Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[PAV]

STilda писал(а):

Число $2A+3B$ имеет свойств столько же сколько и число $2+3i$. Можете говорить, что оно имеет сразу два свойства и интенсивность этих свойств задана коеффициентами.

А вот это неверно. Как раз собирался об этом написать, а тут вот и повод. Существенным недостатком (точнее, неудобством) системы1 является неединственность представления. Поскольку у Вас $A+B+C=0$, то, скажем, записи $B$, $A+2B+C$, $2A+3B+2C$ и так далее представляют собой один и тот же объект. Поэтому взятый сам по себе коэффициент перед какой-либо из букв не является корректно заданной характеристикой. Мы не можем сказать, например, что у объекта $A+B$ свойство $A$ выражено в два раза меньше, чем у объекта $2A+C$.

[STilda]

PAV писал(а):

STilda писал(а):

Число $2A+3B$ имеет свойств столько же сколько и число $2+3i$. Можете говорить, что оно имеет сразу два свойства и интенсивность этих свойств задана коеффициентами.

А вот это неверно. Как раз собирался об этом написать, а тут вот и повод. Существенным недостатком (точнее, неудобством) системы1 является неединственность представления. Поскольку у Вас $A+B+C=0$, то, скажем, записи $B$, $A+2B+C$, $2A+3B+2C$ и так далее представляют собой один и тот же объект. Поэтому взятый сам по себе коэффициент перед какой-либо из букв не является корректно заданной характеристикой. Мы не можем сказать, например, что у объекта $A+B$ свойство $A$ выражено в два раза меньше, чем у объекта $2A+C$.

Послушайте, я не совсем Вас понимаю. Почему не смущает правило $(+1)+(-1)=0$, и неединственность задания объекта $3$ ?. Ведь $3=4-1=10-7...$. Или как? Почему не смущает неединственность $1+2i=3-2+4i-2i$?

А вот про это

PAV писал(а):

Мы не можем сказать, например, что у объекта $A+B$ свойство $A$ выражено в два раза меньше, чем у объекта $2A+C$.

мне не понятно. Почему не можем? Ну не знаю, давайте добавим правило, перед тем как брать коеффициенты перед свойствами "приводить объект к стандартному виду". Но в обычных числах это проходит как "само собой". А тут вдруг недоразумения. Если же $A+B$ и $2A+C$ - это полные числа (а не их куски) тогда мне не понятно, почему Вы считаете, что нельзя сравнивать интенсивности проявления свойств.???

[PAV]

Вот у нас сейчас происходит путаница с тем, что символ "+" используется в двух смыслах: как арифметическая операция и как разделитель в записи т-числа. Не зря же AD давно уже предлагал рассматривать не запись вида $A+B$, а тройку коэффициентов $(1,1,0)$.

Давайте сейчас для простоты когда говорим о единых числах писать не "+", а другой разделитель. Число $A+B$ будем записывать в виде $(1A;1B;0C)$.

Так вот, тройки $(1A;1B;0C)$ и $(2A;2B;1C)$ - это один и тот же объект. Тогда вопрос - насколько у него выражено свойство $A$? Есть у него или нет свойство $C$?

Добавлено спустя 30 минут 14 секунд:

STilda писал(а):

неединственность задания объекта $3$ ?. Ведь $3=4-1=10-7...$. Или как?

Верно, такое представление числа 3 неединственно. И именно по этой причине никто не даст такого "определения", что поскольку $3=4-1$, то некоторое свойство $A$ в числе 3 имеет интенсивность 4, а некоторое свойство $B$ - интенсивность -1. Или что-то в этом роде. А Вы именно это и делаете.

[STilda]

PAV писал(а):

Давайте сейчас для простоты когда говорим о единых числах писать не "+", а другой разделитель. Число $A+B$ будем записывать в виде $(1A;1B;0C)$.

Так вот, тройки $(1A;1B;0C)$ и $(2A;2B;1C)$ - это один и тот же объект. Тогда вопрос - насколько у него выражено свойство $A$? Есть у него или нет свойство $C$?

