Мнимые числа (философия в математике)

[Linkey]

Urnwestek в сообщении #806260 писал(а):

Всё что можно описать комплексными числами можно описать и некоторыми специальными матрицами, и парами вещественных чисел с особо введенным умножением над ними, и множеством поворотных гомотетий плоскости с естественно введенными сложением и умножением.

Извиняюсь за занудство, на учебник математики не хватает времени (читаю другие книги), хочу ещё немного проянить этот момент. Я уже писал раньше такую формулировку: существует только волновая функция, а положение частицы и её скорость - это лишь абстракция, понятная для нашего мышления. Как в игре "Жизнь" есть Глайдер, он движется в определённом направлении с определённой скоростью, но мы понимаем, что это движение - лишь абстракция, а в действительности в этой вселенной происходит лишь размножение клеток-колоний по определённым законам. Также и в физике. Но если говорить "существует только волновая функция", возникает проблема - ведь она описывается комплексными числами. Поскольку в ней есть мнимые числа, значит говорить что она существует - некорректно, правильнее говорить - она описывает какую-то часть реальности (предполагается, что в "полной" реальности мнимых чисел нет). А если волновую функцию можно описать матрицами? Что это за матрицы, есть ли в них избыточные параметры, которые заставляют говорить что эти матрицы - лишь "заплатка"? Другими словами, можно ли в физике полностью отказаться от использования мнимых чисел, ничего принципиально не потеряв?

[Sicker]

Linkey
Убей в себе философа

[kw_artem]

Sicker в сообщении #811678 писал(а):

Что это за матрицы?

если вы комплексному числу $a+ib$ сопоставите матрицу

$$\begin{pmatrix}a&b\\{-b}&a\end{pmatrix}$$

, а операциям сложения компл. чисел и умножения компл. числа на число (действительное) сопоставите соответственно обычные операции сложения этих матриц и умножения матрицы на число, то алгебраически матрицы этого вида станут эквивалентны комплексным числам.

[provincialka]

Linkey в сообщении #811670 писал(а):

Поскольку в ней есть мнимые числа, значит говорить что она существует - некорректно, правильнее говорить - она описывает какую-то часть реальности (предполагается, что в "полной" реальности мнимых чисел нет).

1. Почему для описания части нужно больше понятий, чем для описания всей "реальности"?
2. Можно подумать "в реальности" существуют какие-то другие числа. Хоть дробные, хоть целые. Все они - только абстрактные понятия. И возникали в истории математики постепенно. Кстати, введение отрицательных чисел тоже сопровождалось большими сомнениями в их "реальности": их на первых порах считали мнимыми числами. А потом ничего, привыкли.

И вообще, о чем спор? Зачем выдавливать из теории комплексные числа, если они уже показали свою ценность для компактного описания объектов?

[Linkey]

Sicker в сообщении #811678 писал(а):

Linkey
Убей в себе философа

(Оффтоп)

Не могу удержаться, процитирую одного современного философа:

Цитата:

Я ничего не имею против Сократа или Дэвида Юма. Я обожаю
Аристотеля и Шопенгауэра. Я почти до слез восторгался некоторыми
текстами Ницше. Но я при случае душил бы голыми руками тех, кто
с апломбом называют себя "профессиональными философами". Мерзкая
порода абсурдизаторов, лезущих в систему высшего образования
и отравляющих молодежь своими претенциозными вздорными фикциями.
Гнусные черви на трупах великих мыслителей прошлого. Как ловко
они прикрываются славой покойников! Как самозабвенно презирают
они профанов, не желающих разбираться в их заумной галиматье! Как
лихо отшивают они всякого, кто дерзает ставить под сомнение
целесообразность их существования!
Есть настоящие философы. Их мало. Они создают философские
системы. В крайнем случае разбирают отдельные фундаментальные
вопросы человеческого существования, к примеру: роль игры в
жизни людей (Хейзинга), роль агрессии (Лоренц), феномен Запада
(Зиновьев). Некоторые из них очень мутные и вредные (Сартр,
Камю), но хотя бы добросовестные и смелые. И есть "профессио-
нальные философы". Их много. Они тоже пишут книжки: преимущест-
венно "учебники философии" и, как правило, в соавторстве. Браться
за фундаментальные вопросы им нельзя -- разве что пересказывать,
каковы мнения об этих проблемах у настоящих философов. И уж
совсем нельзя им разрабатывать философские системы. Если кто-то
из них нарушает указанные "нельзя", он вылетает из "цеха".
Возможно, он станет настоящим философом (и будет мыкаться как
почти все настоящие философы), но он уже не сможет зарабатывать
на жизнь преподаванием якобы философии.
...
Как есть наука и псевдонаука, так есть философия и псевдофило-
софия. XX век -- век расцвета псевдофилософии. Можно даже
говорить о глубоком упадке философии, о расстройстве системы
саморефлексии общества. Демагогия, абсурд, муть и заумь --
вместо четких правдивых ответов, ориентированных на практи-
ческий эффект.
Чем туманнее и заковыристее псевдофилософ, тем значительнее он
рангом в сонме собратьев. Чем проще и доходчивее пишет автор о
сложных вещах, тем он им ненавистнее. Но, конечно, вполне воз-
можно, что я ошибаюсь, когда полагаю, что философская система
должна быть понятна (по крайней мере, в какой-то "вводной" своей
части) любому среднесоображающему и среднеобразованному человеку,
а иначе она попросту не нужна.
Сваливание в одну кучу настоящих философов и "профессиональных
философов" (= преподавателей якобы философии) идет от последних.
Они и само название "профессиональный философ" выдумали
(противно-лживое) -- так как любят при случае выдавать себя
за настоящих философов, поскольку в глубине души сознают их
огромное интеллектуальное и нравственное превосходство над собой.
"Профессиональный философ" -- это звучит гордо. Это не
какой-нибудь шаромыжник, шлифующий линзы для очков, как Спиноза.
И не какой-то там недорезанный филолог-пенсионер, закончивший
жизнь в сумасшедшем доме, как Ницше.

