Доказательство теоремы Кантора некорректно

[Мастак]

имхо и доказательство теоремы Кантора, которое обычно "втюхивается"
студентам, аналогично некорректно




также как и в приводимых в топике "выкладках" из "внутренностей" бесконечного выделяется бесконечное и потом, рассуждая в "конечных" категориях, приходят к "чудесам"

Deggial: отделено от Сумма всех натуральных чисел

[Мастак]

Цитата:

Deggial: отделено от Сумма всех натуральных чисел

Не хотелось быть настолько категоричным, хотя впрочем ветка
форума - дискуссионная.
В общем "некорректность" тоже надо корректно доказывать.
А мне пока видятся только только некорректные операции с "бесконечностями" (может быть пока не настолько явные как, например, "деление на ноль").

[Someone]

Эта тема надоела уже до чёртиков. Сколько тут было безграмотных опровергателей теоремы Кантора — не перечислить. Должно быть, несчитанное множество.

Вы хотя бы определения-то знаете?

[Мастак]

Someone в сообщении #821851 писал(а):

Эта тема надоела уже до чёртиков. Сколько тут было безграмотных опровергателей теоремы Кантора — не перечислить. Должно быть, несчитанное множество.

Вы хотя бы определения-то знаете?

Вам что - нужно учебник по общей топологии распечатать перед тем, как
спросить?

PS Если считаете, что всё корректно, а топик - чушь, как и топик "Сумма всех натуральных чисел", ну и ладно.

А за совет - еще раз перечитать и подумать - честное спасибо, так как никогда не лишнее. 8)

[Someone]

Мастак в сообщении #821855 писал(а):

Вам что - нужно учебник по общей топологии распечатать перед тем, как
спросить?

А Вы ничего и не спросили. Вы только объявили доказательство некорректным.

Мастак в сообщении #821812 писал(а):

имхо и доказательство теоремы Кантора, которое обычно "втюхивается"
студентам, аналогично некорректно

А учебник нужен не по общей топологии, а по теории множеств.

[iifat]

Мастак в сообщении #821825 писал(а):

В общем "некорректность" тоже надо корректно доказывать

Таки ж золотые слова, имхо, достойные быть выбитыми на скрижалях. На любых скрижалях. И лучше б — вместе с автором.
Ну и где, простите?

[Мастак]

Someone в сообщении #821857 писал(а):

Мастак в сообщении #821855 писал(а):

Вам что - нужно учебник по общей топологии распечатать перед тем, как
спросить?

А Вы ничего и не спросили. Вы только объявили доказательство некорректным.

Мастак в сообщении #821812 писал(а):

имхо и доказательство теоремы Кантора, которое обычно "втюхивается"
студентам, аналогично некорректно

А учебник нужен не по общей топологии, а по теории множеств.

Ветка форума - "Дискуссии" же. Топики подразумевают сомнение.

Теорема Кантора в разных формулировках приводится и в учебниках по матану и др.

А эту я взял из "Верещагин, Шень Начала теории множеств".

И вообще в основном теорема Кантора формулируется как - "Никакое множество не равномощно множеству всех своих подмножеств".
(Вроде вполне резонно, но не для "бесконечностей").

И далее упоминают парадокс Кантора, связанный с представлением о множестве всех мыслимых множеств, где множество всех подмножеств множества всех мыслимых множеств само является мыслимым множеством.
И далее упоминается, что парадокс Кантора будто "решен", введением системы аксиом ZF.

В общем, уточняя, сомнение вызывает, так называемый, "диагональный метод Кантора" (или "процедура диагонализации Кантора" и т.п.) или
аксиома выделения (схема выделения и т.п.), используемая в доказательствах типа

.
PS Здесь схема выделения "используется" при определении, (имхо) абсурдном, если бы не упоминаемая схема, множества A.

Похоже, что почти все (за вообще все говорить некорректно) формулировки и
доказательства "Теоремы Кантора" используют либо "диагональный метод Кантора" (оперируя "бесконечностями"), либо "аксиому выделения" -
$ \forall a \exist!c \forall b \ ( b \in c \leftrightarrow b \in a \ \land \ \Phi[b]\ )$ или словами "Из каждого множества можно выделить [по меньшей мере одно] подмножество c, высказав суждение $\Phi$ о каждом элементе b данного множества a", где в доказательствах суждением $\Phi$ является не что иное как "b не принадлежит c" ($b \notin c$).

