shwedka писал(а):
Это утверждение нужно доказывать каждый раз. Для НС оно не доказано.
Более того, вполне возможно, что численные решения к чему-то сходятся, но то, к чему сходятся, не яляется решением.
Не нужно каждый раз. Решение НС настолько актуально для практических приложений, что это уже сделано давно. Разработано много разных алгоритмов решения НС, для которых неоднократно разными способами доказана устойчивость и выведены критерии устойчивости (нет возможности приводить здесь полный список литературы по вычислительной гидродинамике) .
Аппроксимация же разностных схем для НС доказывается элементарно с помощью разложения сеточных функций в ряд Тейлора и подстановке в разностную схему. Аппроксимация как раз и гарантирует, что численное решение сходится именно к решению диффура, а не "неизвестно к чему" (при стремлении шагов сетки к нулю).
По определению устойчивость и аппроксимация численного алгоритма означает сходимость (см. любой учебник по разностным схемам). А это значит, что численное решение всегда существует.
Действительно, численный расчет себе можно представить в виде начального набора некоторых чисел (начальные и граничные условия), с которыми по определенному алгоритму производятся арифметические операции.
При этом гарантируется, что при соблюдении условия устойчивости в результате не возникнет бесконечно возрастающих по величине чисел.
Ясно, что в результате работы мы получим тоже какой-то набор чисел - численное решение. То есть существование ограниченного численного решения очевидно.
А раз оно существует и сходится к решению диффура, то и решение диффура существует тоже.
Решение НС в инженерной практике настолько важно, и настолько часто это делается, что многие серьезные компании занимаются разработкой и продажей т.н. профессиональных CFD кодов, используемых каждый день в тысячах фирм.Уж там все алгоритмы строго обоснованы.
Простите, а где можно ознакомиться с контрпримером Теренса Тао? В его блоге я ничего не нашёл. 
