Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[STilda]

Цитата:

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=77528#77528
Все ищут доказательство ВТФ, а я убежден что она недоказуема и все имеющиеся её доказательства содержат ошибки.

Как насчет того, чтоб сменить алгебру чисел? кроме действительных и комплексных можно выдумать дикую кучу алгебр всяких со своими "мнимыми" единицами и правилами их сложения и умножения. в том числе не совместимых с "обычными".

[AD]

STilda писал(а):

Как насчет того, чтоб сменить алгебру чисел? кроме действительных и комплексных можно выдумать дикую кучу алгебр всяких со своими "мнимыми" единицами и правилами их сложения и умножения. в том числе не совместимых с "обычными".

Может и можно, только это вы к чему?
Можно, конечно, но по известной теореме Фробениуса, скажем, все алгебры над $\mathbb{R}$ будут в большинстве своем "плохими". Вообще, удобных числовых систем мало.

[STilda]

Цитата:

Менять алгебру чисел как раз Yarkin предлагал в свое время, в своей классической теме http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=6758&am.....mp;start=0.

Да, просмотрел топик, интересно. Причем приводится модель трехмерного числа (та, что замкнута относительно умножения) совпадающая с той, что я приводил в пример в топике с сопряженными числами (http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8947).
Не пойму правда после этого фразу

Цитата:

Абсолютно невыполнимая вещь

Добавлю только что эта тема (построения различных алгебр) полностью проработанна и ей найдены "отражения" в реальность. Это теория многополярности Ленского В.В. Если кому-то интеренсо, и не удастса найти в гугле, дам конкретные ссылки.
А к ВТФ это отностися только тем, что там приводится алгебра, в которой она выполнима.

[AD]

STilda писал(а):

Добавлю только что эта тема (построения различных алгебр) полностью проработанна и ей найдены "отражения" в реальность. Это теория многополярности Ленского В.В. Если кому-то интеренсо, и не удастса найти в гугле, дам конкретные ссылки.
А к ВТФ это отностися только тем, что там приводится алгебра, в которой она выполнима.

Так с ходу нашел только всякую философию.

"Полностью проработана" - это, конечно, сильно. Из этого бы следовала, скажем, неплохая классификация всех групп (ведь для каждой группы $G$ и поля $\mathbb{K}$ строится "групповая алгебра" $\mathbb{K}G$). А пока еле-еле математики классифицировали конечные простые группы (им будут соответствовать конечномерные алгебры, а ведь бесконечномерных куда больше) (там доказательство еще повеселее, чем общепринятое для Ферма). Это, конечно, не точные слова, но понятный (надеюсь) пример.

Хотя, конечно, про конечномерные алгебры много хорошего известно. Ну хотя бы та же теорема Фробениуса говорит, что, скажем, трехмерная алгебра над $\mathbb{R}$ не может быть ни полем, ни даже телом

Алгебра, в которой выполнима ВТФ - это, конечно, забавно, только к теме отношение вряд ли имеет, поскольку формулируется-то теорема Ферма как раз для натуральных чисел.

Ну и, как всегда, придется привести ответ на вопрос, зачем это надо. Обычные числа уже прижились. Мне лично кватернионов, p-адических чисел и тропического полукольца вполне хватает. Причем про тропическую математику вопрос "зачем это надо" еще, вроде бы, открытый, хотя связи с обычной математикой обнаруживаются забавные.

[STilda]

Цитата:

Так с ходу нашел только всякую философию.

Хорошо, из математики я читал две книжки (частично повторяют одна другую) на сайте http://axion.xost.ru/lib.htm "Полинарные отношения и многополярные модели" и " Основы многополярности" (эта написана сложнее первой, но и содержит больше интересных вещей чем первая, хотя я так во многом и не разобрался). А также с сайта http://www.mudrec.org/ раздел "математика".
"Философией" лично я не пренебрегаю, потому что именно она дает ответ на вопрос "зачем это надо?", куда это все прилепить, и почему это сложно, и когда вообще возможно (последнее - относительно построений ума, логики).

Цитата:

Алгебра, в которой выполнима ВТФ - это, конечно, забавно, только к теме отношение вряд ли имеет, поскольку формулируется-то теорема Ферма как раз для натуральных чисел.

Ну как бы и да и нет. Если натуральные числа значит можем использовать только их сложение и умножение. (Я, после ознакомления с указанной выше литературой, начал четко разделять, например, натуральное число, и целое положительное). Кроме того, результат взаимодействия объектов (чисел, функций) будет зависеть от того, в каком пространстве они "живут" ( в приведенной литературе рассматриваются алгебры, в которых, например, будет sin(x)^3+cos(x)^3=1, при том, что sin(x) и cos(x) это те же самые "обычные" функции ).

[AD]

STilda, а давайте попросим модераторов отделить наше обсуждение в отдельную тему. Типа "нужны ли нам новые числа?". Или тут поболтаем, пока Yarkin осмысливает мой последний ответ?