[Stan Slapenarski]

Linkey

Цитата:

Извиняюсь за занудство, ...

Я подозреваю, что Ваши вопросы и проблемы от того, что Вы не достаточно определились с онтологическим статусом чисел вообще, т.е. хотя бы, натуральных, и что когда Вы это сделаете, то сможете прийти к выводу об онтологическом статусе мнимых чисел гораздо быстрее, проще, и при этом не нервируя естественников.

-- 09.01.2014, 10:54 --

(Оффтоп)

По поводу Вашей цитаты с привкусом социальной борьбы, мне кажется, что ее автор пренебрегает значением школ и дифференциация детальней. Например, живший в последней части эры Токугава дзенский мастер Геттан говорил: «Существует три вида учеников: те, кто передают Дзен другим, те, кто поддерживают храмы и святыни, а также существуют сумки для риса и вешалки для одежды».

Кроме того, критика естественниками философии не ограничивается аргументами из цитаты, и ей подвергаются также классики философии. На этом форуме я сейчас обсуждаю эту критику с Muninом в ответвившемся выше оффтопике, и я намерен сказать еще пару слов в нем по этому поводу. Также есть еще один оффтопик со ссылкой Машерова на его блог.

[Denis Russkih]

А мне вот кажется, что математические объекты реально существуют. :)

Одну и ту же сущность можно представить в виде комплексных чисел, в виде матриц или как-то иначе. Но её суть при этом остаётся неизменной. И это лучше всяких других примеров показывает, что данная математическая абстракция существует вне нашего разума. Ведь она не зависит от наших интерпретаций, от нашего восприятия. С какой стороны к ней ни подойди, всегда наткнёшься на одно и то же.

В каком-то смысле, математические абстракции — это единственная вещь, в реальности которой не может быть никаких сомнений. Я могу недоверчиво относиться к окружающей реальности (а вдруг вся моя жизнь — это предсмертная галлюцинация червяка, перевариваемого гигантским плотоядным растением). Но каким бы ни был реальный мир (и независимо от того, существует ли он вообще), я твёрдо могу быть уверен, что в евклидовой геометрии на плоскости отношение длины окружности к её диаметру равно числу $\pi$. Вселенные могут рождаться и умирать, но это никак не повлияет на данную истину. А значит, лишь абстракции 100% реальны, лишь они не могут оказаться фикцией ни при каких обстоятельствах.

Даже к рассуждению "мыслю, следовательно, существую" можно при желании придраться. А вот к математическим абстракциям — нет. :) Они неуязвимы в рамках своей аксиоматики, если только та внутренне непротиворечива.

В мире не может быть ничего реальнее математических абстракций. (Даже наша Вселенная, скорее всего, является лишь одной из таких абстракций, только очень сложной. А мы воспринимаем её как что-то материальное лишь потому, что сами являемся частью этой абстракции.) Математика позволяет прикоснуться к единственной подлинной реальности.

[Stan Slapenarski]

Denis Russkih

Я повторю и расширю свои стандартные контраргументы.

Цитата:

Одну и ту же сущность можно представить в виде комплексных чисел, в виде матриц или как-то иначе. Но её суть при этом остаётся неизменной. И это лучше всяких других примеров показывает, что данная математическая абстракция существует вне нашего разума. Ведь она не зависит от наших интерпретаций, от нашего восприятия. С какой стороны к ней ни подойди, всегда наткнёшься на одно и то же.

