2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение26.01.2014, 22:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
svv в сообщении #819441 писал(а):
Надо было Вам не сдаваться, а продолжать возражать,
Не-а - я добрался до листа бумаги.

(Оффтоп)

Стоять на[i] своём - удел фокусников :wink:[/i]

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение26.01.2014, 22:14 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Меж тем, nikvic со своей идеей о ДВУХ точках касания поправил авторов той самой задачи 1.3.27.

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 11:29 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
svv в сообщении #819441 писал(а):
Надо было Вам не сдаваться, а продолжать возражать, тогда бы lucien показала своё решение, а теперь уж — какой смысл?
Какие-то сомнения? Я секретов из решения не делаю.

Стартуем с точки касания параболой шара. Пусть скорость в этой точке $v_1$, а угол касательной к горизонту --- $\alpha$. Условие того, что макушка параболы находится на одной вертикали с центром шара
$$
v_1\sin\alpha=gt,\quad v_1t\cos\alpha=R\sin\alpha.
$$
Исключаем $t$ и находим
$$
v_1^2=\frac{Rg}{\cos\alpha}\quad\Rightarrow\quad h=R\Big(\frac{1+\cos^2\alpha}{2\cos\alpha}+1\Big)>2R,
$$
где $h$ --- высота до вершины параболы. При этом парабола проходит над шаром. Для энергии получаем
$$
E=\frac{mv_1^2\cos^2\alpha}{2}+mgh=mgR\Big(1+\sqrt{2}\,\frac{1+x^2}{2x}\Big), \quad x=\sqrt{2}\cos\alpha.
$$
Минимум $E$ достигается при $x=1$. При этом $v_0^2=2Rg(1+\sqrt{2})$. (В частном случае, когда $\cos\alpha\rightarrow 1$ получаем ответ из Савченка)

(Оффтоп)

Для школьников. Функция $y=\frac{1+x^2}{2x}=\frac12(x+x^{-1})$ принимает одинаковые значения в точках $x$ и $1/x$. Поэтому минимум достигается при $x=1/x$, т.е. при $x=1$.


dovlato в сообщении #819447 писал(а):
Меж тем, nikvic со своей идеей о ДВУХ точках касания поправил авторов той самой задачи 1.3.27.
В каком смысле поправил? У Савченка другая задача
Цитата:
При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины.
Ответ авторов вполне адекватен условию.

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 15:32 


01/12/11

1047
lucien в сообщении #819562 писал(а):
svv в сообщении #819441 писал(а):
Надо было Вам не сдаваться, а продолжать возражать, тогда бы lucien показала своё решение, а теперь уж — какой смысл?
Какие-то сомнения? Я секретов из решения не делаю.

Стартуем с точки касания параболой шара. Пусть скорость в этой точке $v_1$, а угол касательной к горизонту --- $\alpha$. Условие того, что макушка параболы находится на одной вертикали с центром шара
$$
v_1\sin\alpha=gt,\quad v_1t\cos\alpha=R\sin\alpha.
$$
Исключаем $t$ и находим
$$
v_1^2=\frac{Rg}{\cos\alpha}\quad\Rightarrow\quad h=R\Big(\frac{1+\cos^2\alpha}{2\cos\alpha}+1\Big)>2R,
$$
где $h$ --- высота до вершины параболы. При этом парабола проходит над шаром. Для энергии получаем
$$
E=\frac{mv_1^2\cos^2\alpha}{2}+mgh=mgR\Big(1+\sqrt{2}\,\frac{1+x^2}{2x}\Big), \quad x=\sqrt{2}\cos\alpha.
$$
Минимум $E$ достигается при $x=1$. При этом $v_0^2=2Rg(1+\sqrt{2})$. (В частном случае, когда $\cos\alpha\rightarrow 1$ получаем ответ из Савченка)

(Оффтоп)

Для школьников. Функция $y=\frac{1+x^2}{2x}=\frac12(x+x^{-1})$ принимает одинаковые значения в точках $x$ и $1/x$. Поэтому минимум достигается при $x=1/x$, т.е. при $x=1$.


dovlato в сообщении #819447 писал(а):
Меж тем, nikvic со своей идеей о ДВУХ точках касания поправил авторов той самой задачи 1.3.27.
В каком смысле поправил? У Савченка другая задача
Цитата:
При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины.
Ответ авторов вполне адекватен условию.

Поясните пожалуйста, почему угол $\alpha$ не входит в явном виде в ответ? Как получить ответ, как у Савченко?

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 15:48 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Угол -- переменная, относительно которой ищется экстремум. У Савченко касательная горизонтальна, поэтому косинус=1.

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 16:28 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
lucien. Согласен - честь Новосибирска защищена; читать надо внимательнее. Я вообще этот задачник люблю больше всех.
Решал так же, как Вы, но вершину искать не стал - ограничился вычислением энергии.
Вот что пришло в голову. Должно существовать бесконечное число траекторий, соответственно с одним касанием, с двумя касаниями, с тремя, и так далее.
Их предел - это аккурат траектория Вашей жабы)).

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 16:36 
Аватара пользователя


10/01/12
314
Киев
Траекторий с тремя и более косаний нет (если не считать отскоков).

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А с тремя-то как?

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 16:48 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Да, я имел в виду отскоки. Но остаётся неясным - есть ли среди таких траекторий экстремальные.
Очевидно, реализуем, например, вариант с парой касаний в симметричных точках и с отскоком от вершины.

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 17:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
dovlato
Не впадите в заблуждение, что бесконечно мелкие отскоки от поверхности эквивалентны скольжению по поверхности. Например, у них разные кинетические энергии.

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 17:15 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
У меня подозрение, что в иных случаях это различие - какое-то чисто математическое. Но не физическое.
Например, точка, скользящая по плоскости - и она же, скачущая. Пусть высота скачков стремится к нулю.
Математик заявит, что кривая не дифференцируема. Физик процедит - ну и нехай..

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 17:43 


01/12/11

1047
В задачнике Савченко неверный ответ $v=\sqrt{5Rg}$.
При вертикальной скорости $v=\sqrt{4Rg}$, горизонтальная будет $v=\sqrt{Rg}$. За время полёта камня дальность составит $l=2R$. Чтобы камень не зацепил резервуар, его надо кидать вертикально вверх, и он не сможет перелететь резервуар.

У меня получился красивый ответ $v=2\sqrt{2Rg}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
dovlato в сообщении #819658 писал(а):
У меня подозрение, что в иных случаях это различие - какое-то чисто математическое. Но не физическое.

Напрасно. Можно обсудить и физику, но придётся вдаваться в левые подробности. На математическом уровне просто легче всего объяснить, что это вещи разные.

dovlato в сообщении #819658 писал(а):
Математик заявит, что кривая не дифференцируема. Физик процедит - ну и нехай..

Это будет плохой физик. Не умеющий считать - раз, и не умеющий работать с соответствием модели и реальности - два.

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
dovlato в сообщении #819643 писал(а):
Решал так же, как Вы

Короче всего - через дальность "под углом".

Если аккуратно, то кидать камень горизонтально над шаром и смотреть пересечения с окружностью. Биквадратное уравнение, условие одного корня для квадрата, минимизация - всё без тригонометрии.

 Профиль  
                  
 
 Re: прыжки в высоту
Сообщение27.01.2014, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11536
По сути перед нами максимизация круга, вписанного в семейство должным образом обрезанных парабол. Должный образ обрезания доставляется физикой, всё остальное - геометрией.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 74 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group