Координатные условия и единственность решения уравнений ОТО

[epros]

schekn в сообщении #811785 писал(а):

Кстати, обязательно должен нулевой вектор быть ортогональным остальным векторам? Если да, то я бы обсудил это в другой теме.

Я Вам привёл один из вариантов определения: т.н. тетраду, от которой некоторые требуют ортонормированности. Никакого другого смысла в словах "должен быть", кроме как "задано по определению", я не нахожу. Не нравится такое определение СО, предложите другое.

schekn в сообщении #811785 писал(а):

То есть решить полную систему уравнений, которые включают как уравнения Эйнштейна , так и уравнения связи. В каком месте здесь возникает понятие системы отсчета?

В любом месте, где от нас потребуется её выбор. Я выше указал на процедуру "ортогонализации", которая позволяет построить тетраду практически по любой "разумной" координатной сетке (исключая "особые" случаи), так что если Вы решаете уравнения ОТО в определённых координатах, то в этом смысле можете считать, что СО у Вас строится вместе с решением. Но если хотите, то можете выбрать другую СО на уже готовом решении.

[schekn]

epros в сообщении #811886 писал(а):

Не нравится такое определение СО, предложите другое.

У меня нет на этот счет своего мнения. Я готов согласиться на определения собеседника.

epros в сообщении #811886 писал(а):

позволяет построить тетраду практически по любой "разумной" координатной сетке

Таким образом, координатная сетка, все-таки нужна. Если не вводить СО, то по крайней мере необходима система координат, и знать координаты объектов, по поведению которых можно судить о правильности тех формул , которые мы получим в результате решения уравнений. Потому что координаты (пусть пространственные для простоты) объектов по крайней мере входят в разные формулы необходимые для расчетов, например в небесной механике. Как мы определяем координаты объектов? По изучению геодезических. В геодезические входят метрические компоненты, они определяются , исходя из решения системы уравнений, система уравнений зависит от уравнений связи, которые вносятся теоретиком произвольно. Хотелось бы математическую теорему, которая подтвердит, что при таком субъективном выборе мы получим один и тот же результат в решении задач в , например, небесной механике.

-- 09.01.2014, 18:10 --

epros в сообщении #811886 писал(а):

ак что если Вы решаете уравнения ОТО в определённых координатах, то в этом смысле можете считать, что СО у Вас строится вместе с решением

Таким образом, Вы подтверждаете мою гипотезу, что уравнения связи влияют на Систему отсчета? Если так, то это не здорово, потому что от такого выбора зависят некоторые результаты расчетов физических явления ( задач). И тогда неясно опять же, что брать в качестве критерия правильности общепринятой теории.

[epros]

schekn в сообщении #812039 писал(а):

система уравнений зависит от уравнений связи, которые вносятся теоретиком произвольно

Вы о чём?

schekn в сообщении #812039 писал(а):

от такого выбора зависят некоторые результаты расчетов физических явления

Какие же расчёты физических явлений?

[SergeyGubanov]

schekn в сообщении #811492 писал(а):

А нет никакого "начального" учебника. Каждый учебник вносит что-то свое в теорию, которая называется ОТО. По сути это не теория, а лоскутное одеяло.

Это очень широкая трактовка термина "ОТО". В узком смысле ОТО это всего лишь десять уравнений Гильберта-Эйнштейна. Всё что существует сверх этих десяти уравнений в равной степени относится и к любой другой метрической теории гравитации, то есть не является собственностью ОТО.

[KVV]

schekn в сообщении #812039 писал(а):

Таким образом, координатная сетка, все-таки нужна.

Когда мы в ходе решения уравнения Эйнштейна получаем удовлетворяющее ему многообразие, мы автоматически в нагрузку получаем и все координатные сетки, которые можно на нем начертить. Никакого произвола здесь больше нет. Получили многообразие в ходе решения конкретной задачи - получили соответственно и все остальное.

[Утундрий]

KVV в сообщении #812180 писал(а):

Когда мы в ходе решения уравнения Эйнштейна получаем удовлетворяющее ему многообразие, мы автоматически в нагрузку получаем и все координатные сетки, которые можно на нем начертить.

Можете уточнить "ход решения"?

[KVV]

Утундрий
Пар. 100 ЛЛ2, к примеру.

[schekn]

epros в сообщении #812126 писал(а):

Вы о чём?

Я о том, что выбирая произвольно уравнения связи (2), (4), (6) (в начале темы) мы тем самым вносим субъективный элемент в рассчеты. Самое страшное, что у нас получается каждый раз система уравнений разных типов с непредсказуемыми решениями.

epros в сообщении #812126 писал(а):

Какие же расчёты физических явлений?

