об уравнении Навье-Стокса

[DLL]

(Оффтоп)

Есть обобщения на случай скалярных нелинейных уравнений. Но что важно: не систем уравнений.
Потому что если конечно-разностная схема не наследует алгебраические свойства исходной системы ДУЧП, то она, даже если сходится к решению исходной системы ДУЧП, заведомо не аппроксимирует все пространство решений.

[Утундрий]

IAA в сообщении #819595 писал(а):

Колмогоров А.Н. Математические модели турбулентного движения несжимаемой вязкой жидкости// УМН, 2004, т.59, вып 1. (355)

Мог бы кто на пальцах растолковать о какой "турбулентной мере" идёт речь?

[Oleg Zubelevich]

видимо, о той, что и всегда. Поток Навье-Стокса имеет нетривиальную инвариантную меру, если эта мера единственна (с точностью до умножения на константу) то эту меру и этот поток называют турбулентными. Это все общая теория динамических систем.

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #820461 писал(а):

нетривиальную

В каком смысле?

[_serge]

А что такое поток Навье-Стокса?
Да, и алгебраические свойства исходной системы ДУЧП?

[Oleg Zubelevich]

Очень известная статья: George R. Sell Global attractors for the three-dimensional Navier-Stokes equations. Journal of Dynamics and Differential Equations. January 1996, Volume 8, Issue 1, pp 1-33

На компактном аттракторе можно ввести понятие инвариантной меры и попытаться доказать, что она существует. Хотя бы одна мера существует по теореме Боголюбова, но у нее могут быть "плохие" динамические свойства. Аттрактор состоит из сильных решений, поэтому проблем с единственностью не возникает и поток (полугруппа в смысле) определен. Невырожденность меры означает, что она не равна нулю
Если другой независимой инвариантной меры нет, то поведение системы на аттракторе естественно назвать эргодическим. Поскольку решения в целом притягиваются к аттрактору, то они вынуждены с какого -то момента повторять поведение решений на аттракторе. Поэтому про систему в целом можно сказать, что она хаотична.
Другим источником хаоса может быть , скажем, сложная геометрия аттрактора ,дробная размерность, например.
Общая философия.

[IAA]

shwedka писал(а):

Не нужен полный список.
Укажите две или три работы, где бы по Вашей схеме 'доказывалось' существование. Разберемся конкретно, что там на самом деле доказано.
Какая там сходимость, какая аппроксимация.

Можете, например, посмотреть работы Кобелькова Г.М.

Г. М. Кобельков. Об одной разностной схеме расчёта нестационарных уравнений Навье–Стокса. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1984, том 24, номер 2, страницы 294–304.
Для нестационарной системы уравнений Навье–Стокса в переменных (u,v,p) в ограниченной области построена разностная схема, аппроксимирующая исходную задачу. Схема является устойчивой... Схема обеспечивает сохранение уравнения неразрывности с заданной точностью. Приведен алгоритм решения системы сеточных уравнений.

Г.М.Кобельков. Симметричные аппроксимации уравнений Навье-Стокса.// Матем. сб., 2002, том 193, номер 7, страницы 87–108
Предложен новый симметричный метод аппроксимации нестационарных уравнений Навье–Стокса системой уравнений типа Коши–Ковалевской. Исследуются свойства модифицированной задачи. В частности, доказана сходимость на бесконечном промежутке времени при ε→0 решения модифицированной задачи к решению исходной.

А.В. Друца, Г.М.Кобельков. О сходимости разностных схем для уравнений динамики океана. // Математический сборник, т. 203, 2012, N8, стр 17–38
Для решений разностной схемы, аппроксимирующей со вторым порядком по пространственным переменным уравнения крупномасштабной динамики океана в области, являющейся единичным кубом, доказана сходимость к решению дифференциальной задачи.

Работы эти доступны на http://www.mathnet.ru

Еще интересная работа

Ling Shen and Jinchao Xu. On a Schur Complement Operator Arisen from Navier-Stokes Equations and its Preconditioning. //Lecture notes in pure and applied mathematics, v 202, 1999, pp 481.
В работе доказывается устойчивость и аппроксимация оператора дополнения Шура, который может быть применен для численного решения НС для несжимаемой жидкости.

На самом деле работ очень много. При желании можно их нагуглить сколько хочешь.

[shwedka]

Статьи правильные, а ВАше их понимание-чушь.
Например, в статье Кобелькова 2002 года, на стр 101 написано.

Цитата:

В предположении, что решение задачи (32) (НС) существует и имеет достаточную гладкость....

И все дальнейшее исходит з этого предположения.

То есть, существование решения не доказывается, а ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ!

В других статьях - то же самое. Сходимость приближенных схем установлена в предположнии, что решение существует и гладко.
ПОэтому для доказательства существования непригодны.

ЕСли хотите продолжать, укажите источник, где бы сходимость, со вторыми производными, устанавливалась бы без предварительного предположения, что решение существует. Иначе пустой треп!

[IAA]

shwedka писал(а):

Например, в статье Кобелькова 2002 года, на стр 1...

... существование решения не доказывается, а ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ!

В других статьях - то же самое.