Хорошо. Давайте.
У этого объекта свойство $A$ выражено на $1$, а свойства $C$ нету. Почему?. Потому что $(1A;1B;1C)$ нейтрализуются в нейтральный $0$. А $0$ не меняет окраски. (Сколько бы вы к синему свету не домешивали белого, синевы в нем останется столько же сколько и было. Если вы к синему домешаете столько же зеленого и красного то окраска исчезнет, превратится в белый). Количество "белого", тоесть коеффициент перед $0$ сей час не фигурирует. Но может.
Может Вы говорите про двоякость представления белого. и как три одновременно, и как отсутствие каждого из них. Да такая двоякость есть. Он и нейтральный и содержит в себе все три компоненты. Но такое же и в обычных числах. 0=(-)+(+)

[PAV]

Рассмотрим т-число $(12.3A;9.2B;5.5C)$. Какая у него интенсивность признаков $A$, $B$ и $C$?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz, я Вам показал, что все эти понятия зашнурованы одно на другое. И выступают только комплексом правил и взаимосвязей. Положительность, отрицательность, нуль, операции и т.д. Этот комплекс и будет определением всего это.

Каждое из этих понятий выражается в терминах предыдущих, без циклов.

STilda писал(а):

Положительность не существует без отрицательности, без нуля, без правил оперирования ей

Никакой "отрицательности" я не упоминал. Без поля (в котором определень нуль) это определение положительности действительно не существует. А по поводу правил вы сами говорили, что операция (в данном случае предикат) без законов - пустое место.

STilda писал(а):

(если существует, так что же это?(ван дер Варден не подходит по приведенным замечаниям)).

Положительность - предикат, определенный на элементах поля и имеющий вышеуказанные свойства. Никаких существенных замечаний я не увидел.

Кстати, не напомните, что такое сложение? Или умножение?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Не воспользовался, а, наоборот, придумал эти правила.

Называйте как нравится, они вам понадобились для того, чтобы дать определение "положительности".

Правильно. Чтобы объяснить, что такое "сложение" или "умножение", тоже определяется операция и законы. Чем положительность хуже?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

Будем говорить, что число $x$ имеет свойство $A$ если:
1. Для любых $x,y$ со свойством $A$, $x+y$ имеет свойство $A$, $x*y$ имеет свойство $B$.

Скажите, имеет ли число $2A+3B$ свойство $A$? А число $A+3C$? А их сумма?

Число $2A+3B$ имеет свойств столько же сколько и число $2+3i$.

Я повторяю свои вопросы. Ответьте, пожалуйста, на них:

1. Имеет число $2A+3B$ свойство $A$ или не имеет?
2. Имеет число $A+3C$ свойство $A$ или не имеет?
3. Имеет ли сумма вышеназванных чисел свойство $A$ или не имеет?

STilda писал(а):

Можете говорить, что оно имеет сразу два свойства и интенсивность этих свойств задана коеффициентами.

Эти слова противоречат вашему определению, начинающемуся со слов "Будем говорить, что число $x$ имеет свойство $A$ если:". В этом определении свойство - предикат. Число либо имеет свойство $A$, либо не имеет. Никакой "интенсивности свойства" в вашем определении нет.

STilda писал(а):

рассматриваются качества $(+),i_1,i_2,...i_n$

Нет. $i_k$ - это не неопределенные "качества", а элементы тела.

STilda писал(а):

рассматриваются действительные коеффициенты $a_0,a_1,...a_n$, что по сути говорит о еще одном качестве $-$

Никаких "качеств" не определяется. Если вы определите понятие "качества", можно будет о нем поговорить.

STilda писал(а):

подразумевается правомочной запись вида $-i_k$

Нет никакого "подразумевания". Есть обычное умножение элементов тела друг на друга, в том числе на $-1$.

STilda писал(а):

а так же правила $i_k+(-i_k)=0$

Нет такого правила. Есть правило, что любой элемент тела имеет противоположный.

STilda писал(а):

подразумевается, что есть правила умножения качеств $(+),i_1,i_2,...i_n$.

Нет такого подразумевания. Есть обычное умножение элементов тела друг на друга. Может быть, например, $i_1\cdot i_2 = i_1+2i_3-\pi i_4.

STilda писал(а):

Скорее всего, не подразумевается, что для этих единиц могут быть еще правила по сложению, например, $i_1+i_2=i_3$

Операция сложения определена для любых пар элементов тела. Но если предполагается, что $1,i_1,\ldots,i_n$ образуют базис векторного пространства, то каждое число представляется в виде суммы элементов базиса с действительными коэффициентами единственным способом, и таких соотношений быть не может.

STilda писал(а):

или что вместо (либо паралельно, если без противоречия) $i_k+(-i_k)=0$ можно использовать $i_p+i_m+i_r=0$,

Это равенство либо верно, либо нет. Если оно верно, его, естественно, можно использовать. Если нет - нельзя.

STilda писал(а):

что произведению двух $i_k*i_r$ не обязательно ставить в соответствие единственное третье $i_s$ (либо $+$), а можно сделать и $i_k*i_r=i_m*i_d$.

