Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[STilda]

shwedka писал(а):

А попробуйте за эти полгодика какую-нибудь теоремушку про Ваши небанальные числы доказать.

Да лааадна Вам, мне теоремы не нужны... мне бы речь распознать

[AD]

STilda писал(а):

Да лааадна Вам, мне теоремы не нужны... мне бы речь распознать

Как говорят на занятиях по урчпам,

Цитата:

Ухх.

[STilda]

Кто-то может придумать пример из реальности, где взаимодействие трех объектов $A, B, C$ нельзя описать как комбинацию трех, но двойных взаимодействий: $A$ с $B$, $A$ с $C$ и $B$ с $C$ ?

Например, задача трех тел. Взаимодействуют три тела, но мы описываем их совокупное взаимодействие через набор из трех попарных взаимодействий (каждое притягивается к каждому). И не рассматриваем исключительно тройственное взаимодействие. Ведь вся наша наука, и математика, и физика, сконцентрирована на описании двойственных отношений между объектами, тоесть выявление законов взаимодействия между двумя. А законы взаимодействия между тремя остаются не проявленными.

Я не химик, но вот в химии, кажется, возможна такая ситуация. Есть три химических элемента (состава) $A, B, C$. Для того, чтобы знать, как они прореагируют все втроем вместе не достаточно знать как прореагирует $A$ с $B$, $A$ с $C$ и $B$ с $C$.

Добавлено спустя 1 час 6 минут 12 секунд:

Вплоть до того, что попарно вещества вообще не взаимодействуют (не идет реакция), а если смешать все три, тогда провзаимодействуют.
В такой интерпретации видно, что означает фраза : "в системе1 $A$ и $B$ не складываются впринципе, в то время как корни кубические из единицы - складываются, и дают результат".

[AD]

STilda писал(а):

В такой интерпретации видно, что означает фраза : "в системе1 $A$ и $B$ не складываются впринципе, в то время как корни кубические из единицы - складываются, и дают результат".

Не знаю, мне пока плохо видно. В обоих случаях сложение происходит одинаково. Просто запись результата разная.

STilda писал(а):

Кто-то может придумать пример из реальности, ... ?

А, может быть, стоило как раз с этого и начать? Мы же не будем подгонять реальность под формулы, верно? А хотя может и нет, ведь много что в физике началось с красивой математики ... Ладно, сразу так пример не приведу

STilda писал(а):

Взаимодействуют три тела, но мы описываем их совокупное взаимодействие через набор из трех попарных взаимодействий

Ага, ведь так существенно проще!. А вообще задача трех тел ведь в принципе неразрешима, так что пытаться описывать совокупное взаимодействие вообще бесполезно. Так?

[STilda]

AD писал(а):

STilda писал(а):

В такой интерпретации видно, что означает фраза : "в системе1 $A$ и $B$ не складываются впринципе, в то время как корни кубические из единицы - складываются, и дают результат".

Не знаю, мне пока плохо видно. В обоих случаях сложение происходит одинаково. Просто запись результата разная.

Ну как же только запись? В первом случае реакция не идет, вещества не взаимодействуют, нет результата взаимодействия, смесь не переходит в иное состояние. Слово "результат" подразумевает следствие. Была причина а получили следствие. Если объекты не складываются, то причина остается причиной и нет никакого следствия. А в случае с комплексными корнями из 1, наоборот, имеем и причину и следствие, два вещества прореагировали, получилось третье, смесь поменяла свое состояние. Разве эта разница не значительная? Да, она относится к интерпретации формул, но куда же без нее денешься?

AD писал(а):

STilda писал(а):

Кто-то может придумать пример из реальности, ... ?

А, может быть, стоило как раз с этого и начать? Мы же не будем подгонять реальность под формулы, верно? А хотя может и нет, ведь много что в физике началось с красивой математики ... Ладно, сразу так пример не приведу

Вообщето, всегда паралельно рассматривал этот вопрос. Будем одновременно и подгонять формулы к реальности и искать реальность к формулам. Так быстрее выявить адекватность между ними.