Практически всех известных. Я постараюсь позже привести несколько примеров, отвечу только SergeyGubanov и KVV.

KVV в сообщении #812180 писал(а):

Когда мы в ходе решения уравнения Эйнштейна получаем удовлетворяющее ему многообразие, мы автоматически в нагрузку получаем и все координатные сетки, которые можно на нем начертить. Никакого произвола здесь больше нет. Получили многообразие в ходе решения конкретной задачи - получили соответственно и все остальное.

Вы правы отчасти. Но надо различать переход от одних уравнений связи ( у меня они 2,4,6, их можно предложить множество) и координатные преобразования (этого не написано в учебниках, о которых говорит Munin). То, о чем Вы говорите, как раз и есть КП, то есть когда мы в рамках одной системы диф. уравнений уже получили решение и определились с многообразием, можно совершать любые допустимые преобразования координат. При этом можно надеяться , что , если не менять систему отсчета, экспериментатор может сравнивать частные решение в любой уже выбранной системе координат со своими измерениями. Но нет никакой уверенности, что меняя условия связи (переходя от гауссовых координат к гармоническим, например) мы получим при прочих равных условиях, решения, отвечающие той же самой физической реальности, или тому же многообразию. Сейчас я отвечу Сергею, чтобы было понятнее на примере.

[epros]

schekn в сообщении #812466 писал(а):

Я о том, что выбирая произвольно уравнения связи (2), (4), (6)

А Вы понимаете откуда они взялись и что означают?

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #812127 писал(а):

В узком смысле ОТО это всего лишь десять уравнений Гильберта-Эйнштейна

Забыл ответить на Вашу предыдущую ремарку.
Вы совершенно правы относительно характеристик в решениях ду в частных производных. Но тут есть нюанс.
Когда мы находим метрику в пустоте вне статического шара (или совершающего сферически-симметричные движения), то система уравнений сводится к обычным уравнениям от одной переменной r (ЛЛ-2, 108-110).

В результате чего мы имеем постоянную интегрирования $r_g$, которая связана с постоянной М, имеющей физический смысл. А вот если бы мы решали систему (3,4) , наложив уравнения связи $g_{0i}=0, g_{00}=1$, то имели бы систему уравнений , где метрические компоненты зависят от переменных $\tau,R$. И тогда возникает решение в виде Леметра, где постоянная r_g вводится искуственно. Кроме того, то, что области определения у r в этих решениях разное, ($r>r_g$ в стандартных координатах), указывает на то, что эти решения относятся к разным моделям гравитационного поля. Соответственно и похожие задачи будут иметь разное решение.

-- 10.01.2014, 15:26 --

epros в сообщении #812471 писал(а):

А Вы понимаете откуда они взялись и что означают?

Я отметил , как их обозначают в литературе. Это только малая часть. Они берутся по простой причине, что уравнений Гильберта-Эйнштейна не хватает для однозначного решения. Иначе мы получим от 1 до 4 произвольных функций к тем произвольным, которые появятся само собой в результате решений полной системы уравнений.
У Фока была по этому поводу свое мнение и он наставивал именно на грамонических условиях.
Сам Эйнштейн в самом начале использовал такие : $g_{0i}=0, det||g_{\mu\nu}||=-1.$

[epros]

schekn в сообщении #812482 писал(а):

Они берутся по простой причине, что уравнений Гильберта-Эйнштейна не хватает для однозначного решения

Не, Вы ошибаетесь. Они берутся по причине желания получить решения определённого вида.

[schekn]

epros в сообщении #812490 писал(а):

Не, Вы ошибаетесь. Они берутся по причине желания получить решения определённого вида.

поясните. Что значит определенного вида?

[epros]

schekn в сообщении #812495 писал(а):

поясните. Что значит определенного вида?

Ну, например, хотят получить синхронные координаты $x_{\alpha}$ - накладывают условие $g_{0 \alpha} = 0$.

[schekn]

epros в сообщении #812504 писал(а):

Ну, например, хотят получить синхронные координаты $\alpha$ - накладывают условие $g_{0 \alpha} = 0$.

Но ведь от вида решения ( то есть от прихоти теоретика) не должны зависеть результаты, которые получаются с помощью этого решения, тем более, если они описывают физические явления.

[epros]

schekn в сообщении #812506 писал(а):

Но ведь от вида решения ( то есть от прихоти теоретика) не должны зависеть результаты, которые получаются с помощью этого решения, тем более, если они описывают физические явления.

А какие явления по-Вашему определяются фактом синхронности координат?