Совершенно необязательно. Может быть, эти два произведения равны, а может, и нет. Смотря какое тело взято за основу.

STilda писал(а):

Все это последнее, кажется, дает возможность выйти за пределы теоремы Фробениуса.Возникает вопрос, что это такое должно быть, что можно сделать в "иных" системах чисел и нельзя сделать в "обычных".

Пока вы не предложили ничего выходящего за рамки конечномерных алгебр над полем действительных чисел.

[bot]

Попробую перефразировать PAVa таким путём:
Предположим три цвета A, B и С при перемешивании в равных пропорциях взаимно нокаутируются.
Смешаем их в пропорции в количествах 1, 2, и 3 кг и добавим к ним в любых, но равных количествах все три краски. Какова теперь будет пропорция красок в объекте?

[STilda]

PAV писал(а):

Рассмотрим т-число $(12.3A;9.2B;5.5C)$. Какая у него интенсивность признаков $A$, $B$ и $C$?

Интенсивности будет: для $A$ - $6.8$, для $B$ - $3.7$, для $C$ - ноль.

bot писал(а):

Попробую перефразировать PAVa таким путём:
Предположим три цвета A, B и С при перемешивании в равных пропорциях взаимно нокаутируются.
Смешаем их в пропорции в количествах 1, 2, и 3 кг и добавим к ним в любых, но равных количествах все три краски. Какова теперь будет пропорция красок в объекте?

Пропорция останется как и была 1/2/3. Остальное аннигилируется )). Тоесть, не будет пропорция (1+N)/(2+N)/(3+N).

to tolstopuz: Извените конечно, но "драться" я с Вами не буду. Вы придираетесь к каким-то формальностям, названиям, и тому подобным вещам, хотя суть не меняется. Вы абсолютно не хотите принять ту терминологию, которую использую я, и не хотите увидеть что за ней стоит то же самое, что и за класической.

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

Скорее всего, не подразумевается, что для этих единиц могут быть еще правила по сложению, например, $i_1+i_2=i_3$

Операция сложения определена для любых пар элементов тела. Но если предполагается, что $1,i_1,\ldots,i_n$ образуют базис векторного пространства, то каждое число представляется в виде суммы элементов базиса с действительными коэффициентами единственным способом, и таких соотношений быть не может.

STilda писал(а):

или что вместо (либо паралельно, если без противоречия) $i_k+(-i_k)=0$ можно использовать $i_p+i_m+i_r=0$,

Это равенство либо верно, либо нет. Если оно верно, его, естественно, можно использовать. Если нет - нельзя.

STilda писал(а):

что произведению двух $i_k*i_r$ не обязательно ставить в соответствие единственное третье $i_s$ (либо $+$), а можно сделать и $i_k*i_r=i_m*i_d$.

Совершенно необязательно. Может быть, эти два произведения равны, а может, и нет. Смотря какое тело взято за основу.

Я говорю про постулирование определенных законов, про смену аксиоматики. Вы говорите про то выполняются ли новые постулаты в старой аксиоматике.

tolstopuz писал(а):

Я повторяю свои вопросы. Ответьте, пожалуйста, на них:

1. Имеет число $2A+3B$ свойство $A$ или не имеет?
2. Имеет число $A+3C$ свойство $A$ или не имеет?
3. Имеет ли сумма вышеназванных чисел свойство $A$ или не имеет?

1. Имеет.
2. Имеет.
3. Не имеет.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

1. Имеет число $2A+3B$ свойство $A$ или не имеет?
2. Имеет число $A+3C$ свойство $A$ или не имеет?
3. Имеет ли сумма вышеназванных чисел свойство $A$ или не имеет?

1. Имеет.
2. Имеет.
3. Не имеет.

Но это противоречит вашему определению:

STilda писал(а):

Будем говорить, что число $x$ имеет свойство $A$ если:
1. Для любых $x,y$ со свойством $A$, $x+y$ имеет свойство $A$

STilda писал(а):

Вы абсолютно не хотите принять ту терминологию, которую использую я

К сожалению, за вашими терминами нет реальных определений. Это является основной причиной трудностей в дискуссии.

[STilda]

Ну хорошо, всем спасибо. Подумать над изоморфизмом было полезно. Если будут вопросы по теме, спрашивайте, вдруг буду знать ответ.

[bot]

STilda писал(а):

Пропорция останется как и была 1/2/3. Остальное аннигилируется )). Тоесть, не будет пропорция (1+N)/(2+N)/(3+N).

