Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[STilda]

AD писал(а):

Я очень тривиальный факт утверждаю: "система 1" изоморфна в понятном смысле комплексным числам

С этим я согласен, да.

AD писал(а):

Я вот что имею ввиду: Если вы понимаете, что происходит, то это и означает, что вам ничего не стоит объяснить это на языке математики. А если сами не понимаете, то, конечно, описать не сможете.

Согласен. Понять - это значит вывести в определенной системе аксиом мышления. Если в абстрактном оперировании взять совместимую с мыслительной систему аксиом, значит можно описать. Просто вы называете математикой любое абстрактное оперирование, и не концентрируетесь, как я, на том, что некоторое потому и нельзя понять и описать текущей математикой, что есть недостаток различных систем аксиом.

AD писал(а):

Дело в том, что для определения синуса алгебраических операций не достаточно, поэтому требую от вас пояснений.

Ну можно взять не синус, пусть будет полином какой-нибудь. А если синус, тогда давайте возьмем за определение $sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-....$, или так не имеем права? Да, я неявно предположил что $A$ и $B$ поля чисел, этого достаточно?

Добавлено спустя 9 минут 22 секунды:

И вообще, разве неправильно говорить про адекватность переноса названий функций $f:A\mapsto A$ на названия функций $g:B\mapsto B$, если между ними есть изоморфизм?

Добавлено спустя 4 минуты 3 секунды:

Ведь изоморфизм будет означать одинаковость записи этих функций (с точностью до переобозначений).

[AD]

STilda писал(а):

А если синус, тогда давайте возьмем за определение $sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-....$, или так не имеем права?

В том-то и дело, что значек $....$ означает сходимость ряда в каком-то смысле. А это уже не алгебраическое понятие. Это уже идет топология всякая там. Поэтому и надо понять, что за такие множества $A$ и $B$ нам даны, и в каком смысле изоморфизм понимается.

STilda писал(а):

Да, я неявно предположил что $A$ и $B$ поля чисел, этого достаточно?

Это странно. Числовых полей мало, а тех, на которых определен синус - еще меньше. Между ними не так много изоморфизмов, чтобы о чем-то говорить. Скажем, действительные числа - это единственное полное архимедово упорядоченное поле. Нетривиальных автоморфизмов, сохраняющих эти структуры, у него нет. У комплексных чисел единственный автоморфизм - комплексное сопряжение. Здесь все понятия переносятся "вручную", без применения глубокой теории. Просто мы решили назвать синусом комплексного числа аналитическое продолжение действительного синуса - это такой одноразовый акт, не обобщающийся дальше на абстрактные структуры. Сказать, что такое синус в системе 327, из этих определений нельзя.

STilda писал(а):

И вообще, разве неправильно говорить про адекватность переноса названий функций $f:A\mapsto A$ на названия функций $g:B\mapsto B$, если между ними есть изоморфизм?

Главное, чтобы у функции $g$ уже не было общепринятого названия. Можно сказать так: "$g$ играет роль $f$ в структуре $B$". Изоморфизм как раз не занимается переносом названий. Он как раз позволяет забить на названия.

STilda писал(а):

Просто вы называете математикой любое абстрактное оперирование, и не концентрируетесь, как я, на том, что некоторое потому и нельзя понять и описать текущей математикой, что есть недостаток различных систем аксиом.

Фактически, сейчас система аксиом только одна. На всю математику. Это теория множеств. Все остальное - конкретные объекты, которые строятся из материала, предоставляемого теорией множеств. Когда мы говорим, что "группа задается системой аксиом 1--4", мы на самом деле говорим, что фраза "если $G$ - группа, то ..." теперь будет значить "если $G$ обладает свойствами 1--4, то ...". Это не аксиомы, а просто сокращение формулировок, переобозначения. А чтобы эта фраза стала осмысленной, нужно привести пример группы, то есть построить множество, для которого выполнены свойства 1--4. Еще раз: построить множество. Из материала теории множеств.
Ну и вот я утверждаю, что теории множеств достаточно для описания всего чего угодно. А числовых полей, конечно, может быть недостаточно. Это, конечно, вопрос философский и дискуссионный, но, повторю, я еще контрпримеров не видел.