STilda писал(а):

в приведенной литературе рассматриваются алгебры, в которых, например, будет sin(x)^3+cos(x)^3=1, при том, что sin(x) и cos(x) это те же самые "обычные" функции

Ну теми же самыми они быть не могут, потому что для обычных функций это неверно. Либо x берется из другого множества, либо операции + и ^ определяются по-другому, но в любом случае это уже другие функции. Наверное, они просто по аналогии определяются.

Вообще, это, конечно, красивый emergence (может подскажите удачное русское слово?), когда меняешь немного правила - и смотришь, какие забавные свойства вылезают. Как когда в модели меняешь параметр - и поведение меняется заранее непредсказуемым образом. Спасибо, в книжки загляну как-нибудь.

P.S. если формулу окружить знаками доллара, то будет красивЕе. вот так:

$\sin^3 x+\cos^3 x = 1$

$\sin^3x+\cos^3x=1$

[Jnrty]

Jnrty:

Эта тема отделена от темы "Доказательство несостоятельности ВТФ".

[STilda]

Цитата:

STilda, а давайте попросим модераторов отделить наше обсуждение в отдельную тему

Да, это хорошо, а то я стеснялся там писать )), не люблю сам информацию не по теме.

Цитата:

Ну теми же самыми они быть не могут, потому что для обычных функций это неверно. Либо x берется из другого множества, либо операции + и ^ определяются по-другому, но в любом случае это уже другие функции. Наверное, они просто по аналогии определяются.

Не убедили пока что. Вообще это открытый вопрос для меня. При конструировании разных чисел в основу закладывают взаимодействия качеств чисел ( (i)*(i)=(-), (+)+(-)=(0) ... ).
На основе чего можно говорить что операция "плюс" ("умножить") в одной алгебре это таже самая операция "плюс" ("умножить"), что и в другой алгебре? Например, в комплексных числах, "плюс" в 1 + 3, и "плюс" в i + 2i, это одна и таже операция или разная?
Или, например, если у меня некая алгебра чисел полностью поглощает алгебру действительных (как комплексная), и в ней есть операции "плюс" и "умножить"? Относительно действительных чисел это будут другие операции (отличные от операций стандартной действительной алгебры)? или можно их отождествлять?

Например автор многополярности утверждает, что это те же самые функции, причем специально сделал замечание по этому поводу.

Цитата:

Спасибо, в книжки загляну как-нибудь.

Было б хорошо если б ктото заинтересовался, а то я один пока воюю над этим. А по многополярности форумы закрыты, там так просто не зарегестрируешься.

[PAV]

STilda писал(а):

Или, например, если у меня некая алгебра чисел полностью поглощает алгебру действительных (как комплексная), и в ней есть операции "плюс" и "умножить"? Относительно действительных чисел это будут другие операции (отличные от операций стандартной действительной алгебры)? или можно их отождествлять?

Что Вы называете термином "поглощает"? Определение своей алгебры включает в себя определение операций в ней. Как Вы сами определите эти операции, так и будет.

[AD]

STilda писал(а):

Не убедили пока что. Вообще это открытый вопрос для меня.
.....
На основе чего можно говорить что операция "плюс" ("умножить") в одной алгебре это таже самая операция "плюс" ("умножить"), что и в другой алгебре? Например, в комплексных числах, "плюс" в 1 + 3, и "плюс" в i + 2i, это одна и таже операция или разная?

Это разные операции, хотя бы потому, что они заданы на разных множествах. Давайте я вам приведу определения, и вы все поймете.

Определение. Декартово произведение двух множеств $X$ и $Y$ - это множество $X\times Y$, состоящее из всех упорядоченных пар $(x,y)$, где $x\in X$, $y\in Y$.

(считаю, что понятия "упорядоченная пара" уже известно).

Определение. Бинарным отношением между элементами множеств $X$ и $Y$ называется любое подмножество $R\subset X\times Y$. Если $(x,y)\in R$, то пишут: $xRy$.

Определение. Отображением, или функцией из множества $X$ в множество $Y$ называется такое отношение $F$ между $X$ и $Y$, что если $xFy_1$ и $xFy_2$, то $y_1=y_2$. Факт $xFy$ обычно записывают в виде $y=F(x)$.

Определение. $n$-арной операцией на множестве $X$ называется любое отображение $F$ из $\underbrace{X\times\ldots\times X}_\text{n раз}$ в $X$.

Скажем, сложение и умножение - бинарные операции (т.е. $n=2$).

Таким образом, в определении операции существенно все: и на каком множестве она задается, и как она устроена, ...

То же самое замечание относится и к синусам. Однако в слова "одна и таже операция" и "разные операции" можно вкладывать и некий неформальный смысл, скажем, "операция, определенная по аналогии с обычной", или "операция, естественным образом продолжаемая на объемлющее множество", и т.п. Скажем, естественно считать, что если одна из двух функций представляет из себя то же самое, что и другая, но с более узкой областью определения, то естественно считать, что это та же самая функция, хотя формально это, конечно, неправильно.