Нет, не то же самое. В статье за 1984 год доказывается аппроксимация и устойчивость предложенной численной схемы. Без априорного предположения существования решения НС.
Правда, это двумерный случай, но это не принципиально.

[shwedka]

IAA в сообщении #820672 писал(а):

Правда, это двумерный случай, но это не принципиально.

Как раз принципиально! В двумерном случае сильная разрешимость была доказана за 30 лет до того, поэтому предполагать ее нет нужды.

K тому же, сходимость хоть к чему-ни будь вторых производных не доказана и даже не объявлена.
Так что, в очередной раз Ваш промах.

И еще, после того, как Вас поймали на ошибочном заявлении (про статью 2002 года), невредно было бы признаться, что да, мол, ошибся. Приличнее!

[VoloCh]

shwedka писал(а):

... существование решения не доказывается, а ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ!

Что же если задача НС будет решена отрицательно (дазнот экзист), то все цитируемые статьи станут неверны? Или просто бессмысленны. Или не?

[shwedka]

VoloCh в сообщении #820711 писал(а):

shwedka писал(а):

... существование решения не доказывается, а ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ!

Что же если задача НС будет решена отрицательно (дазнот экзист), то все цитируемые статьи станут неверны? Или просто бессмысленны. Или не?

Отрицательное решение означает, что существуют такие дурные начальные условия и сила, что решение разрушается за конечное время.
Результаты о численных методах тогда действуют на том конечном промежутке времени, на котором решение есть,
а далее - они дают что-то, к сильному решению не приближающееся, описывающие неизвестно что.
Может быть,
они сходятся к слабому решению, существование которого доказано, но не единственность (вообще говоря).

[rtfai]

VoloCh в сообщении #820711 писал(а):

shwedka писал(а):

... существование решения не доказывается, а ПРЕДПОЛАГАЕТСЯ!

Что же если задача НС будет решена отрицательно (дазнот экзист), то все цитируемые статьи станут неверны? Или просто бессмысленны. Или не?

Схемы будут аппроксимировать слабые решения, которые могут сходиться к какой-то гладкой функции, но без постановок дополнительных условий могут и не иметь отношения к физике процесса. Самые простые примеры даже в стационарном случае, это расчет обтекания симметричного профиля в трансзвуковом потоке, или парадокс Мизеса при вязком. Вода, она мокрая :)

[IAA]

shwedka в сообщении #820675 писал(а):

IAA в сообщении #820672 писал(а):

Правда, это двумерный случай, но это не принципиально.

Как раз принципиально! В двумерном случае сильная разрешимость была доказана за 30 лет до того, поэтому предполагать ее нет нужды.

K тому же, сходимость хоть к чему-ни будь вторых производных не доказана и даже не объявлена.
Так что, в очередной раз Ваш промах.

И еще, после того, как Вас поймали на ошибочном заявлении (про статью 2002 года), невредно было бы признаться, что да, мол, ошибся. Приличнее!

Каюсь, каюсь, виноват. Но не будем нервничать, а спокойно во всем разберемся.
Смотрим следующую статью.

Jian-Guo Liu, Jie Liu, Robert L. Pego. Stability and convergence of efficient Navier-Stokes solvers via a commutator estimate.
//Communications on Pure and Applied Mathematics, Volume 60, Issue 10, pages 1443–1487, October 2007.

здесь
http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1 ... 8/abstract

Текст можно скачать отсюда.
http://www.google.ru/url?sa=t&rct=j&q=& ... GE&cad=rjt

Abstract
For strong solutions of the incompressible Navier-Stokes equations in bounded
domains with velocity specified at the boundary, we establish the unconditional
stability and convergence of discretization schemes that decouple the updates of
pressure and velocity through explicit time stepping for pressure. These schemes
require no solution of stationary Stokes systems, nor any compatibility between
velocity and pressure spaces to ensure an inf-sup condition, and are represen-
tative of a class of highly efficient computational methods that have recently
emerged. The proofs are simple, based upon a new, sharp estimate for the com-
mutator of the Laplacian and Helmholtz projection operators. This allows us to
treat an unconstrained formulation of the Navier-Stokes equations as a perturbed
diffusion equation. c 2006 Wiley Periodicals, Inc.

Примерный перевод
Мы установили безусловную устойчивость и сходимость разностных схем для сильных решений несжимаемых уравнений Навье-Стокса в ограниченной области с заданными скоростями на границе. Давление и скорость по схеме рассчитываются раздельно на новом шаге по времени по явной процедуре для давления. Схемы не требуют ни решения стационарной системы Стокса, ни какую либо совместность пространств скоростей и давлений для обеспечения inf-sup условия и представляют собой класс недавно представленных высокоэффективных вычислительных методов. Доказательства просты и основаны на новых точных оценках коммутатора проекционных операторов Лапласа и Гельмгольца. Это позволило нам трактовать уравнения Навье-Стокса, как возмущенные уравнения диффузии.

В статье авторы рассматривают пространство R^n, где n \ge 2.
Априорных допущений существования решения НС я у них не нашел.Так что..

[g______d]

Так там же все теоремы формулируются в виде "существует такое $T^*$, что ...", а на конечном интервале времени задача как раз решена; см. первую теорему из раздела 5.