[STilda]

AD писал(а):

Фактически, сейчас система аксиом только одна. На всю математику. Это теория множеств. Все остальное - конкретные объекты, которые строятся из материала, предоставляемого теорией множеств.

Хорошо, тогда такой вопрос: теория множеств использует аксиомы логики высказываний, логики первого порядка? Какое соотношение между аксиомами логики и аксиомами теории множеств? Что из чего выводится, или, что на что опирается? По-моему теория множеств опирается на аксиомы логики.

Добавлено спустя 43 минуты 56 секунд:

Цитата:

Это странно. Числовых полей мало, а тех, на которых определен синус - еще меньше. Между ними не так много изоморфизмов, чтобы о чем-то говорить. Скажем, действительные числа - это единственное полное архимедово упорядоченное поле. Нетривиальных автоморфизмов, сохраняющих эти структуры, у него нет.

Да, да. Хорошо. Но я не рассматриваю только автоморфизмы. Например, я могу взять С1 - комплексные числа, С2 - измененные комплексные числа таким образом, что $(i,-,-i,+)$ теперь обозначается как $(-,i,-i,+)$ соответственно. Тоесть поменял обозначения, но оставил поведение прежнее. В С2 будет $-*-=i,i*i=+,(-i)*(-i)=i...$ и $(-)+(-i)=0,(i)+(+)=0,...$. С1 и С2 изоморфны (так как совпадают с точностью до обозначений). Но я их рассматриваю во взаимосвязи, потому не отождествляю а рассматриваю как две разные. Если в С1 синусу соответствует $sin_{C1}(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...$, то в С2 синусу соответствует $sin_{C2}(x)=x+ix^3/3!+x^5/5!+ix^7/7!+...$. В С2 будет выполняться $sin_{C2}(x)^2+cos_{C2}(x)^2=1$. Но что если объект реальности живет в системе C1 а мы его изучаем с помощью C2. С1 и С2 системы одинаковые. Но для С2 имеем, что $sin_{C1}(x)^2+cos_{C1}(x)^2 \ne 1$. Тоесть поменяли точку зрения - поменялись законы, объекты сами по себе остались теже самые.
(Ну это все так, я иногда просто вот такие "превращения" рассматриваю, для себя.)

Добавлено спустя 6 минут 49 секунд:

AD писал(а):

Можно сказать так: "$g$ играет роль $f$ в структуре $B$". Изоморфизм как раз не занимается переносом названий. Он как раз позволяет забить на названия.

Ага, я понял. Такие переносы объектов из одной структуры $A$ в другую структуру $B$, с помощью изоморфизма, по-моему, соответствуют переносам и отождествлениям объектов по аналогиии (для нашего мышления).

[AD]

STilda писал(а):

теория множеств использует аксиомы логики высказываний, логики первого порядка?

Да, по-моему, тоже. Только я так глубоко не копал, собсно я вообще в этой области не разбираюсь ))), это у кого-то еще надо спросить, а я так, что вижу то и говорю. Средневзятый математик не помнит наизусть аксиомы ZFC, а логику вообще считает темным лесом. Фактически, всем хватает наивной теории множеств.

Я просто хочу сказать, что на аксиомы грех жаловаться. Они на удивление удачны, то есть позволяют выразить все что надо, и никого не ограничивают.

Добавлено спустя 6 минут 53 секунды:

STilda писал(а):

Если в С1 синусу соответствует $sin_{C1}(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...$, то в С2 синусу соответствует $sin_{C2}(x)=x+ix^3/3!+x^5/5!+ix^7/7!+...$.

Почему? Из каких соображений? "по аналогии"?

STilda писал(а):

Ага, я понял. Такие переносы объектов из одной структуры $A$ в другую структуру $B$, с помощью изоморфизма, по-моему, соответствуют переносам и отождествлениям объектов по аналогиии (для нашего мышления).

Вот опасно понимать это до такой степени неформально. Понимать надо через осмысление вышеупомянутой коммутативной диаграммы.

STilda писал(а):

Но для С2 имеем, что $sin_{C1}(x)^2+cos_{C1}(x)^2 \ne 1$.

А почему должно быть равенство? Ведь, для начала, 1 -- это уже не 1.