Возможно Вы уже осознали, но на всякий случай спрошу: А почему тогда не 0:1:2?

[STilda]

bot писал(а):

STilda писал(а):

Пропорция останется как и была 1/2/3. Остальное аннигилируется )). Тоесть, не будет пропорция (1+N)/(2+N)/(3+N).

Возможно Вы уже осознали, но на всякий случай спрошу: А почему тогда не 0:1:2?

Да, Вы правы, я прохлопал ушами ). Правильно будет 0/1/2

Добавлено спустя 1 минуту 21 секунду:

Да, так вот )), вопрос остался такой. Как ввести понятие сопряженного числа в системе1?

[bot]

STilda писал(а):

Да, Вы правы, я прохлопал ушами ). Правильно будет 0/1/2

Нет, неправильно. Я намеренно не называл объекта, теперь называю - это колер, созданный смешиванием красок. Если среди базовых красок есть зависимость, то говорить об интенсивности красок в колере бессмысленно - эту мысль и хотел донести PAV.
Чтобы придать ей смысл, нужно один из цветов убрать и интенсивность задавать в терминах оставшихся цветов, но тогда возникает некоторое затруднение, преодоление которой потребует факторизации по некоторой эквивалентности и выльется во введение отрицательных интенсивностей. Например, если мы выберем за базис краски B и C, то 3:2:1 ~ 0:-1:-2.
Заметим, что умножать последнее на -1 бессмысленно - в нашей модели эквивалентность не выдерживает такого действия.

Добавлено спустя 1 час 40 минут 28 секунд:

Кстати, аналогичная картина возникает при введении отрицательных чисел - выше шла речь о неоднозначности представления 3=3-0=7-4=...
Допустим, мы знаем, что такое неотрицательное целое число, и желаем расширить их множество до множества целых чисел, хотя не имеем пока никакого понятия об отрицательных числах.
Рассмотрим всевозможные пары $(a\ominus b)$, знак $\ominus $ здесь просто разделитель, вместо него можно было взять знак вычитания, но пока опасаюсь это делать. Внешние скобки в парах буду опускать.
На множестве пар вводим операции сложения и умножения
$a\ominus b + a\ominus b'=a+b\ominus a'+b'$
$a\ominus b \cdot a'\ominus b'=aa'+bb'\ominus ab'+ba'$
Легко проверить, что получится ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей.
Теперь на этом кольце вводим отношение эквивалентности:
$a\ominus b \sim a'\ominus b' \Leftrightarrow a+b'=b+a'$
Это отношение разбивает кольцо на классы эквивалентности. Класс, содержащий элемент $x$ обозначим $\overline{x} $. Отношение $\sim $ выдерживает операции:
Если $x\sim x'$ и $y\sim y'$, то
$x + y \sim x'+y'$ и $x\cdot y\sim x'\cdot y'$,
то есть является конгруенцией на кольце.

Это позволяет определить операции сложения и умножения на классах эквивалентности:
$\overline{x} + \overline{y} = \overline{x+y}$
$\overline{x} \cdot \overline{y} = \overline{x\cdot y}$
В результате получается снова кольцо - аксиомы кольца таковы, что они выдерживают переход к классам. Это кольцо называется фактор-кольцом. При факторизации могут появиться делители нуля. Здесь этого не происходит.
Вот теперь мы и получим то, что и назовём кольцом целых чисел. Неотрицательное число n - это просто класс $\{n+i\ominus i : i=0,1, \dots \}$, а отрицательное -n -
$\{i\ominus n+i: i=0,1, \dots \}$

Добавлено спустя 12 минут 2 секунды:

Попробуйте аналогичным образом ввести рациональные числа исходя из целых. Вам потребуется рассмотреть пары $a/b$ целых чисел с положительным b и, вводя отношение эквивалентности на парах, превратить кольцо пар в поле, элементами которого будут классы $\overline{a/b}$. Класс, в котором содержится элемент $a/b$ мы и обозначим $\frac{a}{b}}$.

[AD]

STilda писал(а):

Да, так вот )), вопрос остался такой. Как ввести понятие сопряженного числа в системе1?

Ну я бы поменял местами коэффициенты при $B$ и $C$. Тем более что это соответствует комплексному сопряжению при изоморфизме

[PAV]

На самом деле я хочу отметить, что теперь подход STilda вполне корректен. Из всех возможных способов записи одного т-числа каноническим объявляется такой, при котором все коэффициенты перед образующими неотрицательны и хотя бы один равен нулю. Такое представление всегда существует и единственно. Коэффициенты в таком представлении действительно можно назвать "интенсивностями признаков" $A,B,C$ и это будет корректно.

