об уравнении Навье-Стокса

[Oleg Zubelevich]

Физическое содержание обсуждаемой задачи мне как-то всегда было непонятно. Несжимаемых жидкостей не бывает. Для сжимаемой жидкости решения с блоапом тривиально существуют.

[g______d]

Munin в сообщении #821314 писал(а):

То есть, из соображений размерности (у Tao supercriticality) вытекает, что обострение должно быть, а реально его никак не могут найти? Интересный поворот темы, по крайней мере, для меня лично...

Нет, я не понимаю, почему должно быть обострение. Просто наивные соображения, что если есть данные, на которых алгоритмы разваливаются, то там и надо искать проблему; ничего особо умного я сказать не хотел :)

g______d в сообщении #821302 писал(а):

Мне казалось, что наоборот, математическое время - верхняя оценка. То есть, даже если строгого blow-up-а не произошло, численному алгоритму уже может стать "нехорошо" на подступах к нему.

Нет, верхняя оценка бы означала, что заведомо есть решение с сингулярностью, а это как раз и не известно. Нижняя оценка в том смысле, что сингулярность не может появиться раньше некоторого времени, и до этого времени решение ведет себя хорошо и удовлетворяет оценкам вроде непрерывной зависимости от начальных условий.

Возможно, было бы понятнее, если бы вместо "blow-up time" говорили "no blow-up time".

[Red_Herring]

mihailm в сообщении #821297 писал(а):

Прочитал (кстати там по-русски страниц 35, остальные на казахском). Отелбаев то, клевый чел, жалко будет, если доказательство не прокатит.
И книга просто шедевр биографической литературы.

Не беспокойтесь, если эти жлобы империалисты из института Глины зажопят зажилят замылят 1,000,000, то все равно султан просвещенный диктатор Покровитель Наук и Искусств выдаст вдвое втрое большую сумму и повелит поставить бронзовый памятник десятидвадцатиметровой высоты на главной площади столицы.

[Munin]

g______d в сообщении #821347 писал(а):

Нет, я не понимаю, почему должно быть обострение.

Я неправильно понял объяснения Tao?

g______d в сообщении #821347 писал(а):

Возможно, было бы понятнее, если бы вместо "blow-up time" говорили "no blow-up time".

Это, конечно, всё выворачивает наизнанку: вы буквально вместо одного квантора подставляете другой (вместо $\exists$ - $\lnot\exists$).

Но даже в этом случае ниоткуда не следует, что "математический no blow-up time" должен быть $\leqslant$ "физического". Напротив, "математический blow-up" (само событие) выглядит более "жёстким", и численный метод имеет полное право "сломаться раньше". Ну, как например, если мы за время 2 сек. должны пересчитать все члены натурального ряда, то переполнение любых компьютерных "целых чисел" наступит до 2 сек. - ещё когда "математически" всё нормально, и нам "гарантирована" спокойная жизнь. (Не говорю, что численный метод должен "сломаться" именно так, но с ним это может произойти.)

[g______d]

Если я говорю что-то, противоречащее Тао, нужно верить ему :). Я не говорю, что я не согласен, что обострение должно быть, я просто не очень понимаю этот момент, сейчас еще раз перечитаю.

Про blow-up. Для любых (гладких) начальных условий существует время $T$, такое что решение существует на $[0,T]$. Мне казалось, что я несколько раз слышал на докладах, что это $T$ называли "blow-up time"; возможно, это жаргон, или я мог неправильно запомнить.

Если математически на $[0,T]$ гарантированно все хорошо, то для достаточно хорошего алгоритма на этом интервале тоже все хорошо. Если известно, что в какой-то точке по времени математически все плохо (это бы сразу дало контрпример), то, конечно, вычислительный алгоритм развалился бы раньше.

Т. е. $\text{. Если левая часть равна бесконечности при любых НУ, то ответ на задачу Миллениума положительный, а если правая часть конечна при каком-то НУ, то отрицательный.

-- 01.02.2014, 09:37 --

И я до этого имел в виду, что промежуток между первыми двумя частями неравенства физически значим, но доказательства сходимости численных методов его не покрывают.

