Сумма всех натуральных чисел

[provincialka]

(Оффтоп)

mihailm, в банерах не бывает ничего интересного

[Xero]

mihailm в сообщении #812641 писал(а):

какое такое вот видео?

Видео непосредственно по теме топика. Да и ссылка на ютуб, а не на левый какой-то сайт же.

[yafkin]

а обычный интеграл от линейной функции по бескоонечному интервалу не подойдет?

[Мастак]

у Эйлера и никто не мог высказать сомнения


Может быть поэтому дзета-функция названа - не дзета-функция Эйлера, а
дзета-функция Римана?

[Мастак]

Мастак в сообщении #817369 писал(а):

у Эйлера и никто не мог высказать сомнения


Может быть поэтому дзета-функция названа - не дзета-функция Эйлера, а
дзета-функция Римана?

то есть не высказывались из-за того, что предполагали, что может быть юмора не понимают

PS Редактор тоже был "себе на уме" наверно.

[abit]

ребят, простите, не смог осилить эту тему, кому не лень подскажите, так же на пальцах дали доказательство этой штуки, про -1/12
скажите как её опровергнуть так же просто или согласиться с этой цепочкой, доказательство таково:
сперва найдём сумму
Sa = 1-1+1-1+1-1+...
для этого вычтем из единицы сию сумму:
1-Sa = 1 - (1-1+1-1+1-1+...)
1-Sa = 1-1+1-1+1-1+... => 1-Sa=Sa => Sa = 1/2

теперь найдём сумму
Sb = 1 - 2 +3 - 4 + 5 - 6 + ...
Sb+Sb = (1-2+3-4+5-6+...) + (1-2+3-4+5-6+...)
2Sb = (1-2+3-4+5-6+...) + (0+1-2+3-4+5-6+...) = 1-1+1-1+1-1+... => Sb=Sa/2=1/4

и окончательно для
S = 1+2+3+4+5+... :
S-Sb = (1+2+3+4+5+6+...)-(1-2+3-4+5-6+...) = (0+4+0+8+0+12+...) = 4(1+2+3+4+...) => S-Sb=4S => 3S=-Sb => S = -Sb/3 => S=-1/12

как то можно опровергнуть всю эту цепочку рассуждений так же на пальцах? (ведь вся цепочка вполне без высшей математики сделана), я сколько не думал, не нашёл решения или контр-примера с другими S1,S2,S

[venco]

Все эти манипуляции имеют смысл при некоторых предположениях, как впрочем и манипуляции со сходящимися рядами, просто во втором случае предположения более естественны.
Итак, можно непротиворечиво поставить в соответствие многим несходящимся рядам некую "обобщённую сумму", такую чтобы она удовлетворяла нескольким разумным условиям: аддитивность, мултипликативность на константу, сдвиг вправо (дополнение несколькими нулями в начале), ну и, естественно, чтобы для сходящихся рядов обобщённая сумма совпадала с обычной. Может, я что-то забыл, но принцип понятен.
Доказано, что обобщённая сумма, удовлетворяющая этим условиям, будет однозначной, т.е. если считать сумму разными путями, то получится одно и то же число. Именно это, и то что для сходящихся рядов это число совпадает с суммой ряда, позволяет назвать это число обобщённой суммой.
И вот в таких условиях можно проделывать вышеприведённые манипуляции с рядами, правда надо не забывать, что это всё-таки не сумма в общепринятом смысле. Тем не менее, эта сумма получается удобной, т.к. позволяет вычислять вещи, другим способом аналитически не вычислимые. В некотором смысле обобщённая сумма аналогична мнимой единице - тоже удобный инструмент.

[Deggial]

abit, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.
Согласно правлам форума, все формулы и термы следует оформлять $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

[abit]

Deggial в сообщении #821383 писал(а):

abit, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.
Согласно правлам форума, все формулы и термы следует оформлять $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

да что вы такие злые... я пытался разобраться как у вас оформить, но это ж целая история, почему не можете сделать нормальный редактор формул вместо math$$/math ? да и что по сути у меня там оформлять кроме индексов в паре мест?
но нет, вы издеваетесь вот такими фразами: "Доказано, что обобщённая сумма, удовлетворяющая этим условиям, будет однозначной, т.е. если считать сумму разными путями, то получится одно и то же число. Именно это, и то что для сходящихся рядов это число совпадает с суммой ряда, позволяет назвать это число обобщённой суммой."