Понимаете, изоморфизм это не просто слово такое красивое, все эти штуки надо обосновывать, ведь вы не пользуетесь готовыми структурами, для которых это заведомо верно. Это у вас не изоморфизм полей, а изоморфизм какой-то еще структуры.

Добавлено спустя 6 минут 57 секунд:

Я писал(а):

Ведь, для начала, 1 -- это уже не 1.

Так, нет, тут вроде как раз правильно. "плюс" у вас остается на месте.

Добавлено спустя 6 минут 24 секунды:

Тут дело вот в чем.

STilda писал(а):

Но что если объект реальности живет в системе C1 а мы его изучаем с помощью C2.

То есть вы фактически одновременно рассматриваете две структуры на одном множестве.

STilda писал(а):

С1 и С2 системы одинаковые.

Неверно. Вы все запутали. Потому что не надо так все мешать. Собственно, главный вопрос - про синус: почему так?

STilda писал(а):

Но я не рассматриваю только автоморфизмы.

А принципиально другого там ничего и нет. У вас странное представление об операциях (какие-то плюсы и минусы отдельно, которые еще как-то компенсируются), поэтому вы рассматриваете, вообще говоря, другие структуры.

Добавлено спустя 2 минуты 48 секунд:

STilda писал(а):

Но для С2 имеем, что $sin_{C1}(x)^2+cos_{C1}(x)^2 \ne 1$.

Ну короче это то же самое, что определить вместо синуса какой-нибудь зюнус, причем совсем по другой формуле, а потом обнаружить, что для него не выполняется основное тригонометрическое тождество.

[Someone]

STilda писал(а):

AD писал(а):

Фактически, сейчас система аксиом только одна. На всю математику. Это теория множеств. Все остальное - конкретные объекты, которые строятся из материала, предоставляемого теорией множеств.

Хорошо, тогда такой вопрос: теория множеств использует аксиомы логики высказываний, логики первого порядка? Какое соотношение между аксиомами логики и аксиомами теории множеств?

Я бы поостерёгся утверждать, что используется один набор аксиом на всю математику. Даже в теории множеств это не совсем так, а есть ещё теория категорий.
Что касается логических аксиом, то они всегда включаются в формализованную математическую теорию. Без логики делать будет нечего. Но обычно логические аксиомы при аксиоматизации теории явно не упоминаются, и, когда говорят об аксиомах теории, имеют в ввиду не логические аксиомы, а именно специфические для данной теории. Явное указание логических аксиом и правил вывода может потребоваться, если теория использует нестандартную логику.

[AD]

Спасибо Someone!, да, что-то я такое слышал, есть ZFC, есть NBG, ...

Конечно, слишком сильно я загнул, что всего одна аксиоматика. Но по большому счету все равно ведь дальше наивной теории множеств мало кто заходит, да? В изысканиях STildы в ближайшее время, я думаю, это все точно не потребуется.

[STilda]

AD писал(а):

Я просто хочу сказать, что на аксиомы грех жаловаться. Они на удивление удачны, то есть позволяют выразить все что надо, и никого не ограничивают.

Согласитесь, принципиально любая система аксиом ограничивает. Например, утверждение может быть либо истинным либо ложным, третьего не дано. Это разве не ограничение? Другое дело, в чем я согласен с Вами, пока на практике "не тесно", эти ограничения никому не мешают. Но появляются же парадоксы типа "я лжец", выражения, которые не поддаются класификации на истинность-ложность. Это, по-моему, и означает, что уже "тесно".

AD писал(а):

STilda писал(а):

Если в С1 синусу соответствует $sin_{C1}(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+...$, то в С2 синусу соответствует $sin_{C2}(x)=x+ix^3/3!+x^5/5!+ix^7/7!+...$.

Почему? Из каких соображений? "по аналогии"?

Если я вам приподнесу сначала С1, а потом заберу С1 и приподнесу С2, то вы скажите что это две одинаковые системы. Ведь они отличаются только обозначениями и ничем больше! Функция $sin_{C2}(x)$ в С2 будет вести себя абсолютно точно так же как и $sin_{C1}(x)$ в С1. Вся математика на С1 будет такая же как математика на С2. Но только пока они рассматриваются поочереди.