AD писал(а):

STilda писал(а):

Взаимодействуют три тела, но мы описываем их совокупное взаимодействие через набор из трех попарных взаимодействий

Ага, ведь так существенно проще!. А вообще задача трех тел ведь в принципе неразрешима, так что пытаться описывать совокупное взаимодействие вообще бесполезно. Так?

Просто мы всю свою историю развивались только в этом направлении. Потому и проще. Кроме того, взаимодействие между тремя это будет иной вид связи, это уже не будет "притяжение". Нечто другое... Которое нельзя выразить через взаимодействие трех пар.
Бесполезно, если "описывалка" не соответсвует реальности. В задаче трех тел - можно предположить, что неразрешимость из-за несоответствия. Хотя, не утверждаю, не вижу еще полностью, что к чему.
И вообще, считаю, что для трех тел существует одновременно и три попарных взаимодействия и одно тройное. Только по выявлению второго мы експерименты не ставили, и как ставить не знаем, и как воспользоваться такой связью тоже не знаем, выпало из рассмотрения...

Ну а "химический" пример?. Допустим три вещества попарно не взаимодействуют, а втроем - реакция идет. Какая мат. модель такого явления? Как выявлять законы? Чем описывать? Кроме накопления статистики на экспериментах...
Плохой пример или проясняет ситуацию? (то, что я пытаюсь про "истинную" тройственность сказать)

[shwedka]

STilda

Цитата:

Ну а "химический" пример?. Допустим три вещества попарно не взаимодействуют, а втроем - реакция идет. Какая мат. модель такого явления? Как выявлять законы? Чем описывать? Кроме накопления статистики на экспериментах...

Это только гражданам, химии не знающим, кажется, что реакции с тремя веществами не описываются традиционной математикой. Прекрасно описываются! Скажем, реакция двух веществ в присутствии катализатора, которая без катализатора не идет. На уровне
$H_2+O=H_2O$ реакцию, конечно, никто не объяснит. Но когда пишутся балансы энергии на различных энергетических уровнях, с привлечением квантовой динамики, то прекрасно объясняются все реакции.Возьмите серьезную книгу по катализаторам и получите математическую модель.

[STilda]

shwedka писал(а):

Но когда пишутся балансы энергии на различных энергетических уровнях

Энергетические уровни описать это есть проблема. Большая. Уравнение Шредингера и не для всех уровней, и решается только в самых элементарных случаях. Плюс дополнения разные, плюс не всё покрывающие. На целостную теорию явно не похоже.

shwedka писал(а):

... с привлечением квантовой динамики...

Читаю, например, в википедии про квантовую хромодинамику:

Цитата:

Квантовая хромодинамика начинается с того, что мы постулируем, что каждый кварк обладает новым внутренним квантовым числом, условно называемым цветовым зарядом, или просто цветом. Термин «цвет», конечно же, не имеет никакого отношения к оптическим цветам и введён исключительно для целей популяризации. Дело в том, что инвариантная в цветовом пространстве комбинация есть сумма трёх различных цветов. Это сильно напоминает то, что сумма трёх основных оптических цветов — красного, зелёного и синего — дает белый цвет, т. е. бесцветное состояние. Именно в этом смысле базисные вектора в цветовом пространстве часто называют не первый, второй, третий, а «красный» (к), «зелёный» (з) и «синий» (с). Антикваркам соответствуют анти-цвета (ак, аз, ас), причём комбинация «цвет + антицвет» тоже бесцветна. Глюоны же в цветовом пространстве есть комбинации «цвет-антицвет», причём такие комбинации, которые не являются инвариантными относительно вращений в цветовом пространстве. .... Например, «синий» кварк может испустить «синий-антизелёный» глюон и превратиться при этом в «зелёный» кварк

Не что иное как постулирование существования полярностей и законов их взаимодействия в стиле систем система1,2,3,4,5.