Я считаю, что утверждение о том, что мы имеем различные представления одной и той же объективной сущности является лишь предположением, поскольку нам не даны подобные сущности в нашем опыте. Повторюсь: «многие видели два яблока или две груши, но никто никогда не видел двойку как сущность». Так что те сущности, которые мы имеем, это не более чем домыслы, объекты нашего ума. Впрочем, лично я отрицаю существование идей даже в такой форме.

Цитата:

Я могу недоверчиво относиться к окружающей реальности (а вдруг вся моя жизнь — это предсмертная галлюцинация червяка, перевариваемого гигантским плотоядным растением). ... А значит, лишь абстракции 100% реальны, лишь они не могут оказаться фикцией ни при каких обстоятельствах.

Неясно, как наше знание о, знание и познание абстрактных сущностей может быть надежнее нашего несовершенного опыта, через который мы познаем существование и свойства этих сущностей. Аналогия – вся цепь не может быть надежнее самого слабого ее звена.

(Оффтоп)

Цитата:

Даже к рассуждению "мыслю, следовательно, существую" можно при желании придраться.

Еще как можно. Буддисты, например, вообще отрицают этот тезис.

«Джек Корнфилд, рассказывая о своей первой встрече с покойным ныне учителем тибетского буддизма Калу Ринпоче, вспоминает, что между ними состоялся такой диалог:
- Не могли бы вы мне изложить в нескольких фразах самую суть буддийских учений?
- Я бы мог это сделать, но вы не поверите мне, и чтоб понять, о чем я говорю, вам потребуется много лет.
- Все равно, объясните, пожалуйста, так хочется знать. Ответ Ринпоче был предельно краток:
- Вас реально не существует».

Цитата:

В евклидовом пространстве, в геометрии на плоскости, отношение длины окружности к её диаметру всегда равняется числу $\pi$. И это отношение оставалось бы таковым, даже если бы человечество никогда не появилось, и некому было бы назвать число $\pi$ числом $\pi$. Это отношение оставалось бы таковым, даже если бы вся наша Вселенная не появилась. :)

Ведь абстрактные объекты замечательно существуют вне времени и пространства, им нипочём любые катаклизмы материального мира. Вселенные могут рождаться и гибнуть, но это никак не повлияет на число $\pi$. Оно неуязвимо. :) Его могут назвать иначе, и записать не в десятичной, а в 14-ричной системе счисления. Но суть его останется той же.

Прежде всего, я замечу, что то, что происходит с числом $\pi$ при вселенских катаклизмах, находится за пределами нашего опыта, так что неизменность это числа при них это лишь предположение. Но даже если мы примем его, то возникают вопросы, что же ее обеспечивает, и каким образом такие ограниченные и временные существа как мы, живущие в таком же мире, способны приобщаться к таким идеальным сущностям. Отвечающее на второй вопрос дополнительное предположение в духе платоновского же что наша душа по природе идея кажется мне несколько притянутым, и, кроме того, если идеальное и материальное имеют одинаковую природу, то первый вопрос об обеспечении неизменности числа $\pi$ при вселенских катаклизмах стает особо острым.

-- 09.01.2014, 13:03 --

Linkey

Stan Slapenarski писал(а):

Вы не достаточно определились с онтологическим статусом чисел вообще

Кстати, я думаю, что здесь возник подходящий момент для его выбора, поскольку столкнулись две крайних онтологии: ультраплатонизм Denisа Russkih и мой нигилизм.

[вздымщик Цыпа]

Stan Slapenarski в сообщении #811878 писал(а):

Повторюсь: «многие видели два яблока или две груши, но никто никогда не видел двойку как сущность».

Ой, да ладно, видали. И каждый может увидеть. Для этого совсем немного надо. Всего-то уяснить простейшее понятие взаимнооднозначного соответствия. Разложил два яблока по двум корзинкам и уяснил. Отсюда до двойки как сущности один шаг. Двойка — это такой класс эквивалентности по отношению существования взаимнооднозначного соответствия, который включает в себя два яблока.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

вздымщик Цыпа в сообщении #811902 писал(а):

Двойка — это такой класс эквивалентности по отношению существования взаимнооднозначного соответствия, который включает в себя два яблока.

--- Свободная касса!
--- Здравствуйте, мне, пожалуйста, пересечение класса эквивалентности по отношению существования взаимнооднозначного соответствия, который включает в себя два яблока, с классом эквивалентности по отношению существования естественной проекции на ваше меню, включающее один чизбургер, и большую картошку.

[arseniiv]

Linkey
Ваши вопросы появляются из-за неудобной модели реальности. Может, вам поможет дзен, не знаю. С точки зрения математики или физики эти вопросы некорректны.

