Взятие интегралов - творческая задача?

[Linkey]

Я читал, что раньше решение кубических уравнений было творческой, нестандартной задачей, вроде изобретательства. Когда появилась формула Кардано, это превратилось в рутинную задачу. А взятие интегралов (в общем случае) сейчас - это творческая или стандартизованная задача? Может быть, в будущем найдут некое общее решение в духе формулы Кардано?

[Munin]

Уже нашли.

[roga]

Но есть же неберущиеся интегралы. Например:
$\int \frac{\cos {x}}{\ln {x}}\, dx$

[Ms-dos4]

roga
Да, но в таких случаях (если нужно) поступают по другому - можно просто ввести функцию и определить её как значение этого интеграла (как вариант - через ряд). А алгоритм, о котором идёт речь - и решает, является ли интеграл элементарной функцией.

[Linkey]

Ms-dos4
Если я правильно понял, речь о том что все сложные функции, такие как синус или логарифм, в любом случае вычисляются как сумма сходящегося ряда. Если интеграл нельзя выразить такими функциями, можно просто назвать его каким-нибудь именем, типа "гиперультрасинус".
Правильно ли я понимаю, что любой интеграл можно выразить как сумму бесконечного сходящегося ряда? И второй вопрос: бывает ли так, что этот ряд так медленно сходится, что это создаёт реальные проблемы?

[Stan Slapenarski]

Linkey писал(а):

Правильно ли я понимаю, что любой интеграл можно выразить как сумму бесконечного сходящегося ряда?

Ну, классический определенный интеграл и задается как предел интегральных сумм.

Linkey писал(а):

И второй вопрос: бывает ли так, что этот ряд так медленно сходится, что это создаёт реальные проблемы?

Не слышал о таких случаях. Если какой-то ряд медленно сходится, а нужно приближенно вычислить его сумму, то обычно строят другой ряд с той же суммой, но сходящийся быстро. Вот фрагментик Фихтенгольца:

[Pphantom]

Linkey в сообщении #840163 писал(а):

И второй вопрос: бывает ли так, что этот ряд так медленно сходится, что это создаёт реальные проблемы?

Да, бывает. Классический пример - решение задачи 3 тел, полученное Карлом Сундманом.

[ShW24]

Linkey, почитайте про алгоритм Риша.

[Linkey]

Pphantom в сообщении #840198 писал(а):

Да, бывает. Классический пример - решение задачи 3 тел, полученное Карлом Сундманом.

Я полагаю, если ряд медленно сходится, найти ему подходящую (быстрее считаемую) замену - творческая задача.

[Munin]

Вам что, творческих задач не хватает?

[Pphantom]

Linkey в сообщении #840212 писал(а):

Pphantom в сообщении #840198 писал(а):

Да, бывает. Классический пример - решение задачи 3 тел, полученное Карлом Сундманом.

Я полагаю, если ряд медленно сходится, найти ему подходящую (быстрее считаемую) замену - творческая задача.

Пожалуй. По крайней мере, в данном конкретном случае за уже более чем век подходящую замену (именно в виде разложения в ряд) так и не нашли, стало быть, чисто технической проблемой это счесть трудно.

[roga]

Тут много букв, а хочется конкретики. Как же лучше всего представить интеграл, который я привел:
$\int \frac{\cos {x}}{\ln {x}}\, dx$
?
Да и графически сопоставить результат для диапазона $x$, скажем, от 0 до 20 ?

[Ms-dos4]

roga
Представьте вашу функцию как $\[\frac{{\cos x}}{{\ln x}} = \frac{1}{{\ln x}}\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}{x^{2k}}}}{{(2k)!}}} \]$. Используя то, что $\[\int {\frac{{{x^{2k}}}}{{\ln x}}} dx = {\mathop{\rm Ei}\nolimits} ((2k + 1)\ln x)\]$ (т.к.$\[{\mathop{\rm li}\nolimits} (x) = {\mathop{\rm Ei}\nolimits} (\ln x)\]$) имеете
$\[\int {\frac{{\cos x}}{{\ln x}}dx} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{( - 1)}^k}{\mathop{\rm Ei}\nolimits} [(2k + 1)\ln x]}}{{(2k)!}}} \]$.
Если численно интегрировать например от 2 до 3, то для точности в 6 значащих цифр после запятой понадобилось 7 членов ряда.
Собственно график "интеграла" (я тут с "запасом" взял 1000 членов)

[roga]

Ну, хорошо. Допустим я численно решаю при помощи вольфрама этот интеграл в диапазоне от 0 до 8
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... 0..8%29%29

Получаю примерно $0.546$. У вас же - где-то около $-2$.
Даже знаки разные. Чему верить?

Возьму диапазон от 0 до 1.5
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... .1.5%29%29
Тут еще больше различие: $1.44$, а у вас $-1$

И только при диапазоне от 0 до 0.5 все в норме:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... .0.5%29%29

[roga]

Вот что интересно. Ни я, ни вы в данном случае не правы. На другом форуме посоветовали разбить на 2 интервала, что и делаю:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... E100%29%29

http://www.wolframalpha.com/input/?i=ev ... 0..8%29%29

Итого от 0 до 8 значение площади будет равно

$-80.9879+78.2355=-2.7524$

Это уже похоже на истину, когда смотришь на график подинтегральной функции.

У вас получается $-1,7$



Согласитесь, результат никуда не годится, так как ошибка даже в первом знаке.

Если интегрировать от 1 до 1.5, то будем иметь $80.4424$

Следовательно, интеграл от 0 до 1.5 равен

$-80.9879+80.4424=-0.5455$

У вас же результат отличается в два раза. Получается, что теория тут работает плохо и решать задачу следует только численно.