STilda писал(а):
Не убедили пока что. Вообще это открытый вопрос для меня.
.....
На основе чего можно говорить что операция "плюс" ("умножить") в одной алгебре это таже самая операция "плюс" ("умножить"), что и в другой алгебре? Например, в комплексных числах, "плюс" в 1 + 3, и "плюс" в i + 2i, это одна и таже операция или разная?
Это разные операции, хотя бы потому, что они заданы на разных множествах. Давайте я вам приведу определения, и вы все поймете.
Определение.
Декартово произведение двух множеств

и

- это множество

, состоящее из всех упорядоченных пар

, где

,

.
(считаю, что понятия "упорядоченная пара" уже известно).
Определение.
Бинарным отношением между элементами множеств

и

называется любое подмножество

. Если

, то пишут:

.
Определение.
Отображением, или
функцией из множества

в множество

называется такое отношение

между

и

, что если

и

, то

. Факт

обычно записывают в виде

.
Определение.
-арной операцией на множестве

называется любое отображение

из

в

.
Скажем, сложение и умножение - бинарные операции (т.е.

).
Таким образом, в определении операции существенно все: и на каком множестве она задается, и как она устроена, ...
То же самое замечание относится и к синусам. Однако в слова "одна и таже операция" и "разные операции" можно вкладывать и некий неформальный смысл, скажем, "операция, определенная по аналогии с обычной", или "операция, естественным образом продолжаемая на объемлющее множество", и т.п. Скажем, естественно считать, что если одна из двух функций представляет из себя то же самое, что и другая, но с более узкой областью определения, то естественно считать, что это та же самая функция, хотя формально это, конечно, неправильно.
STilda писал(а):
Я, после ознакомления с указанной выше литературой, начал четко разделять, например, натуральное число, и целое положительное
Различать, конечно, нужно, но изоморфизм этих двух структур устанавливается быстро и естественно.
Добавлено спустя 4 минуты 49 секунд:
P.S. Если вас не устраивает предложенное мной название новой темы (ну вы же автор), говорят, можно исправить первое сообщение темы, там "заголовок сообщения".