[_serge]

Цитата:

Для сжимаемой жидкости решения с блоапом тривиально существуют.

Можете привести пример?

Цитата:

По существу дела, теоремы существования сами по себе не улучшают вычислительного процесса. Они всего лишь дают вычислителю некоторую уверенность в том, что они вычисляют нечто существующее, что их 'приближенные решения' есть приближения к настоящему решению.

На настоящий момент есть, как минимум, три принципиально различные ветки построения вычислительных схем для решения уравнений НС. Все они были созданы с середины 70 по середину 80-х годов п.в.
И на большом количестве задач (особенно с отрывом потока) дают несколько различные решения, иногда решения отличаются сильно. Какое из решений более близко к точному - ??
И, вообще, уравнения НС не самые сложные. Есть еще уравнение Больцмана. Что интересно. Один из методов получения частных его решений был создан Г.Грэдом. Он получил некоторую систему уравнений для 13-ти моментов, которая, как полагалось, должна была иметь более широкую область применимости, чем уравнения НС.
Но, к сожалению, как он сам же показал в последующих своих работах, решение его системы существовало только для чисел Маха примерно < 1.5 (в настоящее время почему-то снова возрос интерес к моментным методам решения ур. Больцмана и теоретический результат Грэда был подтвержден в вычислительном эксперименте).
Ничего подобного для уравнений Эйлера и НС пока получено не было.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #821367 писал(а):

Т. е. $\text{. Если левая часть равна бесконечности при любых НУ, то ответ на задачу Миллениума положительный, а если правая часть конечна при каком-то НУ, то отрицательный.

А что такое "physical blow-up time"? Рассмотрим к примеру 1-мерное уравнение Хопфа $u_t +\frac{1}{2}(u^2)_x=0$. Здесь ситуация гораздо более экстремальная: если мы рассматриваем непрерывные решения, то при любых сколь угодно малых начальных данных (искл. монотонно неубывающие по $x$) решение глобально не существует. Если же мы разрешим разрывные решения, то чтобы обеспечить единственность придется накладывать условие "неубывания энтропии" $\frac{1}{2}(u^2)_t +\frac{1}{3}(u^3)_x\le 0$[/math] и тогда решение существует глобально и даже м.б. посчитано. Разумеется, записывать уравнение в форме $u_t+uu_x=0$ можно лишь там, где решение непрерывно. Здесь с какими то натяжками можно было бы говорить о "физическом" blow–up time.

У НС blow–up если и наступит будет существенно менее драматическим. Т.е. есть вполне осмысленное с математической точки зрения blow-up time, а также возможные оценки снизу и сверху.

[irygaev]

StackExchange сообщает:

A young guy in Russia seems to have found a concrete gap in the proof. This concerns Statement 6.3. In the ‘proof’, on p.56, the passage from (6.33) to (6.34) is made by saying ‘using this and that and also that’. However no reasons are visible where does the extra ||z|| on the right hand side comes from. At least some very detailed explanation for this is needed.

[Munin]

g______d в сообщении #821367 писал(а):

Если известно, что в какой-то точке по времени математически все плохо (это бы сразу дало контрпример), то, конечно, вычислительный алгоритм развалился бы раньше.

Не факт. Допустим, мы численно ищем график тангенса, решая дифференциальное уравнение $dy/dx=1/\cos^2 x,$ с достаточно грубым шагом по времени. Легко можно себе представить, что мы на последнем шаге перед $\pi/2$ будем находиться достаточно далеко от переполнения, и "прыгая" на следующий шаг, останемся на работающем вычислительном алгоритме. Разумеется, его ответ уже никак не будет соответствовать реальному решению при тех же $x,$ однако, если мы рассмотрим его как имеющий некоторую погрешность по $x,$ то он даже даст нам ещё несколько точек, грубо похожих на график тангенса. То есть, вычислительный алгоритм может "ломаться" и позже, чем точное математическое решение.

g______d в сообщении #821367 писал(а):

Т. е. $\text{.

