Физика для «математиков»

[Munin]

g______d в сообщении #842901 писал(а):

Бывает еще функция, сосредоточенная на гиперповерхности.

Я имел в виду одномерный случай. В многомерном - нужны все $k<n$-мерные варианты, но суть от этого не меняется. У нас в задаче бывает не более счётного количества гладких гиперповерхностей.

Nirowulf в сообщении #842906 писал(а):

Основная прелесть нашей любимой КТП в том, что нужно определять произведение сингулярных обобщённых функций в одной точке. Так что некоторым физикам-теоретикам, надо хорошо разбираться и в обобщённых функциях и в функане.

Чтобы понимать, почему незаконно то, что они делают? :-)

[Nirowulf]

Munin писал(а):

Чтобы понимать, почему незаконно то, что они делают?

Чтобы прочувствовать, какие болевые ощущения испытывают математики, когда они пытаются окунуться в теорфизику

[g______d]

Munin в сообщении #842914 писал(а):

Я имел в виду одномерный случай. В многомерном - нужны все $k<n$-мерные варианты, но суть от этого не меняется. У нас в задаче бывает не более счётного количества гладких гиперповерхностей.

Если Вы имеете в виду ответ на вопрос, что такое "конкретные обобщенные функции", то тут у меня никаких претензий нет. $\delta$-функция – совершенно понятно, что за функционал, а какая там у него область определения, – это уже детали. Но я думал, что Вы строите какую-то "общую теорию плотностей"; мое утверждение в том, что если от нее потребовать некоторый минимум свойств, то получится теория меры. Но ладно, это не так важно.

В целом по разделам матфизики, не связанным с КТП (т. е. одно- и многочастичная квантовая механика, мат. стат. физика и т. д.) все чаще появляются математически точные результаты. По-видимому, теор-физики начинают понимать, что выучить что такое самосопряженный оператор не так сложно, а возможностей открывается очень много; можно консультироваться с математиками, и последние не будет плеваться, и можно писать намного более хорошие программы, если есть точная математическая модель. Т. е. да, это некоторая жертва в пользу времени, потраченного на строгость, но часто она окупается. Так же было с теорией групп, когда физики ее выучили. Мне кажется, что это общая тенденция, начавшаяся в тот момент, когда математику вообще стали использовать для описания физики.

По поводу КТП да, сейчас есть некоторый затык, и относительно мало людей понимает, какие именно математические сложности там существенны; про перемножение обобщенных функций – одна из них (кажется, про то, как выбрать правильную регуляризацию). Не знаю, в чем причины. Наверное, нет критической массы мотивированных математиков. У меня есть некоторая надежда на некоммутативную геометрию.

[Nirowulf]

g______d в сообщении #842963 писал(а):

По поводу КТП да, сейчас есть некоторый затык, и относительно мало людей понимает, какие именно математические сложности там существенны; про перемножение обобщенных функций – одна из них (кажется, про то, как выбрать правильную регуляризацию).

Ещё одна существенная, думаю, вещь это математическое обоснование функционального интеграла.

g______d в сообщении #842963 писал(а):

Наверное, нет критической массы мотивированных математиков.

Не в обиду топикстартеру будет сказано, но на его примере ярко видно, как разбиваются попытки замотивировать математиков

[Munin]

g______d в сообщении #842963 писал(а):

Но я думал, что Вы строите какую-то "общую теорию плотностей"

Ни в коем случае!!! Я строю какую-то "конкретную теорию встречающихся в физике плотностей"! Математические стремления обобщить предмет до его полной бессмысленности (и неприменимости, кстати) мне чужды.
(Так и тянет сказать: matematician-ские...)

g______d в сообщении #842963 писал(а):

В целом по разделам матфизики, не связанным с КТП (т. е. одно- и многочастичная квантовая механика, мат. стат. физика и т. д.) все чаще появляются математически точные результаты.

Дык и по связанным тоже. И не "всё чаще", а всегда это было, ещё с 18 века, если не с 17. Просто процесс небыстрый: сначала физики начинают пользоваться некоторым аппаратом в хвост и в гриву, а потом математики находят в нём математически точные результаты. Хорошо ещё, если физически полезные :-)

И разумеется, я не хочу сказать, что такое происходит всегда, но частенько.

g______d в сообщении #842963 писал(а):

По-видимому, теор-физики начинают понимать, что выучить что такое самосопряженный оператор не так сложно

Да это никогда сложно не было. Сложно другое: выучить всё то, что математики автоматически вспоминают при слове "самосопряжённый оператор".