AD писал(а):

Вот опасно понимать это до такой степени неформально. Понимать надо через осмысление вышеупомянутой коммутативной диаграммы.

Тогда рискую на практику никогда не вылезти. Диаграмма с распознаванием речи связана абсолютно тайной связью.

AD писал(а):

STilda писал(а):

Но для С2 имеем, что $sin_{C1}(x)^2+cos_{C1}(x)^2 \ne 1$.

А почему должно быть равенство?

Ну да, равенства не должно быть.

AD писал(а):

Это у вас не изоморфизм полей, а изоморфизм какой-то еще структуры.

Почему не полей? По-моему, обычный изоморфизм полей.

AD писал(а):

Я писал(а):

Ведь, для начала, 1 -- это уже не 1.

Так, нет, тут вроде как раз правильно. "плюс" у вас остается на месте.

Да.

AD писал(а):

То есть вы фактически одновременно рассматриваете две структуры на одном множестве.

Можно и так сказать. Если я их рассматриваю одновременно две. Они у меня построены на одних и тех же базисных елементах $i,-,-i,+$. (тоесть $i1,-1,-i1,+1$)

AD писал(а):

STilda писал(а):

С1 и С2 системы одинаковые.

Неверно.

Если их рассматривать по отдельности одна от другой - вы разницы не обнаружите. Разница в обозначениях - не считается. А если одновременно две - обнаружите, ибо несовпадение в обозначениях приведет к несовпадению в законах. И даже больше. К набору противоречивых законов. Потому, непротиворечиво объединить С1 и С2 на одном множестве не получится. Это при условии одинаковой сигнатуры. А Если сигнатура разная, то это никакое не объединение.

AD писал(а):

STilda писал(а):

Но я не рассматриваю только автоморфизмы.

А принципиально другого там ничего и нет.

Ну как. Я рассматриваю два изоморфных поля одновременно, "поставив их рядом". Вы их отождествляете по изоморфизму, и у вас он становится автоморфизмом. Так же? Или нет? Ну а я не отождествляю. У меня две системы. Как прямое изображение и зеркальное его отражение. Изоморфны, но отличаются, если посмотреть на два сразу.

AD писал(а):

У вас странное представление об операциях (какие-то плюсы и минусы отдельно, которые еще как-то компенсируются), поэтому вы рассматриваете, вообще говоря, другие структуры.

Те плюсы и минусы, которые отдельно - это положительная и отрицательная единица, а не операции сложения и вычитания. Вот записи одного типа: $i+(-i)=0$, $(+)+(-)=0$, $i1+(-i1)=0$, $(+1)+(-1)=0$. Так что по этой части, кажется, нет никаких других структур.

AD писал(а):

Ну короче это то же самое, что определить вместо синуса какой-нибудь зюнус, причем совсем по другой формуле, а потом обнаружить, что для него не выполняется основное тригонометрическое тождество.

Типа того, только не какой попало зюнус, а тот же самый но пришедший из изоморфной системы.

Someone писал(а):

Что касается логических аксиом, то они всегда включаются в формализованную математическую теорию. Без логики делать будет нечего.

Someone писал(а):

Явное указание логических аксиом и правил вывода может потребоваться, если теория использует нестандартную логику.

Тут я согласен. И хотел это и подчеркнуть. А есть механизм доказательства того, что два набора правил вывода - разные ("не изоморфные", дают разные возможности)?

Добавлено спустя 2 минуты 35 секунд:

AD писал(а):

В изысканиях STildы в ближайшее время, я думаю, это все точно не потребуется.

Да, в моих изысканиях потребуются новые правила вывода, оперирования, и построенные на них системы чисел. ).

Добавлено спустя 8 минут 34 секунды:

О, приведу еще похожую трасформацию. Число "123" в десятичной системе и число "123" в восьмеричной системе. На вид - одно и тоже, но смотря глазами какой системы смотреть - получим разные объекты.
И можно говорить в некотором смысле про то, что "9" в десятичной системе и "11" в восьмеричной - это один и тот же объект.

[AD]

STilda писал(а):

Почему не полей?