Позволю себе переформулировать:

$$(\text{guaranteed no blow-up-time})\leqslant(\text{actual blow-up time})\,(D)\leqslant(\text{guaranteed blow-up time}),$$

где actual blow-up time - момент blow-up-а при конкретных начальных данных $D,$ но - при математическом точном решении;
и при этом:

$$\begin{pmatrix}\text{numerical guaranteed}\\\text{no blow-up-time}\end{pmatrix}\,(D)\leqslant(\text{actual blow-up time})\,(D)\leqslant\begin{pmatrix}\text{numerical guaranteed}\\\text{blow-up-time}\end{pmatrix}\,(D),$$

$$\begin{pmatrix}\text{numerical guaranteed}\\\text{no blow-up-time}\end{pmatrix}\,(D)\leqslant\begin{pmatrix}\text{numerical actual}\\\text{blow-up-time}\end{pmatrix}\,(D,A)\leqslant\begin{pmatrix}\text{numerical guaranteed}\\\text{blow-up-time}\end{pmatrix}\,(D),$$

Здесь $A$ - конкретный алгоритм (выбираемый из множества "достаточно хороших алгоритмов"), и
$(\text{guaranteed no blow-up-time})\stackrel{\mathrm{def}}{=}\inf\limits_{D}\,(\text{actual blow-up time})\,(D)$
$(\text{guaranteed blow-up-time})\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{D}\,(\text{actual blow-up time})\,(D)$
$(\text{numerical guaranteed no blow-up-time})\,(D)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\inf\limits_{A}\,(\text{numerical actual blow-up time})\,(D,A)$
$(\text{numerical guaranteed blow-up-time})\,(D)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\sup\limits_{A}\,(\text{numerical actual blow-up time})\,(D,A)$
Конспективно:

$$\xymatrix{{\mathrm{GNBT}}\ar@{-}[rd]^{\leqslant}&&{\mathrm{GBT}}\\&{\mathrm{ABT}\,(D)}\ar@{-}[rd]^{\leqslant}\ar@{-}[ru]^{\leqslant}&\\{\mathrm{NGNBT}\,(D)}\ar@{-}[rd]^{\leqslant}\ar@{-}[ru]^{\leqslant}&&{\mathrm{NGBT}\,(D)}\\&{\mathrm{NABT}\,(D,A)}\ar@{-}[ru]^{\leqslant}&\\}$$

В таком раскладе получается, что numerical actual blow-up time (NABT) не связывают с guaranteed no blow-up-time (GNBT) и с guaranteed blow-up time (GBT) никакие транзитивные цепочки неравенств.

Ну, это как я понимаю.

[vicvolf]

Oleg Zubelevich в сообщении #821329 писал(а):

Для сжимаемой жидкости решения с блоапом тривиально существуют.

Прошу прощения - я не занимался НС проблемой, поэтому у меня вопрос. Ведь уравнения для несжимаемой жидкости являются частным случаем уравнений для несжимаемой. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D3%F0%E0% ... E%EA%F1%E0
Почему, с Ваших слов, доказано существование решения для более общего случая - для сжимаемой жидкости, а для несжимаемой жидкости не доказано. Наверно для сжимаемой жидкости доказано существование решения только для частных случаев?
Вот фрагмент автореферата одной диссертационной работы на эту тему - http://www.dissercat.com/content/razres ... ti-bingama
"Исследования уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости в целом по времени [24]-[28] привели в 1994 году к доказательству корректности двумерной модели [29], когда вязкости являются степенными функциями от плотности. Причём, в этой работе было доказано как существование и единственность классического и сильного обобщённого решений, так и существование слабого обобщённого решений. После этого были опубликованы работы о разрешимости многомерных моделей, в которых вязкости являлись степенными [30] или экспоненциальными [31, 32] функциями от компонент тензора скоростей деформаций. В первой из этих работ [30] было введено понятие мерозначного решения и доказано его существование, а во двух других [31, 32] установлено существование слабого обобщённого решения для модели Бюргерса (с постоянным давлением). Изучение уравнений с экспоненциальной зависимостью тензора напряжений от тензора скоростей деформаций продолжилось доказательством существования слабого обобщённого решения для модели с давлением, линейно зависящим от плотности [33, 34].
С начала исследований в этой области наибольший интерес проявлялся к разрешимости классической модели (где коэффициенты вязкости Ли /л константы), и в 1998 году были получены соответствующие результаты [35].
Также в 1990-х начали публиковаться работы о корректности различных приближённых многомерных моделей для уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости [36]-[40].
Однако существует большое количество природных и искусственных сплошных сред для которых запись закона напряжённого состояния в виде (0.5) неприемлема в силу неоднозначного определения тензора Р' по заданным Ю), р и 9. Например, существуют материалы, которые текут как обычная вязкая жидкость только при интенсивности напряжений ср(Р') большей чем предельное значение Tq = const > 0 (зависящее от материала). А в областях течения этих сред, где <£>(Р') < tq предполагается жёсткое течение, задающееся уравнением Р = 0. Такие материалы называются жидкостями Бингама [41, 42]. Примерами подобных сред являются суспензионные потоки с большой плотностью твёрдых частиц [43], неочищенные нефти, цементы [44]."

