2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 
Сообщение19.01.2009, 19:17 


12/09/08

2262
Профессор Снэйп в сообщении #179218 писал(а):
$$ 1 + 3 + 5 + \ldots = (1 + 2 + 3 + \ldots) - (2 + 4 + 6 + \ldots) = -\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = -\frac{1}{24} $$
Вы здесь неявно предположили, что $2+4+6+8+... = 0+2+0+4+0+6+...$. А это еще доказать надо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 19:33 


11/05/06
363
Киев/Севастополь
$a+a+a+\ldots=S$
Отсюда $a+a+\ldots=S-a$
Т.е. $S=S-a$ - противоречие
У ряда, состоящего из одинаковых членов, суммы быть не может (сюрприз! :))

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 19:45 
Аватара пользователя


18/10/08
454
Омск
MaximKat писал(а):
$a+a+a+\ldots=S$
Отсюда $a+a+\ldots=S-a$
Т.е. $S=S-a$ - противоречие
У ряда, состоящего из одинаковых членов, суммы быть не может (сюрприз! :))

На самом деле в книге Харди далее написано, что не все определения суммы будут отвечать аксиоме (В).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.01.2009, 21:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Профессор Снэйп в сообщении #179218 писал(а):
$$ 1 + 2 + 3 + \ldots = -\frac{1}{12} $$
$$ 2 + 4 + 6 + \ldots = -\frac{1}{24} $$
$$ 1 + 3 + 5 + \ldots = (1 + 2 + 3 + \ldots) - (2 + 4 + 6 + \ldots) = -\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = -\frac{1}{24} $$

С другой стороны,

$$ 2 + 4 + 6 + \ldots = (1 + 3 + 5 + \ldots) + (1 + 1 + 1 + \ldots) $$

так что $1 + 1 + 1 + \ldots = 0$.

Во-первых, есть банальная ошибка:
$ 2 + 4 + 6 + \ldots = -\frac{1}{6}$
Во-вторых, если следовать Варшамову, то Вы нарушаете переместительное свойство. В данном случае это приводит к добавке:
$1+2+3+...=(1+3+...)+(2+4+...)+\frac{1}{2}\lim\limits_ {n\to \infty}n=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{12}$
$1-2+3-...=(1+3+...)-(2+4+...)+\frac{1}{2}\lim\limits_ {n\to \infty}n=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2009, 09:56 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
вздымщик Цыпа писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #179218 писал(а):
$$ 1 + 3 + 5 + \ldots = (1 + 2 + 3 + \ldots) - (2 + 4 + 6 + \ldots) = -\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = -\frac{1}{24} $$

Вы здесь неявно предположили, что $2+4+6+8+... = 0+2+0+4+0+6+...$. А это еще доказать надо.

Видимо это не верное предположение.
Даже рядам $1+0+1+0+1+\ldots$ и $0+1+0+1+0+\ldots$ должны быть прписаны разные суммы, поскольку разность этих рядов равна:
$1-1+1-1+1-1+\ldots=\frac{1}{2}$
А сумма этих же рядов равна:$1+1+1+1+1+\ldots=-\frac{1}{2}$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2009, 10:29 
Экс-модератор


17/06/06
5004
$$\left\{\begin{aligned}x-y&=\tfrac12\\
x+y&=-\tfrac12\end{aligned}\right.\Rightarrow x=0,y=-\tfrac12$$ :shock:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2009, 10:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Лукомор писал(а):
Даже рядам $1+0+1+0+1+\ldots$ и $0+1+0+1+0+\ldots$ должны быть прписаны разные суммы, поскольку разность этих рядов равна:
$1-1+1-1+1-1+\ldots=\frac{1}{2}$
А сумма этих же рядов равна:$1+1+1+1+1+\ldots=-\frac{1}{2}$

А в чем проблема?
$1-1+1-1+...=(1+1+1+...)-(1+1+1+...)+\frac{1}{2}\lim\limits_{n\to \infty}1=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} +\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
А ряды типа $1+0+1+0+1+...$ это совсем другого типа ряды.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.01.2009, 14:36 
Аватара пользователя


22/07/08
1373
Предместья
juna писал(а):
Лукомор писал(а):
Даже рядам $1+0+1+0+1+\ldots$ и $0+1+0+1+0+\ldots$ должны быть прписаны разные суммы, поскольку разность этих рядов равна:
$1-1+1-1+1-1+\ldots=\frac{1}{2}$
А сумма этих же рядов равна:$1+1+1+1+1+\ldots=-\frac{1}{2}$

А в чем проблема?
$1-1+1-1+...=(1+1+1+...)-(1+1+1+...)+\frac{1}{2}\lim\limits_{n\to \infty}1=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} +\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
А ряды типа $1+0+1+0+1+...$ это совсем другого типа ряды.

Проблема в том чтобы увязать со "здравым смыслом" вот это:
1). $0+1+0+1+0+\ldots=-\frac{1}{2}$
2). $1+1+1+1+1+\ldots=-\frac{1}{2}$
3). $1+0+1+0+1+\ldots=0$
4). $1-1+1-1+1-1+\ldots=\frac{1}{2}$
.
Впрочем четвертый ряд здесь действительно "другого типа".
Он знакопеременный, и частичные суммы у него колеблются между единицей и нулем.
Но первые три ряда - расходящиеся, причем у второго ряда частичные суммы растут быстрее, чем у остальных.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2009, 12:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
juna в сообщении #177578 писал(а):
Лукомор в сообщении #177504 писал(а):
Верно ли, что $2+2 + \ldots = 2\cdot (1+1 + \ldots) = \ldots $?

В некотором смысле, да.

В том смысле, что все методы суммирования, в том числе и метод Варшамова, должны быть не только регулярными (давать тот же результат для сходящихся в обычном смысле рядов), но и линейными.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2009, 13:47 


11/09/08
21
Я тоже недавно заинтересовался суммированием рядов, нашёл интересную книгу по теме- Харди Г.Х. Расходящиеся ряды.(дежавю, 6.31 Мб)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.02.2009, 18:38 


20/07/07
834
Вообще-то,

Изображение

Так что, это - не предельный переход от обычной суммы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение10.01.2014, 21:12 


08/01/14
5
Сербия, Белград
http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww вышло вот такое вот видео, решил поделиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение10.01.2014, 23:04 


19/05/10

3940
Россия
какое такое вот видео?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение10.01.2014, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
mihailm в чем вопрос? У вас ссылка не открывается? Видео сделано хорошо, с анимацией. Понятно, хоть и по-английски. Надо будет использовать для студентов.

Интересно, не снято ли что-нибудь подобное для условно сходящихся рядов, их перестановки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма всех натуральных чисел
Сообщение10.01.2014, 23:58 


19/05/10

3940
Россия
Я ее не открывал конечно.

(Оффтоп)

provincialka, вы и на банеры нажимаете?)))

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 82 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group