Взятие интегралов - творческая задача?

[Ms-dos4]

Это "лажает" вольфрам. Вы как вообще собственно собрались интегрировать через точку $\[x = 1\]$?
(К примеру математика, та честно заявляет
NIntegrate::slwcon: Numerical integration converging too slowly; suspect one of the following: singularity, value of the integration is 0, highly oscillatory integrand, or WorkingPrecision too small.
"NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 9 \
recursive bisections in x near {x} = {1.0155}. NIntegrate obtained \
0.5460142908097056` and 1.987104339985287` for the integral and error \
estimates.")
Это естественно, ведь даже когда интегрируется один член ряда (например $\[\int\limits_0^{1,5} {\frac{{dx}}{{\ln x}}} \]$ просто расходится).

-- Пн мар 24, 2014 21:17:44 --

И это тоже лажа вольфрама. Опять же например $\[\int\limits_0^{1 - \frac{1}{{{{10}^{10}}}}} {\frac{{\cos x}}{{\ln x}}} = - 12,6139\]$, а на $\[\int\limits_0^{1 - \frac{1}{{{{10}^{100}}}}} {\frac{{\cos x}}{{\ln x}}} \]$ выдаётся NIntegrate::slwcon: Numerical integration converging too slowly; suspect one of the following: singularity, value of the integration is 0, highly oscillatory integrand, or WorkingPrecision too small. NIntegrate::ncvb: "NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 9 recursive bisections in x near {x} = {0.999999999999999999999999999983692735662508754221254924558311692180}. NIntegrate obtained -80.9879 and 12.560792420413575` for the integral and error estimates."
И это естественно, там же просто разрыв и всё уходит на бесконечность. Ещё раз, вы можете интегрировать только в пределах разных интервалов. Но никак не через точку $\[x = 1\]$

[roga]

Стал анализировать и выяснил, что чувствительность нужная достигается максимум при $10^{-15.96}$

В этом случае интеграл от 0 до 8 равен $-2.076$

Все равно значительно отличается от $-1.7$

[Ms-dos4]

Послушайте, вы не можете интегрировать через точку $\[x = 1\]$. Ну совсем никак. Ряд отлично работает там, где и нужно.

[roga]

Я же точки 1 не касаюсь вовсе.
Не имею возможности проверить результаты хотя бы методом Симпсона. Что он скажет? Нужно же истину узнать.

[Ms-dos4]

roga
Так вы не можете говорить о площади от 0 до 8. Это просто смысла не имеет, т.к. соответствующий интеграл расходится. Вы можете интегрировать только так, что бы оба предела были либо на $\[[0,1)\]$, либо на $\[(1,\infty )\]$. И только на этих интервалах вы можете говорить о площади. Как только вы включите переход через 1, вы получите бесконечность.

[roga]

Все ясно. Вы правы. Я принял $10^{-10}$ и получил именно $-1.7$. Теперь понял свою ошибку в том, что слишком близко подходил к особой точке. Спасибо!

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... 5E10%29%29

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... 0..8%29%29

$-12.613+10.913=-1.7$

[Ms-dos4]

Я в прочем не очень понял что вы считаете, как я уже сказал, $\[F(8) - F(0) \ne \int\limits_0^\infty {\frac{{\cos x}}{{\ln x}}dx} \]$, да и $\[F(8) - F(0) \ne \int\limits_0^{1 - \frac{1}{{{{10}^{10}}}}} {\frac{{\cos x}}{{\ln x}}dx} + \int\limits_{1 + \frac{1}{{{{10}^{10}}}}}^8 {\frac{{\cos x}}{{\ln x}}dx} \]$. То что вы считали, это $\[\int\limits_0^{1 - \frac{1}{{{{10}^{10}}}}} {\frac{{\cos x}}{{\ln x}}dx} + \int\limits_{1 + \frac{1}{{{{10}^{10}}}}}^8 {\frac{{\cos x}}{{\ln x}}dx} = F(8) - F(1 + \frac{1}{{{{10}^{10}}}}) + F(1 - \frac{1}{{{{10}^{10}}}}) - F(0)\]$
Вы получили близкое к $\[F(8) - F(0)\]$ значение только потому, что значения $\[F(1 + \frac{1}{{{{10}^{10}}}})\]$ и $\[F(1 - \frac{1}{{{{10}^{10}}}})\]$ отличаются только в 10 знаке. Но это собственно мало что меняет. То что вы считаете, смысла вообще не имеет. У вас вообще такая ситуация, что есть 2 области, и смешивать их никак нельзя. И никакой "общей площади" нет и в помине (точнее есть, но она равна бесконечности, а ряд в таком случае не работает, т.к. мы меняли местами интегрирование и суммирование, а оно подразумевало сходимость).
Отсюда вывод - не хотите проблем - не переходите границу (то бишь $\[x = 1\]$, и даже не смешивайте одну "сторону" с другой)
P.S. Тут мы ещё "занулили" константу интегрирования (пока говорим о площадях она не нужна), так вот с одной и другой стороны от $\[x = 1\]$ они могут быть разные.

[_Ivana]

roga,

Ms-dos4 в сообщении #840393 писал(а):

То что вы считаете,

имхо называется главным значением интеграла по Коши, и вполне имеет смысл, несмотря на возражения вашего оппонента.

[Ms-dos4]

_Ivana
Ок, допустим он имел ввиду регуляризацию (хотя надо ещё смотреть, существует предел там или нет). Но дело не в этом, а в том, что главное значение нельзя считать как разность значений первообразной на концах отрезка (а он именно так и делал), поэтому всё что я написал выше, остаётся в силе.

[Shtorm]

Linkey в сообщении #840145 писал(а):

А взятие интегралов (в общем случае) сейчас - это творческая или стандартизованная задача? Может быть, в будущем найдут некое общее решение в духе формулы Кардано?

Взятие некоторых видов интегралов по-прежнему является творческой задачей. Недаром же некоторые интегралы включаются в олимпиады по высшей математике. Вот например один из них:

$$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+(\tg x)^{\sqrt{2}}} dx$$

-- Чт мар 27, 2014 20:12:55 --

Вычислить интеграл нужно, естественно, не численно, а точно и без использования компьютерных программ.

[SpBTimes]

Заменой $t = \tg(x)$ приходим к интегралу:

$$ I = \int\limits_0^{\infty} \frac{dt}{(1 + t^2)(1 + t^{\sqrt{2}})} = \int\limits_0^1 + \int\limits_1^{\infty} $$

Во втором интеграле делаем замену $p = \frac{1}{t}$, тогда:

$$ I = \int\limits_0^1 \frac{dt}{(1 + t^2)(1 + t^{\sqrt{2}})} + \int\limits_0^1 \frac{p^{\sqrt{2}}}{(1 + p^2)(1 + p^{\sqrt{2}})}dp = \int\limits_0^1 \frac{dt}{t^2 + 1} = \frac{\pi}{4} $$

[Shtorm]

SpBTimes, а я не понял как Вы перешли к интегралу $ \int\limits_0^1 \frac{dt}{t^2 + 1}$ ?

[SpBTimes]

Сложил 2 интеграла и сократил на $1 + t^{\sqrt{2}}$

[RIP]

(Оффтоп)

Проще сразу было сделать замену $x=\dfrac\pi2-y$.

[SpBTimes]

(Оффтоп)

RIP
Остроумно!