Всем спасибо.
Задачу решил с помощью предельного перехода при
![$t -> 0$ $t -> 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/1/f/f1fe5f9c51df4bc217693e63ed834b0d82.png)
.
Но ещё остались затруднения с некоторыми задачами...
1) В задаче о нахождении гауссовой кривизны я нашёл формулу для её вычисления через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные, вот она:
Здесь я уже принял во внимание, что все коэффициенты F в формуле обращаются в ноль (так как из метрики получается, что F = 0, E = G =
![$1/v^2$ $1/v^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/4/c5443f3656496450631c4bd1e99a597a82.png)
, g =
![$ 1/v^4$ $ 1/v^4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/0/f208381aa56fa2390a305090d7135e9082.png)
.
Но только не могу никак понять, что же такое
![$\delta/\delta u$ $\delta/\delta u$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/9/d39d418ff4ab89d5da58b6fd0a32c59182.png)
и
![$\delta/\delta v$ $\delta/\delta v$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/6/45694d3a6dedea105b2c10845e5b5c1f82.png)
?
2) В задаче на нахождение минимальной поверхности (см. моё первое сообщение). Есть формула для нахождения средней кривизны для поверхности, заданной явно -
![$ z = f(x,y) $ $ z = f(x,y) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/2/f32a53fb685ed1f7fa034b093779b63482.png)
.
Для неё нужно будет искать производные по x,y и т.п.
Я привожу поверхность к явному виду, получаю:
Но теперь...чему же равна производная arcch? Даже не для данного конкретного случая, а в общем?
И вообще, правильный ли у меня путь решения этой задачи: найти среднюю кривизну, и если она равна нулю, то поверхность минимальная?
3) Задача:
Проверить, что метрика поверхности вращения
![$ r = a*\sin(t) $ $ r = a*\sin(t) $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/d/f5d5366ce3c94beb9c07013c6643da9082.png)
,
преобразованием
приводится к каноническому виду
Эта задача, честно говоря, ввела в ступор. Так как вообще показалось, что где-то опечатка в задании...
Единственная мысль была - найти метрику данной поверхности вращения, но...
Коэффициенты первой квадратичной формы будут зависеть только от параметра
![$t$ $t$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/4/4f4f4e395762a3af4575de74c019ebb582.png)
или ещё и от
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
?
Далее...предположим, что мы нашли метрику. А затем нужно доказать, что поверхность с этой метрикой изометрична поверхности с метрикой
![$ds^2 = du^2 + \ch^2(u) dv^2 $ $ds^2 = du^2 + \ch^2(u) dv^2 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/3/d43ebfb44f2a07399e43d07b1a1685a182.png)
или ... ?
Если да, то каков алгоритм решения? Надеюсь, уважаемый Brukvalub поможет разобраться.
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)