Сумма всех натуральных чисел

[AlexeySurgut]

abit в сообщении #821241 писал(а):

........

и окончательно для
S = 1+2+3+4+5+... :
S-Sb = (1+2+3+4+5+6+...)-(1-2+3-4+5-6+...) = (0+4+0+8+0+12+...) = 4(1+2+3+4+...) => S-Sb=4S => 3S=-Sb => S = -Sb/3 => S=-1/12

как то можно опровергнуть всю эту цепочку рассуждений так же на пальцах? (ведь вся цепочка вполне без высшей математики сделана), я сколько не думал, не нашёл решения или контр-примера с другими S1,S2,S

Ребята, кажется нашел ошибку в рассуждениях:

$$S=1+2+3+...+n+...$$ $$S_b=1-2+3-4+....-(n-1)+n-...$$ $S-S_b=(1+2+3+...+n+...)-(1-2+3-4+....-(n-1)+n-...)=(0+4+0+8+0+12+...+2n+...)=$ $$=4(1+2+...+n/2+...) \not = 4S$$

Т.е. последняя сумма ряда имеет всегда в два раза меньше своих членов чем исходная, а ее приравняли к исходной S.
Членов бесконечно, конечно, я имею ввиду, что исходная сумма ряда большего порядка, т.к. при любом сколь угодно большом n, в разности $S-S_b$ чтобы дойти до n-ого члена необходимо брать 2n членов в $S$ и в $S_b$.

[AlexeySurgut]

Немного углубился:
Разбил сумму $S$ на $S_1$ и $S_2$ две по n/2 членов в каждой:

$$S=S_1+S_2$$

, где

$$S_1=1+2+3+...+n/2;\ S_2=(n/2+1)+(n/2+2)+...+(n/2+n/2)\Rightarrow$$ $$\Rightarrow S_2=(n/2+n/2+...+n/2)+(1+2+3+...+n/2)=\frac{n^2}{4}+S_1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow S_1=(S-\frac{n^2}{4})\frac12$$

при n-> бесконечность, и получатся наши суммы
теперь $S_1$ можно подставить, туда куда до этого подставляли $S$:

$$S-S_b=4S_1=4((S-\frac{n^2}{4})\frac12)=2(S-\frac{n^2}{4})=2S-\frac{n^2}{2} \Rightarrow S=\frac{n^2}{2}+\frac{1}{4}$$

при n -> в бесконечность, формула не противоречит ни здравому смыслу, ни даже формуле нахождения суммы арифмет. прогрессии. Отсюда видно, что $S_b$ никак не влияет на поведение S при n-> в бесконечность, что и должно быть.

[Lia]

georg47
Сообщение отделено в Карантин

2-е сообщение georg47 отделено в туда же

[SomePupil]

Один из способов открыть ларчик таков: подобные суммирования можно воспринимать как бесконечноместные операции (или операции бесконечной арности). Экзотика, конечно, но такое тоже встречается
Вот что по этому поводу написано у Вавилова:

Цитата:

...Громадные усилия многих поколений математиков на протяжении многих веков были посвящены вопросу о том, в каком именно смысле можно определить результат бесконечноместной операции. До XVIII века главенствовала греческая точка зрения "исчерпывания", которая и до сих пор является преобладающей в стандартных учебниках (стандартного) математического анализа...

В XVIII-XX веках появились гораздо более интересные воззрения на то, как следует определять результат бесконечноместной операции. Например, для сумм и произведений вещественных чисел различные (небанальные и, вообще говоря, не совпадающие между собой!) ответы на этот вопрос дают, среди прочего, бесконечная комбинаторика, $p$-адический анализ, теория функций комплексного переменного и нестандартный анализ. Так, например, с комплексно аналитической точки зрения имеет место равенство

$$1+2+3+\ldots=-\frac1{12}$$

(формула Эйлера для $\zeta(-1)$), в то время как с точки зрения исчерпывания значения суммы $1+2+3+\ldots$в левой части не определено, и большинство традиционных учебников математического анализа назовут этот ряд «расходящимся». Разумеется, манипуляции с бесконечными суммами такого вида требуют навыка и внимания, так как они не удовлетворяют обычным тождествам алгебры. Гуру такого рода манипуляций в XVIII веке был Эйлер, а в XX веке $-$ Рамануджан. Самое замечательное, что при их выполнении они никогда (или почти никогда!) не ошибались. С точки зрения $p$-адического анализа сходящимся является ряд $1+p+p^2+p^3\ldots$, где $p -$ простое число, например, ряд $1+2+4+8+\ldots$ сходится $2$-адически.

В нашем случае всё завязано на комплексном анализе. Так что те, кто знают комплексный анализ, в принципе, должны понимать, почему сумма всех натуральных чисел равна $-\frac1{12}$.

[INGELRII]

Такой вопрос из чистого любопытства: вот сумма единиц равна минус одной второй, сумма всех натуральных равна минус одной двенадцатой. То есть суммы получаются отрицательными дробными числами. А есть такой ряд из натуральных, чтобы его сумма была вообще отрицательной иррациональной? Ну так, до кучи?

[Dmitriy40]

Да чего уж там, до кучи можно потребовать и чисто мнимую сумму подмножества натуральных чисел, $\sum \ldots=0+ix$

[INGELRII]

Dmitriy40
Это был следующий задуманный мною вопрос, вы меня опередили. А пример-то будет, с $x \ne 0$, ессесно?