Кроме того, цитирую Ленского:

Цитата:

...Основной принцип отношений - двухзначность, главенствует во всех аспектах научных знаний, где, в отличие от исследований в области квантовой хромодинамики, еще не сложились предпосылки к многозначным отношениям.

Так что там как раз и вынуждены переходить от традиционной к многополярной математике.

shwedka писал(а):

На уровне $H_2+O=H_2O$ реакцию, конечно, никто не объяснит.

А почему?

Химический пример показывает, что значит "не складываются". Бывают такие взаимодействия в природе, когда их нельзя выявить в терминах взаимодействия двух. А в повальном большинстве абстрактных моделей такого не наблюдается. Потому нужно расширять и развивать принципы абстрактных моделей. И не скидывать их с помощью изоморфизма на известные. Ой, ладна, молчу, а то агитировать начал )).
Я бы хотел еще такого рода примеры найти.

P.S. И вообще, не нужно делать разделение: все что напечатано до начала этого топика - традиционное, а все что в этом топике - претендует на роль не традиционного. У любой теории, системы есть "скилет" (система постулатов-аксиом). Я изучаю такие "скилеты" и вижу, что они могут быть разные по принципам. Некоторые строятся как суперпозиции из других, некоторые не выражаются один через другой. Ну и всякое такое... Это и есть теория многополярности.

ну вот есть:
кварк1+кварк2+кварк3 = 0, антикварк1+антикварк2+антикварк3=0, кварк1+антикварк1=0, ... кварк1*кварк2=кварк3^2, кварк1*кварк3=кварк2^2, ... кварк1*кварк2*кварк3=1.
(это есть постулаты квантовой хромодинамики. это что, "обычные" математические законы?)

разве не отличается от:
(+)+(-)=0, (+)*(-)=(-), (-)*(-)=(+), a*a^(-1)=1.
???

Разные же "скелеты" тут имеем.

[AD]

STilda писал(а):

Ну как же только запись?

Для математики это - только запись. Это означает, что ваша форма записи, скажем, не поможет доказать каких-либо содержательных теорем - ведь все они легко переформулируются и передоказыавются в, как вы их называете, "обычных математических законах".

STilda писал(а):

Разные же "скелеты" тут имеем.

Ну разные, ну и что? Ну да, не $\mathbb{R}^n$ получается, а какая-то другая алгебраическая структура. Это совсем не повод менять систему аксиом теории множеств, тем более что в ней все, что надо, описывается. Все-таки ответьте себе (и остальным заодно ) на вопрос: ради чего делать эти законы математикой? Какие результаты, теоремы вы хотите получить и использовать? Что вам такого не ясно в этих законах, что прояснил бы мощный математический аппарат? Вы же от конкретных проблем исходите? Или просто думаете, что "если это начать развивать, то через триста лет появится возможность проще описывать некоторые физические явления"?

Да, и чего вы вообще к этим плюсам и минусам-то привязались? Ясно и так, что действительные числа - лишь частный случай, просто оказавшийся исторически наиболее популярным. У математиков уже давно вполне хватает абстрактного мышления, чтобы это принять; а вы все еще называете (+)*(-)=(-) "обычным математическим законом", то есть как бы находитесь еще в начале абстрагирования?

[STilda]

AD писал(а):

Это означает, что ваша форма записи, скажем, не поможет доказать каких-либо содержательных теорем - ведь все они легко переформулируются и передоказыавются в, как вы их называете, "обычных математических законах".

Не все, скоро я разделаюсь с этим изоморфизмом и теоремой Фробениуса )).

AD писал(а):

Или просто думаете, что "если это начать развивать, то через триста лет появится возможность проще описывать некоторые физические явления"?

300 лет меня не пугают. да, я так думаю. и не только проще, а вообще станет возможным то, что сей час не возможно.