[Someone]

Я не вижу никакого смысла в ваших сомнениях. Вы просто сомневаетесь, и только. Если Вы укажете конкретную ошибку в доказательстве, будет о чём говорить.

[Nemiroff]

Мастак в сообщении #821896 писал(а):

В общем, уточняя, сомнение вызывает, так называемый, "диагональный метод Кантора" (или "процедура диагонализации Кантора" и т.п.) или аксиома выделения (схема выделения и т.п.)

Чем вам аксиома выделения не угодила? Для формулы, определяющей свойство существует подмножество.

[warlock66613]

И потом, даже если доказательство основано на странной и (по каким-то причинам) неприемлимой аксиоме, доказательство от этого некорректным не становится ни в коем случае.

[Мастак]

Возьмем "Ильин, Садовничий, Сендов Математический анализ. Начальный курс.",
где имеется типичный образец применение "диагонального метода Кантора"



Вопрос простой: если мы записали ВСЕ (!) числа из интервала (0,1),
то как вообще мы смогли "записать" ЕЩЕ ОДНО ЧИСЛО, по определению, данному раньше, ИЗ ЭТОГО ЖЕ ИНТЕРВАЛА?
Какой еще ответ может быть, кроме такого, что мы строили это число
некорректно, то есть наши операции (а точнее операции "диагонального метода Кантора") при построении были некорректны?

[Xaositect]

Мастак в сообщении #821953 писал(а):

Вопрос простой: если мы записали ВСЕ (!) числа из интервала (0,1),
то как вообще мы смогли "записать" ЕЩЕ ОДНО ЧИСЛО, по определению, данному раньше, ИЗ ЭТОГО ЖЕ ИНТЕРВАЛА?

Это же и есть доказательство от противного. Мы предположили, что все числа можно записать, и из этого предположения вывели, что существует незаписанное число. Значит, предположение неверно.

[Мастак]

Xaositect в сообщении #821954 писал(а):

Мастак в сообщении #821953 писал(а):

Вопрос простой: если мы записали ВСЕ (!) числа из интервала (0,1),
то как вообще мы смогли "записать" ЕЩЕ ОДНО ЧИСЛО, по определению, данному раньше, ИЗ ЭТОГО ЖЕ ИНТЕРВАЛА?

Это же и есть доказательство от противного. Мы предположили, что все числа можно записать, и из этого предположения вывели, что существует незаписанное число. Значит, предположение неверно.

Вопрос не про это, а про то, как мы получаем это число - оно уже было,
а ПРОЦЕСС ПОСТРОЕНИЯ нашего числа НЕ ЗАВЕРШИТСЯ НИКОГДА.

То есть один субъект строит число, а другой предъявляет, заявляя, что оно уже есть.

[Xaositect]

Мастак в сообщении #821957 писал(а):

а ПРОЦЕСС ПОСТРОЕНИЯ нашего числа НЕ ЗАВЕРШИТСЯ НИКОГДА.

Ну, в таком случае у нас вообще не существует действительных чисел, потому что процесс выписывания всех цифр любого действительного числа никогда не завершится. Это, конечно, избавляет от необходимости думать о бесконечных множествах, но как-то уж слишком неудобно.

[Nemiroff]

Мастак в сообщении #821953 писал(а):

Вопрос простой: если мы записали ВСЕ (!) числа из интервала (0,1), то как вообще мы смогли "записать" ЕЩЕ ОДНО ЧИСЛО, по определению, данному раньше, ИЗ ЭТОГО ЖЕ ИНТЕРВАЛА?
Какой еще ответ может быть, кроме такого, что мы строили это число некорректно, то есть наши операции (а точнее операции "диагонального метода Кантора") при построении были некорректны?

Мням. А давайте так:
$\eqno (0.1)$ Пусть $X$ --- произвольное множество, $\mathcal{P}(X)$ --- множество всех подмножеств $X$.
$\eqno (0.2)$ Пусть $f$ --- биекция $X$ на $\mathcal{P}(X)$. Требуется доказать или опровергнуть её существование.
$\eqno (1)$ Пусть $Y = \{ x \in X : x \not\in f(x) \} $.
$\eqno (2)$ $f$ --- биекция, потому $Y = f(y)$ для некоторого $y \in X$.
$\eqno (3)$ Если $y \in Y$, то $y \in f(y)$ и $y \not\in Y$.
$\eqno (4)$ Если $y \not\in Y$, то $y \not\in f(y)$ и $y \in Y$.
$\eqno (5)$ Противоречие --- $f$ не существует.

Согласны с доказательством? Если есть ошибка --- в какой строке?