По определению изоморфизма полей. У вас операции не сохраняются. Скажем, у вас $i\cdot i=-1$, но при этом $\varphi(i)\cdot\varphi(i)=(-1)\cdot(-1)=1=\varphi(1)\neq\varphi(-1)$, где через $\varphi$ я обозначил ваше отображение. Собственно, я вас уже предупреждал, что единственный автоморфизм - это комплексное сопряжение.

Почему я ограничиваюсь автоморфизмами? Еще раз, знание автоморфизмов - это фактически знание ответа на вопрос "какими способами можно установить изоморфизм между двумя данными изоморфными структурами?".

STilda писал(а):

Например, утверждение может быть либо истинным либо ложным, третьего не дано. Это разве не ограничение?

STilda писал(а):

Но появляются же парадоксы типа "я лжец", выражения, которые не поддаются класификации на истинность-ложность. Это, по-моему, и означает, что уже "тесно".

Вам это сильно мешает? Мне лично приятнее думать, что так и должно быть.

STilda писал(а):

Тогда рискую на практику никогда не вылезти.

Грустно, что вы так себя самоограничиваете. Хуже всяких аксиом. Определения по специальности знать надо. Мне вот они совсем не по специальности, но я же знаю ... Там все очень естественно. Начните уж с определения гомоморфизма, что ли.

STilda писал(а):

Типа того, только не какой попало зюнус, а тот же самый но пришедший из изоморфной системы.

STilda писал(а):

О, приведу еще похожую трасформацию. Число "123" в десятичной системе и число "123" в восьмеричной системе.

Да, согласен, это примеры примерно одинаковой глубины мысли. Ищешь слово русского языка, написанное транслитом, в англо-русском словаре, и сравниваешь перевод с исходным. Можно проделать несколько раз кстати - это уже прям итерации преобразований пошли ...

[STilda]

AD писал(а):

По определению изоморфизма полей. У вас операции не сохраняются. Скажем, у вас $i\cdot i=-1$, но при этом $\varphi(i)\cdot\varphi(i)=(-1)\cdot(-1)=1=\varphi(1)\neq\varphi(-1)$, где через $\varphi$ я обозначил ваше отображение.

Неправда, я писал выше, что

STilda писал(а):

В С2 будет $-*-=i,i*i=+,(-i)*(-i)=i...$ и $(-)+(-i)=0,(i)+(+)=0,...$

поэтому $\varphi(i)\cdot\varphi(i)=(-1)\cdot(-1)=i=\varphi(-1)$. Если уточнить для большей понятности, то нужно бы в цитате записать вот так: $-*_{C2}-=i,i*_{C2}i=+,(-i)*_{C2}(-i)=i...$ и $(-)+_{C2}(-i)=0,(i)+_{C2}(+)=0,...$. Тоесть, в С2 свои собственные сложение и умножение. (Потому автоморфизм С1 <-> C2 тут не при чем).

AD писал(а):

Еще раз, знание автоморфизмов - это фактически знание ответа на вопрос "какими способами можно установить изоморфизм между двумя данными изоморфными структурами?".

С трудом верится, если честно.

Вообще, автоморфизм появится, если в С1 и С2 сделать отождествление вида $-_{C1}=i_{C2},i_{C1}=-_{C2}$. Конечно, в случае С1 и С2 это не будет автоморфизм, потому что такое отождествление не соответствует сопряжению.

AD писал(а):

Вам это сильно мешает? Мне лично приятнее думать, что так и должно быть.

Я тоже думаю, что так и должжно быть. В данной аксиоматике. Не мешает, но увидеть, как смена аксиом снимет этот парадокс, мне интересно. (Если так правильно выражаться)

AD писал(а):

Это примеры примерно одинаковой глубины мысли.

Ага, только по-моему они имеют значение. Потому, что между физической реальностью и абстрактной ее моделью есть разрыв. И "видим" мы в реальности просто "123", а дальше уже делаем предположение, что пусть это десятичное число, и пошли изучать законы с позиций десятичной системы... но могли предположить, что это восьмеричное число и понавыводить законов реальности с позиций восьмеричной системы.

P.S. Не беспокойтесь, определения морфизмов я способен понять.

[AD]

STilda писал(а):

Неправда, я писал выше, что ...

Таааак, я не прав. Вы меня переспорили. Да, есть изоморфизм.
Только про его "глубокий смысл" я пока не отступаю.