А так-то чего там: матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, комплексно сопряжены. Преобразование пространства, не поворачивающее его.

g______d в сообщении #842963 писал(а):

можно писать намного более хорошие программы, если есть точная математическая модель.

Вот не надо. Программы как раз можно писать хорошие всегда. Наличие "точной математической модели" (что вы под этим подразумеваете), и не-плевание математиков, для этого не обязательны совершенно.

Как раз программы - это отдушина для физиков, в том смысле, что всё то, что физик может посчитать на бумажке (не показывая её математику, а для себя), он точно так же может посчитать и программой. "Точная математическая модель" ему не критична, а достаточно всего лишь умения считать - вот это умение он в программу и закладывает. А с "точными математическими моделями" программы как раз не дружат...

g______d в сообщении #842963 писал(а):

Не знаю, в чем причины. Наверное, нет критической массы мотивированных математиков.

Ну это смешно. Полвека нет.

Впрочем, на самом деле там есть и прогресс, и результаты. Хотя я в них не разбираюсь, а только слышал краем уха.

Nirowulf в сообщении #842973 писал(а):

Ещё одна существенная, думаю, вещь это математическое обоснование функционального интеграла.

А это в каком-то смысле та же самая вещь, вид сбоку. Если мы всё регуляризуем и дискретизуем, то и функциональный интеграл становится очевидным, "точным" (в смысле g______d) и рассчитывабельным.

[g______d]

Munin в сообщении #843088 писал(а):

Да это никогда сложно не было. Сложно другое: выучить всё то, что математики автоматически вспоминают при слове "самосопряжённый оператор".

Я имел в виду оператор в бесконечномерном пространстве, спектральную теорему и т. д.

Munin в сообщении #843088 писал(а):

Вот не надо. Программы как раз можно писать хорошие всегда. Наличие "точной математической модели" (что вы под этим подразумеваете), и не-плевание математиков, для этого не обязательны совершенно.

Как раз программы - это отдушина для физиков, в том смысле, что всё то, что физик может посчитать на бумажке (не показывая её математику, а для себя), он точно так же может посчитать и программой. "Точная математическая модель" ему не критична, а достаточно всего лишь умения считать - вот это умение он в программу и закладывает. А с "точными математическими моделями" программы как раз не дружат...

Я дам Вам ограниченную область в пространстве (заданной формы) и 100-частичный оператор Шредингера в ней. Как будете считать энергию основного состояния? Или, например, следующую энергию после основной?

Или дам неограниченную область и попрошу выяснить, с какого места начинается непрерывный спектр? По-моему, довольно наивно предполагать, что такое можно посчитать без математического понимания того, что это вообще такое.

Munin в сообщении #843088 писал(а):

Впрочем, на самом деле там есть и прогресс, и результаты. Хотя я в них не разбираюсь, а только слышал краем уха.

Ну есть, закончились в 80-е, с тех пор забросили. Почему не знаю. Субъективно – потому что аппарат теории операторов оказался для этого слишком "грубым", сложно одновременно иметь гильбертово пространство и обобщенные функции. Некая надежда есть сейчас на некоммутативную геометрию.

Munin в сообщении #843088 писал(а):

А это в каком-то смысле та же самая вещь, вид сбоку. Если мы всё регуляризуем и дискретизуем, то и функциональный интеграл становится очевидным, "точным" (в смысле g______d) и рассчитывабельным.

Ага, пишем сумму Римана и ответ зависит от того, считаем мы методом левых прямоугольников, правых или где-то посередине.

[Munin]

g______d в сообщении #843106 писал(а):

Я имел в виду оператор в бесконечномерном пространстве, спектральную теорему и т. д.

Вот и я про то же, что вы имели в виду нечто совершенно другое. Произнося те же слова.

g______d в сообщении #843106 писал(а):

Я дам Вам ограниченную область в пространстве (заданной формы) и 100-частичный оператор Шредингера в ней. Как будете считать энергию основного состояния? Или, например, следующую энергию после основной?

Приближённо, естественно :-)

Для 100 частиц можно уже даже статистику использовать.

g______d в сообщении #843106 писал(а):

По-моему, довольно наивно предполагать, что такое можно посчитать без математического понимания того, что это вообще такое.