Впрочем, это же можно выразить и на языке комплексных чисел достаточно естественно. Мы рассматриваем на комплексной плоскости три вектора с углом 120 градусов между каждой парой. Лучи, содержащие эти вектора, разбивают всю плоскость на три одинаковые части. Для каждой точки мы берем ту часть, в которой эта точка лежит, и раскладываем ее по базису из двух векторов, которые эту часть образуют. Получается единственное представление с неотрицательными коэффициентами через два базисных вектора. Вполне себе нормально.

Разумеется, так вполне бывает, что две системы изоморфны, но при этом некоторые их свойства удобно брать из одного представления (и изучать там же), а некоторые - из другого. Но чтобы узнать, имеет ли это смысл или нет, необходимо начать выводить свойства системы из определений и аксиом. Пока что я никаких теорем и свойств не видел.

Сами по себе определения и аксиомы мало кого интересуют. Интерес возникает тогда, когда на этой основе удается построить богатую теорию... ну ладно с богатой, сейчас - хоть бы какую теорию. Посмотрите, скажем, любой учебник по теории групп. Определений и аксиом там на половину страницы, а затем идут многие и многие разделы исследований. Собственно, простейшие следствия начинаются сразу - насчет единственности нейтрального элемента, единственности обратного элемента, ну и так далее.

До тех пор, пока Вы не перейдете к этомы этапу, трудно понять, насколько Ваши определения и аксиомы хороши. Если уподобить математическое исследование путешествию, где в одних случаях открываются новые земли, а в других - исследуются уже существующие, то формулировка определений и аксиом будет подобна сбору багажа в дорогу. Пока не получено хотя бы одно следствие - Вы еще сидите дома и шагу не сделали за порог. Начните идти, возможно, окажется, что багаж укакован настолько неудачно, что с ним толком вообще никуда дойти нельзя. Тогда придется возвращаться к началу, переупаковывать и начинать путь заново. Многие, однако, считают, что только лишь упаковав свой багаж каким-нибудь необычным способом, они уже вроде как совершили свое необычное путешествие, и готовы уже писать мемуары об этом.

Мне не очень нравится, как сформулированы Ваши аксиомы. Как раз потому, что я пытаюсь сразу что-то из них попробовать вывести и не очень понимаю, как использовать аксиомы в этом выводе. Скажем, из аксиом не понятно, как оперировать со "взаимодействием полярностей", что это вообще такое. Это операция (если да, то к чему она применяется и сколько у нее аргументов) или что-то другое? Пока это не обозначено более четко, под "взаимодействием" можно понимать все, что угодно, а тогда это не несет в себе никакой информации. Примерно как аксиома: "Существуют зюзики". Как по-Вашему можно использовать эту аксиому в рассуждениях?

Далее, Вы же не только с одними полярностями работать будете, наверное. Вы будете работать с объектами, в каждом из которых каждая полярность выражена с некоторой неотрицательной интенсивностью. Но об этом ничего не сказано. Вообще как-то пропущен важнейший этап описания теории - формулировка того, какие множества объектов Вы будете рассматривать.

Вообще не зря одной из лучших вершин применения аксиоматического метода считается геометрия Евклида. Я бы рекомендовал взять любую книжку по основаниям этой геометрии и посмотреть, как там все сделано. Скажем есть аксиома: "На любой прямой лежит хотя бы одна точка". Сразу видно, что в эту аксиому на самом деле входят три сущности: "прямая", "точка" и "лежать на". Ни одна из них не должна предполагаться априорно известной или "понятной и очевидной", они должны быть ранее введены. И действительно, в самом начале произносятся следующие слова: "Считается заданным некоторое множество неопределяемых объектов, которые будут называться точками, и некоторое множество объектов, которые будут называться прямыми. Для них считается заданным некоторое неопределяемое отношение принадлежности, т.е. для каждой точки и каждой прямой известно, принадлежит ли данная точка данной прямой, или нет." Ну и далее все в таком же духе.

Обратите внимание, что аксиомы обычно утверждают что-то о свойствах рассматриваемых объектов и отношений между ними, а сами эти объекты и отношения обозначаются еще раньше.

Пока что по моему субъективному мнению ничего особенно революционного и принципиально нового в Ваших системах не видно. Все это по духу вполне укладывается в те общие алгебраические построения, которые уже изучены. Но еще раз - поскольку никаких следствий у Вас пока не видно, то рассуждать о "новизне" не очень получится. Как сравнивать то, что есть, с тем, чего еще нет?