STilda писал(а):

И "видим" мы в реальности просто "123", а дальше уже делаем предположение, что пусть это десятичное число, и пошли изучать законы с позиций десятичной системы...

Некоторые в таких случаях просто пишут $123_{10}$. Согласен, из записи "123" вам не обязано быть видно, что написано десятичное число. Однако вывести из этого какие-то законы реальности я пока воздержусь, ладно? Дело в том, что в реальности чаще всего не числа написаны, а лишь их работа видна. То есть не стоит задача "дана запись числа, найти, в какой она системе", а стоит задача "узнать, что же это все-таки за число там написано, причем не важно, в какой системе выдать ответ". Короче, не понял вас.

STilda писал(а):

Не мешает, но увидеть, как смена аксиом снимет этот парадокс, мне интересно.

Интересно - это да. Почему "парадокс"? Нет, ну да, есть там всякие другие логики.

Да, и еще одна вроде бы невысказанная в этой теме мысль по поводу аксиом. Тут, сами понимаете, свобода - это осознанная необходимость. Когда аксиом много - это ограничивает. А когда аксиом мало, так вы и доказать ничего не сможете.

STilda писал(а):

AD писал(а):

Еще раз, знание автоморфизмов - это фактически знание ответа на вопрос "какими способами можно установить изоморфизм между двумя данными изоморфными структурами?".

С трудом верится, если честно.

Ну доказываю. Фиксируем две структуры $A$ и $B$, и пусть $f_0:A\to B$ и $f_1:A\to B$ - два изоморфизма. Тогда $f=f_1\circ f_0^{-1} :B\to B$ есть автоморфизм структуры $B$. Таким образом, $f_1=f\circ f_0$, то есть $f_1$ представлен в виде композиции изоморфизма $f_0$ и автоморфизма $f$. Ясно, что $f_1$ может быть любым, то есть все изоморфизмы из $A$ в $B$ представляются в виде композиции некоторого фиксированного изоморфизма $f_0$ и какого-то автоморфизма $f$. Очевидно, верно и обратное: если $f$ - автоморфизм $B$, а $f_0:A\to B$ - изоморфизм, то $f_1=f\circ f_0:A\to B$ - тоже изоморфизм $A$ и $B$. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между автоморфизмами $B$ и изоморфизмами $A$ на $B$, что и требовалось доказать. Замечание: из симметрии ясно, что можно установить взаимно однозначное соответствие и между автоморфизмами $A$ и изоморфизмами $B$ на $A$, а можно и между автоморфизмами $A$ и изоморфизмами $A$ на $B$, при небольших поправках в рассуждении.

[tolstopuz]

AD писал(а):

Таааак, я не прав. Вы меня переспорили. Да, есть изоморфизм.

Но тогда при вычислении синуса в C2 надо брать не только сложение и умножение, но и топологию, унаследованную от C1 (ведь собственная топология C2 не согласуется с унаследованными от C1 сложением и умножением). А это значит, что синусы в C1 и C2 совпадут, что лишний раз подтверждает тот факт, что простым переобозначением суть законов изменить нельзя.

[STilda]

AD писал(а):

Согласен, из записи "123" вам не обязано быть видно, что написано десятичное число. Однако вывести из этого какие-то законы реальности я пока воздержусь, ладно? ... То есть не стоит задача "дана запись числа, найти, в какой она системе", а стоит задача "узнать, что же это все-таки за число там написано, причем не важно, в какой системе выдать ответ". Короче, не понял вас.

Всегда стоит задача описания явления, создания модели явления.
Я имел ввиду, что для существования закона необходима какая-то система, на языке которой он будет выражен. Меняем систему - меняется закон. И, пока что бездоказательно, утверждаю, что есть законы в одной системе Х, которые невозможно выразить на языке другой системы У.

AD писал(а):

Да, и еще одна вроде бы невысказанная в этой теме мысль по поводу аксиом. Тут, сами понимаете, свобода - это осознанная необходимость. Когда аксиом много - это ограничивает. А когда аксиом мало, так вы и доказать ничего не сможете.

Согласен согласен. Я не против систем аксиом. И рассматриваю, как они между собой соотносятся.

AD писал(а):

Ну доказываю. ...

