LinkeyЦитата:
А он в своей книжке не пишет, почему аксиомы не получается доказать? Я уже писал об этой странности: если аксиома является стопроцентно верной, значит это не аксиома, а доказанная теорема?
Я думаю, что он написал бы, что настоящие аксиомы не нуждаются в доказательстве из-за их
аподиктической очевидности. Еще
вот здесь Denis Russkih удачно подобрал нужные цитаты. Хотите узнать подробней его точку зрения – читайте книжку.
Однако, исторически, функции аксиом были иными. Например, «
Геометрия Евклида, по-видимому, была предложена как космологическая теория (см. Popper, 1952, стр. 147—148). И ее «постулаты» и «аксиомы» (или «общие понятия») были предложены как смелые, вызывающие предложения, направленные против Парменида и Зенона, учения которых влекли за собой не только ложность, но даже логическую ложность, непредставимость этих «постулатов». Только позже «постулаты» были приняты как несомненно истинные, и смелые антипарменидовские «аксиомы» (вроде «целое больше части») были сочтены настолько тривиальными, что были опущены в позднейших анализах доказательства и превращены в «скрытые леммы». Этот процесс начался с Аристотеля; он заклеймил Зенона как любящего спорить чудака, и его аргументы как «софистику». Эта история была недавно рассказана с интересными подробностями Арпадом Сабо (1960, стр. 65—84). Сa6o показал, что в эпоху Евклида слово «аксиома», как и «постулат», обозначало предположение в критическом диалоге (диалектическом), выставленное для того, чтобы проверить следствия, причем партнер по дискуссии
не обязан был принимать его как истину. По иронии истории его значение оказалось перевернутым. Вершина авторитета Евклида была достигнута в век просвещения. Клеро побуждал своих товарищей не «затемнять доказательств и раздражать читателей», выставляя очевидные истины: Евклид делал это лишь для того, чтобы убедить «упорствующих софистов» (1741, стр. X и XI)».
Имре Лакатос «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы».