Волновая функция электрона

[Munin]

Для начала, а чем начало координат выделено в этом уравнении?

[Helium]

Munin в сообщении #812813 писал(а):

Для начала, а чем начало координат выделено в этом уравнении?

Я не понял вопроса. Это аналог стационарного уравнения Клейна-Гордона.Почти все что касается уравнения Клейна-Гордона верно и для приведенного уравнения.

[Munin]

Ваше решение каким-то образом привязано к началу координат. Я хочу понять, почему?

[Helium]

Munin в сообщении #812855 писал(а):

Ваше решение каким-то образом привязано к началу координат. Я хочу понять, почему?

Это сферически симметричное неподвижное состояние. Как обычно в сферической координатной системе. С нулевым орбитальным моментом ${l=0}$

[Munin]

А $E$ какая?

[Helium]

Munin в сообщении #812882 писал(а):

А $E$ какая?

Энергия $E$ при решении уравнения остается на своем месте. Понятно что энергия находится в интервале от $0$ до $m{c}^{2}$

Вот и у меня возник вопрос. Как определить какая энергия будет соответствовать основному состоянию? Или устойчивому состоянию?

И вообще как определить связано ли это решение с настоящим электроном. Для водорода все отлично совпадает даже при самых высоких значениях ${Z}$ до ${137}$.

-- 11.01.2014, 19:47 --

Munin в сообщении #812882 писал(а):

А $E$ какая?

Возникла идея. А что если для крайнего состояния взять энергию которая соответствует водородоподобному иону с ${Z=137}$ ?

${E}_{z=137}= 430.417 a.e.$

[Munin]

Helium в сообщении #812911 писал(а):

Энергия $E$ при решении уравнения остается на своем месте.

Дык на каком?

Helium в сообщении #812911 писал(а):

Вот и у меня возник вопрос. Как определить какая энергия будет соответствовать основному состоянию? Или устойчивому состоянию?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно спектр энергии получить. А как вы, не получая его, получили решение - это меня и интересует.

-- 11.01.2014 21:05:41 --

Helium в сообщении #812911 писал(а):

И вообще как определить связано ли это решение с настоящим электроном.

Пока более насущный вопрос - связано ли это решение с этим уравнением.

[Lvov]

Helium в сообщении #812803 писал(а):

Цитата:

Lvov в сообщении #812789 писал(а):
Helium в сообщении #812616 писал(а):

Цитата:

Хорошо вот уравнение...
$\Delta \Psi -\frac{1}{{\hbar}^{2}}\left[\frac{{m}^{4}{c}^{6}}{\left(E\right)^{2}}-{m}^{2}{c}^{2}\right]\Psi =0$

Можете ли Вы привести какие-либо соображения, оправдывающие выбор приведенного уравнения?

Да например то же самое решение для атома водорода post803397.html#p803397
Уравнение для водорода и водородоподобного ряда дает не просто хорошие результаты а просто отличные результаты.

Привожу указанное сообщение #p803397:
Вот аналитическое решение. Радиальная часть волновой функции в атомных единицах Хартри.
$R\left(r \right)= \frac{1}{r}{k}_{1}\exp\left(-\frac{r\sqrt{{c}^{6}-{E}^{2}{c}^{2}}}{E} \right){\left(Er+1 \right)}^{\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+\frac{1}{2}}\bullet $
$\bullet HypergeometricU\left(\frac{\left(\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+1 \right){E}^{4}-{c}^{4}\left(\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+1\right){E}^{2}+2{c}^{4}\sqrt{{c}^{6}-{E}^{2}{c}^{2}}}{2{E}^{2}\left({E}^{2}-{c}^{4} \right)},\sqrt{\frac{4{c}^{6}}{{E}^{4}}+1}+1,\frac{2\sqrt{{c}^{6}-{E}^{2}{c}^{2}}\left(Er+1 \right)}{{E}^{2}} \right):$

Helium в сообщении #812816 писал(а):

Это аналог стационарного уравнения Клейна-Гордона.Почти все что касается уравнения Клейна-Гордона верно и для приведенного уравнения.

Helium в сообщении #812911 писал(а):

Энергия $E$ при решении уравнения остается на своем месте. Понятно что энергия находится в интервале от $0$ до $m{c}^{2}$

Стационарное уравнение Клейна-Гордона (УКГ) свободного электрона имеет вид $(\Delta - \frac {E^2}{c^2 \hbar^2} + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2})\Psi=0.$ Не вижу ничего похожего на ваше уравнение.
Энергия электрона для решения УКГ лежит в пределах от $m{c}^{2}$ до бесконечности.
Возникает еще ряд недоуменных вопросов.
Как это Ваше совершенно новое "уравнение для водорода и водородоподобного ряда дает не просто хорошие результаты а просто отличные результаты", совпадающие, насколько я понимаю, с какими-то результатами решений УКГ?
Если речь идет о совпадении решений, то где в литературе можно увидеть решение, приведенное Вами?
Что за решение приведено - это радиальная часть стационарного решения для главного квантового числа n=1?
Где водородоподобный ряд решений? Чему равно Е для вашего решения?

[Helium]

Lvov в сообщении #813020 писал(а):

Возникает еще ряд недоуменных вопросов.
Как это Ваше совершенно новое "уравнение для водорода и водородоподобного ряда дает не просто хорошие результаты а просто отличные результаты", совпадающие, насколько я понимаю, с какими-то результатами решений УКГ?
Если речь идет о совпадении решений, то где в литературе можно увидеть решение, приведенное Вами?
Что за решение приведено - это радиальная часть стационарного решения для главного квантового числа n=1?
Где водородоподобный ряд решений? Чему равно Е для вашего решения?

Да радиальная часть для сферически симметричных состояний с нулевым орбитальным моментом ${l=0}$.

Как раз уравнение Клейна-Гордона не дает верного результата при увеличении заряда ядра т.е. при усилении релятивизма. Поэтому возникла необходимость в новом уравнении. Пока посмотрите статью http://web.snauka.ru/issues/2013/12/30356 там есть ответы на многие вопросы. Еще там есть PDF версия более удобно читается.
А когда я получу ответы на свои вопросы?

[Munin]

А когда я получу на свои?

[Lvov]

Цитата:

Helium в сообщении #812616 писал(а):
Хорошо вот уравнение...
$\Delta \Psi -\frac{1}{{\hbar}^{2}}\left[\frac{{m}^{4}{c}^{6}}{\left(E\right)^{2}}-{m}^{2}{c}^{2}\right]\Psi =0$

Lvov в сообщении #813020 писал(а):

Стационарное уравнение Клейна-Гордона (УКГ) свободного электрона имеет вид $(\Delta - \frac {E^2}{c^2 \hbar^2} + \frac {m^2 c^2}{\hbar^2})\Psi=0.$ Не вижу ничего похожего на ваше уравнение.

Виноват, недосмотрел сразу, ведь это одно и то же уравнение. Заменим в уравнении г.Helium Е на Е'. Тогда, сравнив два уравнения, находим $E^2=\frac {m^4 c^8}{E'^2},$ и уравнение г.Helium принимает вид приведенного УКГ для свободного стационарного состояния электрона с энергией $E=\frac {m^2 c^4}{E'}.$
Но стационарные решения УКГ для свободного электрона хорошо известны, их пространственная часть имеет вид $\Psi=\sum_n a_n \exp (-i\mathbf{p}_n \mathbf{x}),$ где вектор $\mathbf{p}_n$ характеризуется постоянным значением модуля $p=\sqrt {E^2-m^2c^4}/c.$ Приведенное выражение для волновой функции в простейшем случае имеет вид $\Psi=1,$ и ни при каких значениях $a_n$ и $\mathbf{p}_n$ не сводится к сингулярным выражением, указанным г.Helium.

[Lvov]

Lvov в сообщении #813238 писал(а):

сравнив два уравнения, находим $E^2=\frac {m^4 c^8}{E'^2},$ и уравнение г.Helium принимает вид приведенного УКГ для свободного стационарного состояния электрона с энергией $E=\frac {m^2 c^4}{E'}.$

Понятно, что г.Helium считает величину Е (заменено мною на Е' ) в своем уравнении энергией. Спрашивается, каким образом в его уравнении энергия ухитрилась переместиться их числителя в знаменатель, в результате чего уравнение перестало быть релятивистски инвариантным?
Ответ находится после ознакомления с указанным г.Helium первоисточником. А именно, при выводе нового уравнения допущена ошибка в формуле (2.2). В релятивистском волновом уравнении использована нерелятивистская формула для квадрата импульса $p^2=m^2 v^2,$ что приводит к неверному результату.

[Helium]

Lvov в сообщении #813329 писал(а):

Lvov в сообщении #813238 писал(а):

сравнив два уравнения, находим $E^2=\frac {m^4 c^8}{E'^2},$ и уравнение г.Helium принимает вид приведенного УКГ для свободного стационарного состояния электрона с энергией $E=\frac {m^2 c^4}{E'}.$

Понятно, что г.Helium считает величину Е (заменено мною на Е' ) в своем уравнении энергией. Спрашивается, каким образом в его уравнении энергия ухитрилась переместиться их числителя в знаменатель, в результате чего уравнение перестало быть релятивистски инвариантным?
Ответ находится после ознакомления с указанным г.Helium первоисточником. А именно, при выводе нового уравнения допущена ошибка в формуле (2.2). В релятивистском волновом уравнении использована нерелятивистская формула для квадрата импульса $p^2=m^2 v^2,$ что приводит к неверному результату.

Это не ошибка. Ясно сказано это допущение, гипотеза о том, что в связанном состоянии имеют место именно такие соотношения энергии и импульса. А потом эта гипотеза доказывается на примере решения уравнения для водорода и водородоподобного ряда. Результаты можете сравнить.

Интересно приведите лучшую формулу вытекающую из решения УКГ для водородоподобного ряда я посмотрю.

[Lvov]

Helium в сообщении #813346 писал(а):

Это не ошибка. Ясно сказано это допущение, гипотеза о том, что в связанном состоянии имеют место именно такие соотношения энергии и импульса. А потом эта гипотеза доказывается на примере решения уравнения для водорода и водородоподобного ряда. Результаты можете сравнить.

Интересно приведите лучшую формулу вытекающую из решения УКГ для водородоподобного ряда я посмотрю.

Надо сравнивать результаты теоретические и экспериментальные. Последними же являются значения частоты спектральных линий водорода. В Вашей(?) же статье нет таких данных.
Уравнения Клейна-Гордона (УКГ) не дают заметного увеличения точности расчетов частот спектральных линий по сравнению с решениями уравнения Шредингера, поскольку основная ошибка последних связана с отсутствием учета спинового взаимодействия. Ошибка же, связанная с отсутствием учета релятивистских эффектов, относительно невелика, ввиду малой скорости электрона в атоме. По этой же причине не увеличивает ошибки Ваше нерелятивистское уравнение при расчете атома водорода.
Для повышения точности расчетов спектров водорода и водородоподобных ионов надо не коверкать УКГ, а использовать уравнения Дирака (УД), где учитываются не только релятивистские эффекты, но и спиновое взаимодействие.
Другое дело расчет волновой функции свободного электрона. Здесь спиновые эффекты отсутствуют и УКГ, которые в этом случае совпадают с уравнениями Дирака, дают относительно точный расчет ВФ электрона. Согласно УКГ и УД стационарной пространственно локализованной вакуумной ВФ электрона не существует. Последняя заполняет все свободное пространство, представляя в случае неподвижного электрона мнимоэкпоненциальную функцию $\psi=a \exp(i mc^2/\hbar).$ В случае же пространственно локализованной электронной ВФ она расползается со скоростью обратно пропорциональной поперечнику области локализации.
В связи с вышеуказанным Ваша формула стационарной ВФ для сильно локализованного электрона совершенно неверна. Другое дело электрон в диэлектрической среде. Здесь расползание его ВФ сдерживается наведенным в указанной среде положительным зарядом.

-- 13.01.2014, 09:02 --

Настоящее мое сообщение является ответом на сообщения оппонентов, касающееся волновой функции электрона, сделанные в рамках моей темы "Волновая функция фотона..." Поскольку настоящая тема является более подходящей для обсуждения электронной ВФ, то я надеюсь, что уважаемые гг. модераторы и г.Helium не будут возражать против этой моей акции.

warlock66613 в сообщении #813365 писал(а):

Насколько мне известно, наблюдались спектральные линии высоковозбуждённого водорода ($n = 1000$, размер порядка $0.1\text{ мм}$). К сожалению, публикацию указать не могу, надо искать.

Мне также доводилось встречать данные (не вспомню источник) о наблюдении возбужденных атомов водорода с квантовым числом порядка 1000. Только относительно поперечника ВФ такого атома Вы, видимо, путаете. Согласно теории атома водорода на основании уравнения Шредингера диаметр оболочки возбужденного атома имеет порядок $2a\,n$, т.е. 0,1 мкм. Здесь a - боровский радиус атома водорода, равный $0,5\,\mathring {A}.$
Согласно указанным данным можно предположить, что вакуумный размер электронов составляет несколько десятых мкм.

VladimirKalitvianski в сообщении #813369 писал(а):

Ридберговские атомы могут быть каких угодно размеров, но непосредственно измерить их размер не получается из-за слабости связи электрона и из-за нестабильности свободных ридберговских атомов.

Г.VladimirKalitvianski, видимо Вы говорите о теоретических размерах атома, меня же интересуют только экспериментальные результаты.

[Helium]

Lvov в сообщении #813674 писал(а):

Надо сравнивать результаты теоретические и экспериментальные. Последними же являются значения частоты спектральных линий водорода. В Вашей(?) же статье нет таких данных.

А приведенная таблица и формула это и есть спектр только для основного состояния. Потому что я для простоты не взял сферически симметричные состояния с нулевым орбитальным моментом ${l=0}$.

Lvov в сообщении #813674 писал(а):

Уравнения Клейна-Гордона (УКГ) не дают заметного увеличения точности расчетов частот спектральных линий по сравнению с решениями уравнения Шредингера, поскольку основная ошибка последних связана с отсутствием учета спинового взаимодействия.

Уравнение Клейна-Гордона не только не дают увеличения точностьи а даюд худшие результаты чем уравнение Шредингера хотя оба не учитывают спин но казалось бы релятивистское уравнение должно давать лучший результат. Вы видимо просто невнимательно прочли статью.

Lvov в сообщении #813674 писал(а):

Ошибка же, связанная с отсутствием учета релятивистских эффектов, относительно невелика, ввиду малой скорости электрона в атоме.

А вот эта мысль ошибочна. Вы сравните данные для водородоподобных ионов с зарядом ядра ${Z=100-137}$ тогда увидите скорость мала или нет.

-- 13.01.2014, 12:07 --

Helium в сообщении #813705 писал(а):

Другое дело расчет волновой функции свободного электрона. Здесь спиновые эффекты отсутствуют и УКГ, которые в этом случае совпадают с уравнениями Дирака, дают относительно точный расчет ВФ электрона. Согласно УКГ и УД стационарной пространственно локализованной вакуумной ВФ электрона не существует. Последняя заполняет все свободное пространство, представляя в случае неподвижного электрона мнимоэкпоненциальную функцию $\psi=a \exp(i mc^2/\hbar).$ В случае же пространственно локализованной электронной ВФ она расползается со скоростью обратно пропорциональной поперечнику области локализации.
В связи с вышеуказанным Ваша формула стационарной ВФ для сильно локализованного электрона совершенно неверна. Другое дело электрон в диэлектрической среде. Здесь расползание его ВФ сдерживается наведенным в указанной среде положительным зарядом.

Кстати уравнение Клейна-Гордона дает аналогичное решение $\Psi \left(r \right)={k}_{1}\frac{\exp\left(-r\sqrt{-\frac{{E}^{2}}{{c}^{2}}+{c}^{2}} \right)}{{r}}$

Вопрос в том, как я уже говорил, Уравнение Клейна-Гордона не верно для связанных состояний. И количественные оценки будут не верны.