Ааа, ну если вы это имели ввиду, тогда соглашаюсь.

tolstopuz писал(а):

Но тогда при вычислении синуса в C2 надо брать не только сложение и умножение, но и топологию, унаследованную от C1 (ведь собственная топология C2 не согласуется с унаследованными от C1 сложением и умножением)

Ну, топологию наверно тоже нада согласовать. А что значит собственная топология?

AD писал(а):

Только про его "глубокий смысл" я пока не отступаю.

Пока что без ответа... ). Получается, две равноправные системы и не совместимые.

[AD]

STilda писал(а):

И, пока что бездоказательно, утверждаю, что есть законы в одной системе Х, которые невозможно выразить на языке другой системы У.

С этим я соглашусь даже без доказательства . Только к системам в этом примере - к системам исчисления - это заведомо не относится, потому что они взаимно одна через другую выражаются.

STilda писал(а):

Ааа, ну если вы это имели ввиду, тогда соглашаюсь.

А вы что думали? Неужели я так неясно выражаюсь

STilda писал(а):

Получается, две равноправные системы и не совместимые.

В смысле - "не совместимые"? Ну как вам еще объяснить ... ну вот в семеричной системе исчисления не выполняется известный признак делимости на два. Следует ли из этого, что семиричная система не совместима с десятичной? В каком точном смысле вы "несовместимость" понимаете?

[STilda]

AD писал(а):

В каком точном смысле вы "несовместимость" понимаете?

Наверно в том, что на множестве элементов $\{+1,-1,+i,-i,0\}$ ввести множество операций $\{+_{C1},*_{C1},+_{C2},*_{C2}\}$ непротиворечиво не получится. Тоесть либо играем по одним правилам - С1, либо по другим - С2. Можем только прыгать туда сюда. Причем есть вероятность, что при рассуждениях можем незаметно для себя перепрыгнуть с С1 на С2, ввиду их изоморфности. (Кажется, именно такими незамеченными перепрыжками в наших рассуждениях Ленский объясняет появление парадоксов.)

AD писал(а):

А вы что думали? Неужели я так неясно выражаюсь

Ну, я сразу не распознал, что под

Цитата:

Еще раз, знание автоморфизмов - это фактически знание ответа на вопрос "какими способами можно установить изоморфизм между двумя данными изоморфными структурами?"

понимается уже наличие хотя бы одного изоморфизма, и недоверчиво отнесся к тому, что кроме автоморфизмов больше ничего не нужно.

AD писал(а):

Только к системам в этом примере - к системам исчисления - это заведомо не относится, потому что они взаимно одна через другую выражаются.

Вот именно, что выражаются, и потому, что построены по сходным принципам. А я хочу такую систему, чтоб не выражалась она через данные.
Не понимаю, почему вы считаете, что невозможно в рамках систем исчисления, но возможно в неких других системах?

Добавлено спустя 3 минуты 26 секунд:

AD писал(а):

С этим я соглашусь даже без доказательства

А пример привести можете?

[AD]

STilda писал(а):

Не понимаю, почему вы считаете, что невозможно в рамках систем исчисления, но возможно в неких других системах?

Не понимаю, почему вы считаете, что я так считаю? Я ваш пример разбирал.

STilda писал(а):

на множестве элементов $\{+1,-1,+i,-i,0\}$ ввести множество операций $\{+_{C1},*_{C1},+_{C2},*_{C2}\}$ непротиворечиво не получится.

Получится. Почему бы и нет? Только вы еще при этом хотите от этих операций какой-то хитрой связи, типа чтобы синус, построенный исходя из операций C2, удовлетворял основному тригонометрическому тождеству, в котором участвуют операции из С1, а такого, конечно, уже может и не быть. Да, и уточнение: операции, я так понимаю, вы вводите не на $\{+1,-1,+i,-i,0\}$ а все-таки на $\mathbb{C}$ наверное, да?.

STilda писал(а):

А пример привести можете?

Ну здесь за точной формулировкой надо бы обратиться к кому-то более умному в логике, но ясно, что если система Y настолько тупая, что на ее языке вообще ничего нельзя выразить, то любая строго менее тупая система Х подойдет. Ну а дальше можно искать промежуточные положения.