Помогите с задачками по дифференциальной геометрии : Геометрия fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Помогите с задачками по дифференциальной геометрии
Сообщение16.09.2007, 19:42 


16/09/07
34
Собсно, лекции читаются, мягко говоря, плохо, а читать книгу всё же сложно и много чего непонятного. А контрольные никто не отменял. :) Так что...

1) Найти гауссову кривизну поверхности с метрикой:

$ds^2 = (du^2 + dv^2)/v^2$ , v > 0

2) Доказать, что поверхность


$(x^2 + y^2)/a^2 = (\ch(z/a))^2$

является минимальной.


Заранее спасибо. :)


А, да, ещё глупый вопрос...как параметризовать какую-либо кривую, например, $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, -- понятно...
А если, наоборот, в задаче дано x = u*\cos(v) , y = u*\sin(v), z = 2*v , то как перейти к исходному выражению (см. выше) ?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.09.2007, 20:03 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/06
1265
 !  Spy
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС).


Правила форума тоже никто не отменял. :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.09.2007, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Sрy писал(а):
Найти гауссову кривизну поверхности с метрикой:

$ds^2 = (du^2 + dv^2)/v^2$ , v > 0
Не могли бы Вы, если, конечно, это Вас не затруднит, напомнить мне определение Гауссовой кривизны?
Sрy писал(а):
2) Доказать, что поверхность


$(x^2 + y^2)/a^2 = (\ch(z/a))^2$

является минимальной.
Не могли бы Вы, если, конечно, это Вас не затруднит, напомнить мне определение минимальной поверхности?
Sрy писал(а):
А если, наоборот, в задаче дано x = u*\cos(v) , y = u*\sin(v), z = 2*v , то как перейти к исходному выражению (см. выше) ?
\[\frac{y}{x} = tg(2z)\]

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.09.2007, 22:57 


16/09/07
34
Минимальная поверхность — поверхность, у которой средняя кривизна равна нулю во всех точках. Средняя кривизна - полусумма главных кривизн.
Гауссова кривизна - произведение главных кривизн.
Ой, кажется, начал додумываться, как делать задачу с гауссовой кривизной, так что по ней уже хэлп не нужен...:)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.09.2007, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Не могли бы Вы, если, конечно, это Вас не затруднит, напомнить мне определение и формулу для вычисления главной кривизны?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение17.09.2007, 10:51 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Формулы для вычисления гауссовой и средней кривизны поверхности:
гауссова кривизна: $$K=\frac{\det B}{\det G}$$, средняя кривизна: $$L=\mathop{\mathrm{tr}}(BG^{-1})$$, где $G$ и $B$ - матрицы первой и второй квадратичной формы соответственно.

Если $r=r(u,v)=\bigl(x(u,v), y(u,v), z(u,v)\bigr)$ - параметризация поверхности, то ее матрицы первой и второй квадратичной формы такие:

1) $$G=\left(\begin{array}{cc}
\left(\frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial u}\right) & \left(\frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v}\right) \\
\left(\frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial u}\right) & \left(\frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial v}\right) \\
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}E & F \\ F & H
\end{array}\right)$$,
т.е. матрица из скалярных произведений векторов $\frac{\partial r}{\partial u}=\left(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}\right)$, $\frac{\partial r}{\partial v}=\left(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}\right)$; индуцированная метрика на поверхности при этом такова: $$ds^2=E\,du^2+2F\,du\,dv+H\,dv^2$$.

2) $$B=\left(\begin{array}{cc}
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial u^2}, n\right) & \left(\frac{\partial^2 r}{\partial u\partial v}, n\right) \\
\left(\frac{\partial^2 r}{\partial v\partial u}, n\right) & \left(\frac{\partial^2 r}{\partial v^2}, n\right) \\
\end{array}\right)$$,
где $$n=\frac{\left[\frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v}\right]}{\left|\left[\frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v}\right]\right|}$$ - единичная нормаль к поверхности.

Ну вот, это элементы теории. Вам осталось лишь применить их к вашим случаям (т.е. найти параметризацию поверхности, вычислить первую и вторую квадратичную формы и найти соответствующие следы и определители).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2007, 10:26 


16/09/07
34
Спасибо. :)

Это снова я. :)
Опять проблема.
Задача:
Составить уравнение касательной и нормали к плоской кривой в указанной точке.

