Сумма всех натуральных чисел

[вздымщик Цыпа]

Профессор Снэйп в сообщении #179218 писал(а):

$$ 1 + 3 + 5 + \ldots = (1 + 2 + 3 + \ldots) - (2 + 4 + 6 + \ldots) = -\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = -\frac{1}{24} $$

Вы здесь неявно предположили, что $2+4+6+8+... = 0+2+0+4+0+6+...$. А это еще доказать надо.

[MaximKat]

$a+a+a+\ldots=S$
Отсюда $a+a+\ldots=S-a$
Т.е. $S=S-a$ - противоречие
У ряда, состоящего из одинаковых членов, суммы быть не может (сюрприз! )

[mkot]

MaximKat писал(а):

$a+a+a+\ldots=S$
Отсюда $a+a+\ldots=S-a$
Т.е. $S=S-a$ - противоречие
У ряда, состоящего из одинаковых членов, суммы быть не может (сюрприз! :))

На самом деле в книге Харди далее написано, что не все определения суммы будут отвечать аксиоме (В).

[juna]

Профессор Снэйп в сообщении #179218 писал(а):

$$ 1 + 2 + 3 + \ldots = -\frac{1}{12} $$

$$ 2 + 4 + 6 + \ldots = -\frac{1}{24} $$

$$ 1 + 3 + 5 + \ldots = (1 + 2 + 3 + \ldots) - (2 + 4 + 6 + \ldots) = -\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = -\frac{1}{24} $$

С другой стороны,

$$ 2 + 4 + 6 + \ldots = (1 + 3 + 5 + \ldots) + (1 + 1 + 1 + \ldots) $$

так что $1 + 1 + 1 + \ldots = 0$.

Во-первых, есть банальная ошибка:
$ 2 + 4 + 6 + \ldots = -\frac{1}{6}$
Во-вторых, если следовать Варшамову, то Вы нарушаете переместительное свойство. В данном случае это приводит к добавке:
$1+2+3+...=(1+3+...)+(2+4+...)+\frac{1}{2}\lim\limits_ {n\to \infty}n=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{12}$
$1-2+3-...=(1+3+...)-(2+4+...)+\frac{1}{2}\lim\limits_ {n\to \infty}n=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

[Лукомор]

вздымщик Цыпа писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #179218 писал(а):

$$ 1 + 3 + 5 + \ldots = (1 + 2 + 3 + \ldots) - (2 + 4 + 6 + \ldots) = -\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = -\frac{1}{24} $$

Вы здесь неявно предположили, что $2+4+6+8+... = 0+2+0+4+0+6+...$. А это еще доказать надо.

Видимо это не верное предположение.
Даже рядам $1+0+1+0+1+\ldots$ и $0+1+0+1+0+\ldots$ должны быть прписаны разные суммы, поскольку разность этих рядов равна:
$1-1+1-1+1-1+\ldots=\frac{1}{2}$
А сумма этих же рядов равна:$1+1+1+1+1+\ldots=-\frac{1}{2}$

[AD]

$$\left\{\begin{aligned}x-y&=\tfrac12\\ x+y&=-\tfrac12\end{aligned}\right.\Rightarrow x=0,y=-\tfrac12$$

[juna]

Лукомор писал(а):

Даже рядам $1+0+1+0+1+\ldots$ и $0+1+0+1+0+\ldots$ должны быть прписаны разные суммы, поскольку разность этих рядов равна:
$1-1+1-1+1-1+\ldots=\frac{1}{2}$
А сумма этих же рядов равна:$1+1+1+1+1+\ldots=-\frac{1}{2}$

А в чем проблема?
$1-1+1-1+...=(1+1+1+...)-(1+1+1+...)+\frac{1}{2}\lim\limits_{n\to \infty}1=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} +\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
А ряды типа $1+0+1+0+1+...$ это совсем другого типа ряды.

[Лукомор]

juna писал(а):

Лукомор писал(а):

Даже рядам $1+0+1+0+1+\ldots$ и $0+1+0+1+0+\ldots$ должны быть прписаны разные суммы, поскольку разность этих рядов равна:
$1-1+1-1+1-1+\ldots=\frac{1}{2}$
А сумма этих же рядов равна:$1+1+1+1+1+\ldots=-\frac{1}{2}$

А в чем проблема?
$1-1+1-1+...=(1+1+1+...)-(1+1+1+...)+\frac{1}{2}\lim\limits_{n\to \infty}1=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} +\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
А ряды типа $1+0+1+0+1+...$ это совсем другого типа ряды.

Проблема в том чтобы увязать со "здравым смыслом" вот это:
1). $0+1+0+1+0+\ldots=-\frac{1}{2}$
2). $1+1+1+1+1+\ldots=-\frac{1}{2}$
3). $1+0+1+0+1+\ldots=0$
4). $1-1+1-1+1-1+\ldots=\frac{1}{2}$
.
Впрочем четвертый ряд здесь действительно "другого типа".
Он знакопеременный, и частичные суммы у него колеблются между единицей и нулем.
Но первые три ряда - расходящиеся, причем у второго ряда частичные суммы растут быстрее, чем у остальных.

[bot]

juna в сообщении #177578 писал(а):

Лукомор в сообщении #177504 писал(а):
Верно ли, что $2+2 + \ldots = 2\cdot (1+1 + \ldots) = \ldots $?

В некотором смысле, да.

В том смысле, что все методы суммирования, в том числе и метод Варшамова, должны быть не только регулярными (давать тот же результат для сходящихся в обычном смысле рядов), но и линейными.

[Inspektor]

Я тоже недавно заинтересовался суммированием рядов, нашёл интересную книгу по теме- Харди Г.Х. Расходящиеся ряды.(дежавю, 6.31 Мб)

[Nxx]

Вообще-то,



Так что, это - не предельный переход от обычной суммы.

[Xero]

http://www.youtube.com/watch?v=w-I6XTVZXww вышло вот такое вот видео, решил поделиться.

[mihailm]

какое такое вот видео?

[provincialka]

mihailm в чем вопрос? У вас ссылка не открывается? Видео сделано хорошо, с анимацией. Понятно, хоть и по-английски. Надо будет использовать для студентов.

Интересно, не снято ли что-нибудь подобное для условно сходящихся рядов, их перестановки?

[mihailm]

Я ее не открывал конечно.

(Оффтоп)

provincialka, вы и на банеры нажимаете?)))