STilda писал(а):

Я, после ознакомления с указанной выше литературой, начал четко разделять, например, натуральное число, и целое положительное

Различать, конечно, нужно, но изоморфизм этих двух структур устанавливается быстро и естественно.

Добавлено спустя 4 минуты 49 секунд:

P.S. Если вас не устраивает предложенное мной название новой темы (ну вы же автор), говорят, можно исправить первое сообщение темы, там "заголовок сообщения".

[STilda]

PAV писал(а):

Как Вы сами определите эти операции, так и будет.

Да, нада подумать... Что, операцию "плюс" и "умножить" можно задать отлично от "обычного" способа (количественную сторону)?

AD писал(а):

Различать, конечно, нужно, но изоморфизм этих двух структур устанавливается быстро и естественно.

Оно то да, но физическая суть может быть разная.
То, что Вы (AD) хотели сказать про отношношения и бинарные операции я понял, спасибо.

Значит пока что нужно уяснить себе момент про количесткенную сторону операций и про то, может ли она принципиально изменить возможности чисел (интуитивно кажется что НЕ может).

P.S. Название топика меня не смущает, тем более оно отражает Ваше отношение к этим вопросам )).

[PAV]

Операции могут быть определены совершенно произвольным способом, лишь бы выполнялись их свойства (коммутативность, дистрибутивность и т.п.), необходимые в том объекте, который Вы определяете (группа, поле, алгебра и т.д.)

[STilda]

PAV писал(а):

Операции могут быть определены совершенно произвольным способом, лишь бы выполнялись их свойства (коммутативность, дистрибутивность и т.п.), необходимые в том объекте, который Вы определяете (группа, поле, алгебра и т.д.)

Если Вы знаете пример, где на множестве целых (либо действительных) чисел введены операции умножения и сложения отличным от "обычного" способом, пожалуйста, приведите его. (Не только отличным от "обычного", но и не использующим "обычные" операции сложения и умножения для своего задания).

Ведь в самом понятии "число два" заложено, что это "один плюс один", тоеть уже участвует операция сложения. И как бы она определена не была, "внутри" поля чисел "число два" будет "числом два". И потому мне кажется (только интуитивно пока что, на истину истин не претендую), что как бы мы не ввели операции сложения и умножения, с точностью до обозначений получим "обычное" поле чисел.

(О, ну все, я уже понял, что я хотел понять )

[PAV]

Ну, например, поле вычетов по простому модулю. Там арифметические операции ведут себя по-другому. Складывая единицу саму с собой, в какой-то момент получите ноль.

[AD]

STilda писал(а):

Ведь в самом понятии "число два" заложено, что это "один плюс один"

А вот и нет
В понятии "число два" заложено, что это то, что следует за числом 1. Это более примитивная унарная операция, существование которой аксиоматизируется. А сложение уже вводится потом, скажем, таким образом:
Если $x\in\mathbb{N}$, то $x+1$ есть следующее за $x$ число, а дальше - по индукции: $x+y = (x+(y-1))+1$ при $y>1$. Ну и доказываем коммутативность, ассоциативность, ...,
до посинения
А потом вводим умножение по той же схеме:
$x\cdot1=x$, и $x\cdot y=x\cdot(y-1)+x$ при $y>1$.
И тоже всё что надо доказываем.

STilda писал(а):

Если Вы знаете пример, где на множестве целых (либо действительных) чисел введены операции умножения и сложения отличным от "обычного" способом, пожалуйста, приведите его. (Не только отличным от "обычного", но и не использующим "обычные" операции сложения и умножения для своего задания).

Ну ввести операции другим способом никто не мешает - достаточно положить $x+y=1$, $xy=1$ для всех $x,y\in\mathbb{N}$. Только вот за что я их тогда сложением и умножением называю?

Более интересный пример - "тропическая математика", где на $\mathbb{R}\cup\{+\infty\}$ вводятся операции $x\oplus y = \min\{x,y\}$ и $x\otimes y=x+y$. В этом случае $+\infty$ играет роль нуля, а $0$ - роль единицы. Заметьте, что сложение не использует "обычные" операции.
Попробуйте в этом "тропическом полукольце" нарисовать, скажем, график многочлена.

Вообще, функции и операции можно вводить очень дикие, совсем не подвластные человеческому мышлению. Напомню классические загадки примерно из этой области:
1. Существует ли такая нелинейная функция $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, что $f(x+y)=f(x)+f(y)$?
2. Изоморфны ли аддитивные группы полей $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$?

Стандартные плюсик $+$ и крестик $\times$ - это лишь один из гиперконтинуума способов задания операций на $\mathbb{R}$ ...

А еще можно менять не только алгебраические свойства, но и топологические. Скажем, в рациональных числах можно по-другому определить расстояние между ними (вместо $\rho(x,y)=|x-y|$ - другая функция-метрика $\rho':\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}\to\mathbb{R}_+$). Тут получаются всякие $p$-адические числа.