на любом уважающем себя форуме за такое бы забанили пожизнено
рассчитывал, что помогут хоть здесь, а тут вон оно как, ну извините

[Someone]

(abit)

abit в сообщении #822200 писал(а):

я пытался разобраться как у вас оформить, но это ж целая история

Да ладно уж, "история". Школьники легко разбираются, а для ваших формул пяти минут хватит.
Вот берём вашу формулу

abit в сообщении #821241 писал(а):

Sa = 1-1+1-1+1-1+...

и пишем один знак доллара впереди и один позади: $Sa = 1-1+1-1+1-1+...$. И получаем $Sa = 1-1+1-1+1-1+...$. Правда, многоточие лучше изображать не тремя точками, а специальным знаком \ldots: $Sa = 1-1+1-1+1-1+\ldots$. Ну, надо ещё посмотреть кое-какие мелочи и всякие значки, и уже жить можно без всяких специальных редакторов, которые только отнимают время.

P.S. А тег math поставится сам, в большинстве случаев его явно писать не надо.
P.P.S. Если хотите посмотреть код заинтересовавшей Вас формулы, наведите на неё курсор мыши.

[provincialka]

abit в сообщении #822200 писал(а):

на любом уважающем себя форуме за такое бы забанили пожизнено

Вы серьезно? Написано все понятно и правильно. Впрочем, если человек не может разобраться с $\TeX$, то приведенная фраза для него совсем запредельна,

[Мастак]

abit в сообщении #821241 писал(а):

ребят, простите, не смог осилить эту тему, кому не лень подскажите, так же на пальцах дали доказательство этой штуки, про -1/12
скажите как её опровергнуть так же просто или согласиться с этой цепочкой, доказательство таково:
сперва найдём сумму
Sa = 1-1+1-1+1-1+...
для этого вычтем из единицы сию сумму:
1-Sa = 1 - (1-1+1-1+1-1+...)
1-Sa = 1-1+1-1+1-1+... => 1-Sa=Sa => Sa = 1/2

теперь найдём сумму
Sb = 1 - 2 +3 - 4 + 5 - 6 + ...
Sb+Sb = (1-2+3-4+5-6+...) + (1-2+3-4+5-6+...)
2Sb = (1-2+3-4+5-6+...) + (0+1-2+3-4+5-6+...) = 1-1+1-1+1-1+... => Sb=Sa/2=1/4

и окончательно для
S = 1+2+3+4+5+... :
S-Sb = (1+2+3+4+5+6+...)-(1-2+3-4+5-6+...) = (0+4+0+8+0+12+...) = 4(1+2+3+4+...) => S-Sb=4S => 3S=-Sb => S = -Sb/3 => S=-1/12

как то можно опровергнуть всю эту цепочку рассуждений так же на пальцах? (ведь вся цепочка вполне без высшей математики сделана), я сколько не думал, не нашёл решения или контр-примера с другими S1,S2,S

Определение. Если числовой ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то исходный ряд называется условно (не абсолютно) сходящимся.

Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
"Пусть ряд сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования,
что (УСЛОВНАЯ, примечание) сумма нового ряда будет равна S".

Или: "Если ряд сходится условно, то для любого числа М можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд имел своей (УСЛОВНОЙ) суммой именно число М".

Доказательство см. в учебниках.

Признаки, а точнее те свойства, которые гарантируют абсолютную сходимость, абсолютной сходимости (вспоминая теорему: "Перестановка абсолютно сходящегося ряда приводит к ряду с той же суммой.") см. теория рядов и т.п.

[venco]

Мастак в сообщении #822525 писал(а):

Теорема Римана об условно сходящихся рядах.
"Пусть ряд сходится условно, тогда для любого числа S можно так поменять порядок суммирования,
что (УСЛОВНАЯ, примечание) сумма нового ряда будет равна S".

Поэтому изменение порядка суммирования не входит в набор возможных операций для обобщённого суммирования.

[abit]

Мастак
спасибо!!! Вы дали пищу для ума
возникает только вопрос в следствии из теоремы:
"Путём изменения порядка членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме или же расходящийся (теорема Римана)."
в том и дело что я не могу решить эту проблему с контр-примером или не хватает ума, не знаю...

вот условно сходящийся ряд из начала доказательства (того что мне дали) : 1-1+1-1+1-1+...
задаём наперёд заданную сумму S=2, как свести к ней сумму ряда?

пока я разбираюсь в доказательстве теоремы и возможно где-то сглупил в вопросе

[shwedka]

abit в сообщении #822930 писал(а):

вот условно сходящийся ряд из начала доказательства (того что мне дали) : 1-1+1-1+1-1+...

Ряд не является условно сходящимся.