прыжки в высоту

[nikvic]

svv в сообщении #819441 писал(а):

Надо было Вам не сдаваться, а продолжать возражать,

Не-а - я добрался до листа бумаги.

(Оффтоп)

Стоять на[i] своём - удел фокусников [/i]

[dovlato]

Меж тем, nikvic со своей идеей о ДВУХ точках касания поправил авторов той самой задачи 1.3.27.

[lucien]

svv в сообщении #819441 писал(а):

Надо было Вам не сдаваться, а продолжать возражать, тогда бы lucien показала своё решение, а теперь уж — какой смысл?

Какие-то сомнения? Я секретов из решения не делаю.

Стартуем с точки касания параболой шара. Пусть скорость в этой точке $v_1$, а угол касательной к горизонту --- $\alpha$. Условие того, что макушка параболы находится на одной вертикали с центром шара

$$ v_1\sin\alpha=gt,\quad v_1t\cos\alpha=R\sin\alpha. $$

Исключаем $t$ и находим

$$ v_1^2=\frac{Rg}{\cos\alpha}\quad\Rightarrow\quad h=R\Big(\frac{1+\cos^2\alpha}{2\cos\alpha}+1\Big)>2R, $$

где $h$ --- высота до вершины параболы. При этом парабола проходит над шаром. Для энергии получаем

$$ E=\frac{mv_1^2\cos^2\alpha}{2}+mgh=mgR\Big(1+\sqrt{2}\,\frac{1+x^2}{2x}\Big), \quad x=\sqrt{2}\cos\alpha. $$

Минимум $E$ достигается при $x=1$. При этом $v_0^2=2Rg(1+\sqrt{2})$. (В частном случае, когда $\cos\alpha\rightarrow 1$ получаем ответ из Савченка)

(Оффтоп)

Для школьников. Функция $y=\frac{1+x^2}{2x}=\frac12(x+x^{-1})$ принимает одинаковые значения в точках $x$ и $1/x$. Поэтому минимум достигается при $x=1/x$, т.е. при $x=1$.

dovlato в сообщении #819447 писал(а):

Меж тем, nikvic со своей идеей о ДВУХ точках касания поправил авторов той самой задачи 1.3.27.

В каком смысле поправил? У Савченка другая задача

Цитата:

При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины.

Ответ авторов вполне адекватен условию.

[Skeptic]

lucien в сообщении #819562 писал(а):

svv в сообщении #819441 писал(а):

Надо было Вам не сдаваться, а продолжать возражать, тогда бы lucien показала своё решение, а теперь уж — какой смысл?

Какие-то сомнения? Я секретов из решения не делаю.

Стартуем с точки касания параболой шара. Пусть скорость в этой точке $v_1$, а угол касательной к горизонту --- $\alpha$. Условие того, что макушка параболы находится на одной вертикали с центром шара

$$ v_1\sin\alpha=gt,\quad v_1t\cos\alpha=R\sin\alpha. $$

Исключаем $t$ и находим

$$ v_1^2=\frac{Rg}{\cos\alpha}\quad\Rightarrow\quad h=R\Big(\frac{1+\cos^2\alpha}{2\cos\alpha}+1\Big)>2R, $$

где $h$ --- высота до вершины параболы. При этом парабола проходит над шаром. Для энергии получаем

$$ E=\frac{mv_1^2\cos^2\alpha}{2}+mgh=mgR\Big(1+\sqrt{2}\,\frac{1+x^2}{2x}\Big), \quad x=\sqrt{2}\cos\alpha. $$

Минимум $E$ достигается при $x=1$. При этом $v_0^2=2Rg(1+\sqrt{2})$. (В частном случае, когда $\cos\alpha\rightarrow 1$ получаем ответ из Савченка)

(Оффтоп)

Для школьников. Функция $y=\frac{1+x^2}{2x}=\frac12(x+x^{-1})$ принимает одинаковые значения в точках $x$ и $1/x$. Поэтому минимум достигается при $x=1/x$, т.е. при $x=1$.

dovlato в сообщении #819447 писал(а):

Меж тем, nikvic со своей идеей о ДВУХ точках касания поправил авторов той самой задачи 1.3.27.

В каком смысле поправил? У Савченка другая задача

Цитата:

При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины.

Ответ авторов вполне адекватен условию.

Поясните пожалуйста, почему угол $\alpha$ не входит в явном виде в ответ? Как получить ответ, как у Савченко?

[lucien]

Угол -- переменная, относительно которой ищется экстремум. У Савченко касательная горизонтальна, поэтому косинус=1.

[dovlato]

lucien. Согласен - честь Новосибирска защищена; читать надо внимательнее. Я вообще этот задачник люблю больше всех.
Решал так же, как Вы, но вершину искать не стал - ограничился вычислением энергии.
Вот что пришло в голову. Должно существовать бесконечное число траекторий, соответственно с одним касанием, с двумя касаниями, с тремя, и так далее.
Их предел - это аккурат траектория Вашей жабы)).

[lucien]

Траекторий с тремя и более косаний нет (если не считать отскоков).

[Munin]

А с тремя-то как?

[dovlato]

Да, я имел в виду отскоки. Но остаётся неясным - есть ли среди таких траекторий экстремальные.
Очевидно, реализуем, например, вариант с парой касаний в симметричных точках и с отскоком от вершины.

[Munin]

dovlato
Не впадите в заблуждение, что бесконечно мелкие отскоки от поверхности эквивалентны скольжению по поверхности. Например, у них разные кинетические энергии.

[dovlato]

У меня подозрение, что в иных случаях это различие - какое-то чисто математическое. Но не физическое.
Например, точка, скользящая по плоскости - и она же, скачущая. Пусть высота скачков стремится к нулю.
Математик заявит, что кривая не дифференцируема. Физик процедит - ну и нехай..

[Skeptic]

В задачнике Савченко неверный ответ $v=\sqrt{5Rg}$.
При вертикальной скорости $v=\sqrt{4Rg}$, горизонтальная будет $v=\sqrt{Rg}$. За время полёта камня дальность составит $l=2R$. Чтобы камень не зацепил резервуар, его надо кидать вертикально вверх, и он не сможет перелететь резервуар.

У меня получился красивый ответ $v=2\sqrt{2Rg}$.

[Munin]

dovlato в сообщении #819658 писал(а):

У меня подозрение, что в иных случаях это различие - какое-то чисто математическое. Но не физическое.

Напрасно. Можно обсудить и физику, но придётся вдаваться в левые подробности. На математическом уровне просто легче всего объяснить, что это вещи разные.

dovlato в сообщении #819658 писал(а):

Математик заявит, что кривая не дифференцируема. Физик процедит - ну и нехай..

Это будет плохой физик. Не умеющий считать - раз, и не умеющий работать с соответствием модели и реальности - два.

[nikvic]

dovlato в сообщении #819643 писал(а):

Решал так же, как Вы

Короче всего - через дальность "под углом".

Если аккуратно, то кидать камень горизонтально над шаром и смотреть пересечения с окружностью. Биквадратное уравнение, условие одного корня для квадрата, минимизация - всё без тригонометрии.

[Утундрий]

По сути перед нами максимизация круга, вписанного в семейство должным образом обрезанных парабол. Должный образ обрезания доставляется физикой, всё остальное - геометрией.