[shwedka]

Скажу резче. Здесь со стороны STilda
и его/ее вдохновителя происходит попытка заработать славу в математике задешево. Вот, введем новые аксиомы и молодцы!!!
В том-то и дело, что слава в математике добывается не введением нетрадиционных аксиом, а каторжным трудом по развитию теорий, доказательству теорем. Вся аргументация происходит на уровне,

Цитата:

введёном исключительно для целей популяризации

.
Вот Вы пишете,что задача трех тел, мол, не решается, энергетические уровни не находятся... Вот в том-то и сила традиционной математики, что она позволяет, благодаря развитым теориям, получать результаты о свойствах решений задачи трех тел и уровней оператора Шредингера, не находя их. Чтобы заработать славу новымии аксиомами, докажите теоремы, развейте теорию, продемонстрируйте приложения. А размахивать руками- дешевый трюк.

[

[STilda]

AD писал(а):

Да, и чего вы вообще к этим плюсам и минусам-то привязались? Ясно и так, что действительные числа - лишь частный случай, просто оказавшийся исторически наиболее популярным. У математиков уже давно вполне хватает абстрактного мышления, чтобы это принять

да плюс и минус это обозначения условные. не в действительных числах дело. теори групп, например, более абстрактно, постулируется елемент и обратный ему, который его компенсирует. Где мы выходим за пределы этого принципа? Приведите пример. И сколько вы их приведете? Парочку максимум...

Добавлено спустя 6 минут 57 секунд:

to shwedka: хорошо ).

[AD]

Ну да, вот я и говорю, случай популярный. За примерами я вас уже не раз отсылал к Курошу. Рекомендую почитать про "груды" - алгебры с одной тернарной операцией $[xyz]$, удовлетворяющей аксиомам

$$[[xyz]uv]=[x[uzy]v]=[xy[zuv]]\leqno(1)$$

,
$$[xyy]=x,\quad[yyx]=x\leqno(2)$.
Они как-то естественно возникают из теории групп, а потом оказывается, что группы, из которых они получились, по ним восстанавливаются (вот она, теория!). Первая аксиома - это такая "ассоциативность" (только обратите внимание на порядок букв в средней скобке), вторая - как вы выражаетесь, "компенсация": "если при взаимодействии трех объектов рядом оказались два одинаковых, они исчезают" (порядок важен!).

Только зачем вам такие примеры? Вот вы самый лучший пример и есть - очень показательно: можно нагородить чего хочешь, вот вам и пример. Лишь бы противоречий не возникало, а так ... Что примеров таких до вас мало придумывали - это показывает лишь то, что никто не понимает, зачем это надо. Вот и я выпытываю у вас, зачем это надо (см. предыдущее сообщение).

Вообще, когда я слышу, что какой-то физический закон нельзя описать с помощью математики, мне становится не по себе.

Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды:

STilda писал(а):

Не все, скоро я разделаюсь с этим изоморфизмом и теоремой Фробениуса )).

В этом деле вы не первый, прямо скажем ...

[STilda]

AD, тоесть Вы считаете, что нельзя поставить такую задачу, которую невозможно решить в системах чисел "действительные, комплексные, кватернионы, комбинации этих", но возможно в некоторой виртуальной "новой" решить?

Про груды, да, слышал, почитаю как будет натхнення.

Цитата:

Вообще, когда я слышу, что какой-то физический закон нельзя описать с помощью математики, мне становится не по себе.

Этого мне не понять конечно. Не поддающихся описанию явлений придостаточно.

В плане применимости изысканий на практике - согласен полностью.
Вобщем ладна.

==========================================

Про изоморфизм теперь. Пусть есть функция $f:A\mapsto A$. Пусть также между $A$ и $B$ есть изоморфизм. $A,B$ - поля чисел. Математическое выражение, задающее функцию $f$ можно перенести (по изоморфизму) в выражение над полем $B$, получив функцию $g:B\mapsto B$. При таком переносе, $sin(.)$ поля $A$ перейдет в $sin(.)$ поля $B$. И любая функция поля $A$ будет переходит в такую же функцию поля $B$. Так? Или я ошибаюсь?