[Denis Russkih]

Stan Slapenarski в сообщении #811878 писал(а):

столкнулись две крайних онтологии: ультраплатонизм Denisа Russkih и мой нигилизм

Для настоящего нигилиста Вы слишком уверены в правильности своей точки зрения. :) Тот, кто всё подвергает сомнению, в первую очередь должен сомневаться и в своих взглядах.

Я тут накатал огромный пост, с детальным разбором Ваших аргументов. Но затем всё стёр. Моя точка зрения не нуждается в защите. Если я прав (а я прав), то от Ваших слов истина не изменится. Если же я ошибаюсь, то тем более нет смысла тратить время на споры. :)

[Xaositect]

Denis Russkih в сообщении #812144 писал(а):

Если я прав (а я прав)

Помнится, кто-то обещал не увлекаться демагогией :)

[Stan Slapenarski]

Denis Russkih

Цитата:

Для настоящего нигилиста Вы слишком уверены в правильности своей точки зрения. :) Тот, кто всё подвергает сомнению, в первую очередь должен сомневаться и в своих взглядах.

Не, за сомнением это вряд ли ко мне. Я уверен, потому, что я нигилист не скептик или агностик, а гностик.

Цитата:

Я тут накатал огромный пост, с детальным разбором Ваших аргументов. Но затем всё стёр.

Жаль. Мне было бы интересно глянуть. Если у Вас, случайно, сохранился этот текст, то хоть личкой Вы можете мне его выслать? Обещаю не отвечать. Дело в том, я сам когда-то придерживался очень похожей точки зрения. И в том, что я сейчас пишу о ней, я можно сказать, годами выстрадал каждое слово. А сегодня я еще раз прикинул возможную апологетику ультраплатонизма. Лично мне кажется, что она похожа на короткое одеяло, которое натягиваешь на голову, а из под него вылезают ноги, и наоборот; в результате чего валится всё.

Цитата:

Моя точка зрения не нуждается в защите. Если я прав (а я прав), то от Ваших слов истина не изменится. Если же я ошибаюсь, то тем более нет смысла тратить время на споры. :)

Я думаю, что Ваша уверенность в правоте коренится в том, что Вы поглощены очевидностью. Но это уже не философский дискурс, и собственно, не мое дело, поскольку философские убеждения являются глубоко личными. Карл Поппер даже заявил: «Как и многие другие философы, иногда я склонен разделять философов на две основные группы: тех, с которыми я не согласен, и тех, которые согласны со мной». Вот Вам, на прощанье, книжечка «Философия и основания математики» В.Я. Перминова, видимо, вашего союзника; может, что найдете в ней для себя. Всех благ!

-- 09.01.2014, 20:16 --

arseniiv писал(а):

Ваши вопросы появляются из-за неудобной модели реальности.

Лично я думаю, что, скорее, из-за недоработанной.

arseniiv писал(а):

С точки зрения математики или физики эти вопросы некорректны.

Потому, что они философские.

arseniiv писал(а):

Может, вам поможет дзен, не знаю.

Я думаю, что не должен. Дзен решает философские проблемы специфически, успокаивая ум и очищая, грубо говоря, «отношения («видимость») сознания с предметами от замутнения майей, (омраченений (клеша))». Дзен ведет к реальности вне моделей (Munin это вряд ли поддержит ). Впрочем, вот буддистский подфорум, на котором я сижу и где можно поспрашивать буддистов. Но лично я думаю, что поднятые в этой теме Linkeyем вопросы их не заинтересуют.

-- 09.01.2014, 20:32 --

вздымщик Цыпа писал(а):

Ой, да ладно, видали. И каждый может увидеть. Для этого совсем немного надо. Всего-то уяснить простейшее понятие взаимнооднозначного соответствия. Разложил два яблока по двум корзинкам и уяснил. Отсюда до двойки как сущности один шаг. Двойка — это такой класс эквивалентности по отношению существования взаимнооднозначного соответствия, который включает в себя два яблока.

Я думаю, что подобные примеры как раз подходят под то, что я писал. В них речь идет не о видении абстрактных сущностей, а о домысливании их, причем вместе с частью теории множеств, на которую опирается это определение. Я слышал, что интерпретация Пифагора и состояла в этом переходе от алгоритмического употребления конкретных счетных элементов (напр. камушков, палочек) до чисел как абстрактных сущностей. Эта идея, видимо, произвела на пифагорейцев неизгладимое впечатление. О том, что было дальше, я уже писал раньше в теме. Еще я добавлю, что пифагорейцы прониклись настолько, что эзотерическая школа Пифагора даже сейчас пользуется большим уважением в околотеософских кругах.

[Denis Russkih]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #812190 писал(а):

Помнится, кто-то обещал не увлекаться демагогией

Вы просто не видели настоящей демагогии в моём исполнении. :)


Stan Slapenarski

Большое спасибо за наводку, нужно будет посмотреть эту книгу. Вам тоже всех благ. :)