Взятие интегралов - творческая задача?

[Shtorm]

SpBTimes в сообщении #841922 писал(а):

Сложил 2 интеграла и сократил на $1 + t^{\sqrt{2}}$

А вот как здорово! То есть в интеграле $ \int\limits_0^1 \frac{p^{\sqrt{2}}}{(1 + p^2)(1 + p^{\sqrt{2}})}dp $ нужно заменить сначала $p$ на $t$.

[EtCetera]

В этой задаче все хорошо, кроме пробравшейся в нее (видимо, по блату) константы $\sqrt{2}$.

[Shtorm]

RIP, SpBTimes ну разве это всё не доказывает, что взятие такого интеграла - творческий процесс?

EtCetera, не понял Ваше высказывание. Можно пояснить поподробней?

[EtCetera]

На ее месте могла бы быть любая другая.

[Shtorm]

EtCetera, если бы на месте $\sqrt{2}$ стояла 1 или 2-ка, то интеграл не был бы олимпийским.

[Shtorm]

Крутится такая мысль, что для вычисления олимпийских интегралов используется набор методов, количество которых не столь уж велико. И просто берём эти методы и пробуем один за другим. Я прав? Можно ли это назвать творчеством? Уважаемые участники форума, можете ли привести в этой теме ещё какие-нибудь олимпийские интегралы, чтобы ситуация стала более ясной?

Да, конечно только не Лебеговские, не Стильтеса, не Коши

[SpBTimes]

Я не уверен, что есть именно методы. Мне кажется, что есть опыт, опыт в "подкручивании" задачи.

[Shtorm]

SpBTimes, то есть по-Вашему, это всё же творческая задача?

[SpBTimes]

Shtorm
Думаю, что в некоторой степени - да. Попробуйте, скажем, такой, довольно известный, интеграл. Я довольно долго думал над "трюком":

$$ \int_0^{\pi/2} \ln\cos(t) dt $$

[EtCetera]

Тут почти то же самое, что и в предыдущем:

$$I=\int_0^{\pi/2} \ln\cos t\,dt=\int_0^{\pi/2} \ln\sin t\,dt$$

$$2I=\int_0^{\pi/2}\ln\sin 2t\,dt-\frac{\pi}{2}\ln 2=\frac{1}{2}\cdot 2I-\frac{\pi}{2}\ln 2$$

Отсюда $I=-\frac{\pi}{2}\ln 2$. Используются только $\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t$, $2\sin t\cos t=\sin 2t$ и $\sin\left(\pi-t\right)=\sin t$.

[Ms-dos4]

SpBTimes
Можно ли называть творчеством то, что уже формализовано?(Алгоритм Риша + дополнения к нему в виде спец. функций)

[kp9r4d]

Не лишним напомнить будет, что алгоритм Риша работает лишь при наличии у нас алгоритма, который по данной элементарной функции определяет 0 она или нет; и притом известно, что если модуль считать элементарной, то такого алгоритма не существует, а если не считать, то покаместь неизвестно.
Но этого хватает для всех мыслимых практических потребностей, хотя на практике (в матпакетах) используют всё-таки не Риша. Не знаю из каких соображений.

[Shtorm]

SpBTimes, EtCetera спасибо за такой интересный интеграл. А можно ещё что-нибудь подкинуть?

[SpBTimes]

Ms-dos4
Ну идея-то в том, чтобы ручками.
Shtorm

$$ \int_0^{\pi/2} (\cos(x))^{a - 2}\cos(ax)dx, \quad a > 1 $$

[EtCetera]

Да, здесь очень красивый трюк используется в решении.