найдёте.
$\bullet$ Если Вы не уверены, что это одни и те же величины, почему обозначили их одинаково?

То же и в матричном варианте: получается переопределенная система уравнений, которая имеет решение только при специальном выборе $h_{11}, h_{12}$ и т.д. Они должны быть строго пропорциональны друг другу (но тогда фактически тоже там в два раза меньше переменных), иначе решения не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение04.04.2014, 11:19 
Аватара пользователя


09/02/10

64
Приднестровье, Тирасполь
Изображение, Изображение
в книге написано так, давайте разбираться

т.е. в принципе если сложить числители полученных $x_1$ и числители полученных $x_2$, то получим то что написано в книге (3.31, 3.32). Но как к этому дойти и почему именно так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение04.04.2014, 13:15 
Аватара пользователя


09/02/10

64
Приднестровье, Тирасполь
А может решение это:
вообще эта система работает так.
В момент времени $t_1$ принимаем сигналы
первой антенной $\[{r_{11}} = {h_{11}}{x_1} + {h_{12}}{x_2}\]$
второй антенной $\[{r_{21}} = {h_{21}}{x_1} + {h_{22}}{x_2}\]$
уже в принципе можно посчитать значения $x_1$ и $x_2$

затем в момент времени $t_2$ принимаем сигналы
первой антенной $\[{r_{12}} =  - {h_{11}}x_2^* + {h_{12}}x_1^*\]$
второй антенной $\[{r_{22}} =  - {h_{21}}x_2^* + {h_{22}}x_1^*\]$
опять считаем значения $x_1$ и $x_2$

сравниваем $x_1$ полученный в момент времени $t_1$ и $t_2$, и $x_2$ в $t_1$ и $t_2$.
Берем среднее значение и получаем результат.

Ну это чисто предположение и ни как не вяжется с тем что написано в книге...

-- Пт апр 04, 2014 12:21:51 --

Да и еще, подскажите, какое влияние оказывает то, что мы передаем сигналы при помощи ортогональной матрицы $\[G = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
   {{x_1}} & {{x_2}}  \\
   { - x_2^*} & {x_1^*}  \\
\end{array}} \right]\]$
столбцы это антенны, а строки это временные слоты.

-- Пт апр 04, 2014 12:22:43 --

Что, к примеру, будет если эту матрицу назначить произвольно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение05.04.2014, 21:20 
Заслуженный участник


23/07/08
7738
Харьков
mike84 в сообщении #845289 писал(а):
временные слоты
Значит, в некоторые моменты времени надо решать одну систему, в некоторые вторую? Кодировка что, все время меняется, прыгает с первого способа на второй и обратно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение07.04.2014, 08:21 
Аватара пользователя


09/02/10

64
Приднестровье, Тирасполь
Цитата:
Значит, в некоторые моменты времени надо решать одну систему, в некоторые вторую?

Да, но только исходя из моего предположения...
К тому же как быть когда к примеру $x_1$ в первый момент времени будет отличаться от $x_1$ во второй момент времени?

Откуда опять же авторы взяли выражения 3.31 и 3.32 ?

Мы, с Вашей помощью, выяснили откуда взяты подобные выражения (3.19, 3.22) в первом случае.
А вот как во втором, пока непонятно...

Цитата:
Кодировка что, все время меняется, прыгает с первого способа на второй и обратно?

Под способами вы имели ввиду случай 1Tx*2Rx и 2Tx*2Rx ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгоритм кодирования и декодирования систем MIMO
Сообщение08.04.2014, 01:38 
Заслуженный участник


23/07/08
7738
Харьков
Ну, я имел в виду, что в некоторый момент
$\[{r_{11}} = {h_{11}}{x_1} + {h_{12}}{x_2}\]$
$\[{r_{21}} = {h_{21}}{x_1} + {h_{22}}{x_2}\]$
Это я называю «первой кодировкой».
А в другой момент
$\[{r_{12}} =  - {h_{11}}x_2^* + {h_{12}}x_1^*\]$
$\[{r_{22}} =  - {h_{21}}x_2^* + {h_{22}}x_1^*\]$
Это я называю «второй кодировкой».
И восстанавливать сигнал надо уже по-другому.

Если это так, то вряд ли $x_1$ и $x_2$, найденные первым способом и вторым способом, надо как-то суммировать, чтобы найти среднее. Это же просто значения сигнала в разные моменты времени.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Karan, PAV, Toucan, maxal, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group