[luitzen]

Кажется, тринадцатая проблема Гильберта имеет отношение к тому, чего хочет STilda. Пусть специалисты скажут, так ли это.

Вот в области булевых функций «трехместность» имеет большие права. Конечно, неверно, что трехместные функции нельзя представить через суперпозиции функций меньшей местности. Просто у очень многих трехместных есть собственные названия.

В качестве причины можно предложить тот факт, что физические реализации трехместных функций могут могут быть вполне самостоятельными, а вовсе не «составляться» из «реализаций» двух- и одноместных функций. Ну то есть функционирование этих реализаций объясняется в терминах физики, а не алгебры логики.

Имхо, есть еще одна причина — пижонско-эстетическая. Многим «по приколу» писать $\langle x, 0, y \rangle$ вместо$x \land y$, лишний раз подчеркивая тот факт, что соответствующая область знаний является одной большой тавтологией. Кажется, в одном из ранних сообщений STilda было что-то на этот счет.


P.S. Если очень нравится число 3, то можно вместо бинарных операций рассматривать тернарные отношения :-)

[AD]

STilda писал(а):

AD, тоесть Вы считаете, что нельзя поставить такую задачу, которую невозможно решить в системах чисел "действительные, комплексные, кватернионы, комбинации этих", но возможно в некоторой виртуальной "новой" решить?

Нет, я так не считаю. Я очень тривиальный факт утверждаю: "система 1" изоморфна в понятном смысле комплексным числам. Поэтому любая теорема о системе 1 будет теоремой о комплексных числах, лишь записанной в других обозначениях. Ничего нового получить не удастся.
В других числовых системах, не изоморфных общепринятым, что-то интересное появиться может.
И еще раз: "действительные, комплексные, ..." - это частный случай. Перед вами - вся теория множеств! Городи что хочешь! Вот в теорию множеств я уже верю. В смысле там, наверное, весь физический мир укладывается ... Ну пока я ничего такого не видел, что туда не укладыавются. Категория категорий разве что ))) итп

STilda писал(а):

AD писал(а):

Вообще, когда я слышу, что какой-то физический закон нельзя описать с помощью математики, мне становится не по себе.

Этого мне не понять конечно. Не поддающихся описанию явлений придостаточно.

Да, конечно, такие явления, как ведьмы, летающие тарелки, и пр., плохо поддаются описанию. Я вот что имею ввиду: Если вы понимаете, что происходит, то это и означает, что вам ничего не стоит объяснить это на языке математики. А если сами не понимаете, то, конечно, описать не сможете.

STilda писал(а):

Про изоморфизм теперь.

Про изоморфизм. В вашем вопросе очень много всего намешано, поэтому ограничусь таким ответом: все зависит от того, что такое синус. Что такое синус комплексного числа - понимаю. А у вас там что за синус такой? Дело в том, что для определения синуса алгебраических операций не достаточно, поэтому требую от вас пояснений.

Добавлено спустя 24 минуты 1 секунду:

Еще про изоморфизм. Пока вы отвечаете, давайте учиться такие вещи на языке категорий выражать.

Пусть объекты $A$ и $B$ изоморфны, $\varphi\colon A\to B$ - изоморфизм между ними, $f\colon A\to A$ - функция, отображающая $A$ в себя.
Будем говорить, что изоморфизм $\varphi$ переводит функцию $f$ в функцию $g\colon B\to B$, если диаграмма

$$ \xymatrix{ A\ar[r]_{f}\ar[d]_{\varphi}&A\ar[d]_{\varphi}\\ B\ar[r]_{g}&B } $$

коммутативна, то есть $\varphi(f)\equiv g(\varphi)$.

Это я выразил, что вы имеете ввиду, когда говорите, что синус перейдет туда-то. Теперь вам нужно объяснить, на каких основаниях вы заявляете, что функция $g$ будет "синусом", если "синусом" была функция $f$. Чтобы это объяснить, надо разобраться с определением синуса, а так же пояснить, что такое $A$ и $B$ и что про них известно.