[Red_Herring]

vicvolf в сообщении #821595 писал(а):

Почему, с Ваших слов, доказано существование решения для более общего случая - для сжимаемой жидкости, а для несжимаемой жидкости не доказано. Наверно для сжимаемой жидкости доказано существование решения только для частных случаев?

1) В цитируемом Вами посте утверждается что blow-up происходит, т.е. утверждается противоположное глобальному существованию

2) Задача о несжимаемой жидкости не является частным случаем задачи о сжимаемой жидкости:
В одном случае есть условие $\nabla\cdot u=0$ и давление $p$ никак с плотностью $\rho$ не связано.

В другом $\rho_t+\nabla\cdot (\rho u)=0$ и $p=p(\rho)$. Что касается скорости $u$ тo она принадлежит разным функциональным пространствам --$L^2(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^3)$ и его подпространству бездивиргентных функций.

[tatkuz1990]

Как-то на этом форуме знатоки утверждали, что великие открытия могут делать математики возрастом до 35 лет. Дальше мозги, как говорится, не те.
А сколько годков Отелбаеву?

[provincialka]

(Оффтоп)

tatkuz1990 в сообщении #821650 писал(а):

Как-то на этом форуме знатоки утверждали, что великие открытия могут делать математики возрастом до 35 лет. Дальше мозги, как говорится, не те. А сколько годков Отелбаеву?

А потом как Ньютон еще 35 лет проверять. Итого - 70

[g______d]

Munin в сообщении #821505 писал(а):

Не факт. Допустим, мы численно ищем график тангенса, решая дифференциальное уравнение $dy/dx=1/\cos^2 x,$ с достаточно грубым шагом по времени. Легко можно себе представить, что мы на последнем шаге перед $\pi/2$ будем находиться достаточно далеко от переполнения, и "прыгая" на следующий шаг, останемся на работающем вычислительном алгоритме. Разумеется, его ответ уже никак не будет соответствовать реальному решению при тех же $x,$ однако, если мы рассмотрим его как имеющий некоторую погрешность по $x,$ то он даже даст нам ещё несколько точек, грубо похожих на график тангенса. То есть, вычислительный алгоритм может "ломаться" и позже, чем точное математическое решение.

Ну я сказал "достаточно разумный алгоритм", или как-то так. Т. е. он должен не только выдавать набор точек, но и говорить, насколько, по его мнению, этот набор точек соответствует решению. Т. е. либо использовать какие-то математические свойства регулярности решения (и сказать, что в $\pi/2$ он не работает), либо хотя бы увеличить в 2 раза количество точек и посмотреть, не поменяется ли что-либо существенно; в Вашем случае поменяется.

[Munin]

Всё равно не вижу, почему бы этому алгоритму не "ошибаться вперёд", пусть даже и зная, что ошибается, но не зная, насколько именно.