Нет, вы знаете, физики просто в качестве упражнения такое считают и считают, пачками, причём именно что без математического понимания того, что это такое. Им вполне достаточно физического понимания, что это такое, плюс правил вычислений.

g______d в сообщении #843106 писал(а):

Ну есть, закончились в 80-е, с тех пор забросили. Почему не знаю.

Понятно. Я слышал об этом больше вашего. Как раз в 90-е произошли ключевые события. Перевод перенормировки на язык алгебр Хопфа. Ну и плюс результаты более ранние, вы, может быть, про них подразумеваете, но они как раз далеко не заброшены.

g______d в сообщении #843106 писал(а):

Ага, пишем сумму Римана и ответ зависит от того, считаем мы методом левых прямоугольников, правых или где-то посередине.

А плевать. См. ту самую "эпичную тему". Когда мы пишем интеграл, мы оглядываемся не на сумму Римана, а на его физический смысл. Там как раз про интеграл (элементарный, а не по траекториям) много было сказано.

[fizeg]

g______d в сообщении #842963 писал(а):

про перемножение обобщенных функций – одна из них (кажется, про то, как выбрать правильную регуляризацию).

Скорее наверное класса регуляризаций, потому что наоборот, вся мякотка в том, чтобы результат НЕ зависел от способа регуляризации.

[g______d]

Munin в сообщении #843134 писал(а):

Понятно. Я слышал об этом больше вашего. Как раз в 90-е произошли ключевые события. Перевод перенормировки на язык алгебр Хопфа. Ну и плюс результаты более ранние, вы, может быть, про них подразумеваете, но они как раз далеко не заброшены.

Про алгебры Хопфа я слышал здесь от Вас же. Мне казалось, что это "математизация" некоторой комбинаторной процедуры, которая и раньше была известна. Отношение этой процедуры к остальной части теории остается таким же непонятным; по-видимому, остальную часть тоже нужно на что-то заменить. Как раз остальная часть (аксиоматика Уайтмана) не поменялась с 80-х гг.

Хорошая книжка Folland, Quantum Field Theory: A Tourist Guide for Mathematicians.

Но я признаю, что Вы в этом должны лучше разбираться. Уговорили, сейчас прочитаю эпичную тему.

[Munin]

g______d в сообщении #843314 писал(а):

Но я признаю, что Вы в этом должны лучше разбираться. Уговорили, сейчас прочитаю эпичную тему.

Вот про КТП там как раз речь не шла :-) Но "философские, мировоззренческие" позиции были изложены достаточно явно и не по одному разу.

[В. Войтик]

EvilPhysicist в сообщении #841705 писал(а):

kote в сообщении #841688 писал(а):

Если вы считаете, что мое определение противоречит тому понятию плотности, которое используется в физике, приведите конкретный пример.

Плотность материальной точке. По определению она дельта функция. А вот она обобщенная функция и значит никакого отображения типа $A \to \mathbb R$ не производит. Еще, ваше определение ничего не говорит о том, что надо делать когда мы рассматриваем движение сплошной среды у которой меняется плотность.

SergeyGubanov в сообщении #842317 писал(а):

Мысль вслух... Чем сразу браться за трёхмерную плотность $\rho(x, y, z)$, для начала рассмотрите плотность $\rho(x)$ в одномерном пространстве. Может помочь.

Насколько я понимаю вопрос состоит в следующем. Пусть у нас имеется линейное расположение n материальных точек, между которыми имеется некоторое расстояние $\Delta x$. В этом случае плотность имеет вид
$\rho(x)=\sum\limits_{i=1}^n m_0\xi(i) \delta(x-i\Delta x)$ , i=1,2,...,n.

Какова в этом случае непрерывная плотность, которая применяется в классической механике?
Ответ, насколько я могу судить, следующий. Усреднённой непрерывной плотностью по определению назовём величину

$\rho(x)=m_0\xi(x)\frac{\psi(n)-\psi(0)}{\psi(n\Delta x)-\psi(0)}$, где
$\psi(m)=\int\xi(m)dm$, где $x\in R$.

[Munin]

В. Войтик
У вас $\xi(\cdot)$ определена то на целых числах, то на действительных.

[В. Войтик]

Ну да. А какие проблемы?

[Someone]

В. Войтик в сообщении #844073 писал(а):

Ну да. А какие проблемы?

Так а где она всё-таки определена? Если Вы задаёте функцию, её область определения Вы также должны определить однозначно.

[Munin]

В. Войтик в сообщении #844073 писал(а):

Ну да. А какие проблемы?

Неизвестен смысл второй из этих функций. Вами он никак не введён.