$x = t^3/2 + t^4/4$
$y = t^2/2 - t^3/3$

Указанная точка $ t = 0$

Ну понятно, первая мысль - воспользоваться соответствующими формулами, найти производные ф-ии в этой точке и подставить.
Но в этой самой точке t = 0 нарушается условие регулярности - производная обращается в ноль. Непонятно, как поступать в этом случае.
Была мысль написАть уравнения единичного касательного и нормального векторов, потом как-нибудь через них найти, но как - непонятно, да и, начиная эти самые векторы вычислять (как-нибудь использовать предельный переход $t->0+0$ или $t->0-0$ ? Не выходит, везде нули всё равно остаются...) получаются не очень хорошие ответы (в плане: корни, дроби и т.п.), что и заставило задуматься: верный ли вообще это путь решения...

И ещё...как из метрики

$ds^2 = (du^2 + dv^2)/v^2$ , v > 0


находится параметризация ?
Случаем не $g_1_2 = 0,  g_1_1 = g_2_2 = 1/v^2,  g = 1/v^4$ для первой квадратичной формы?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2007, 11:07 


29/09/06
4552
Sрy писал(а):
Ну понятно, первая мысль - воспользоваться соответствующими формулами, найти производные ф-ии в этой точке и подставить.


У меня вторая мысль: заменить параметр, например, $t^2\to u$ (тогда $t^3=\pm u\sqrt{u}$).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2007, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Sрy писал(а):
Составить уравнение касательной и нормали к плоской кривой в указанной точке.

$x = t^3/2 + t^4/4$
$y = t^2/2 - t^3/3$

Указанная точка $ t = 0$
Воспользуйтесь тем, что \[\frac{{dx}}{{dy}} = 0\] при $ t = 0$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2007, 14:51 


16/09/07
34
Brukvalub писал(а):
Воспользуйтесь тем, что \[\frac{{dx}}{{dy}} = 0\] при $ t = 0$


Простите, нельзя ли поподробнее? Не очень понятно, как это использовать.

$dx = 3*t^2/2 + t^3$
$dy = t - t^2$

$dx/dy = (t*(3*t/2 + t^2))/(t(1-t)$ = > $dx/dy = (3*t/2 + t^2)/(1-t)$, подставляя t = 0, числитель обращается в ноль, понятно.
Но а дальше это как использовать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2007, 14:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Sрy писал(а):
И ещё...как из метрики

$ds^2 = (du^2 + dv^2)/v^2$ , v > 0


находится параметризация ?
Отталкивайтесь от того, что э
та метрика геометрии Лобачевского для модели в верхней полуплоскости.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2007, 15:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
попробуйте написать уравнения касательной и нормали в точке, близкой к нулю, а затем перейти к пределу в этих уравнениях

альтернативно. поменяйте параметр на длину дуги.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2007, 15:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Sрy писал(а):
$dx = 3*t^2/2 + t^3$
$dy = t - t^2$

$dx/dy = (t*(3*t/2 + t^2))/(t(1-t)$ = > $dx/dy = (3*t/2 + t^2)/(1-t)$, подставляя t = 0, числитель обращается в ноль, понятно.
Начнем с того, что написанное Вами и сейчас цитированное мной с точки зрения математической грамотности- ни в какие ворота не лезет! Я получил , что \[\frac{{dx}}{{dy}} = 0\] при $ t = 0$ совсем не так, а, исходя из определения. Во-вторых, если Вы верите тому, что я получил, то подсказывать дальше мне было-бы просто неудобно. Это уже вопрос из серии: скажи, сколько монеток у меня в кулаке, и я отдам тебе все 3.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.10.2007, 15:16 


29/09/06
4552
shwedka писал(а):
альтернативно. поменяйте параметр на длину дуги.


Это не всегда просто. В данном случае
$$s(t)=\frac{1}{2}\int{t\sqrt{\mbox{полином 4-й степени}}}\:{\mathrm d} t$$

Добавлено спустя 8 минут 22 секунды:

Sрy, попробуйте в своих $dx = \ldots$ и $dy = \ldots$ заменить дифференциалы производными: $dx/dt = \ldots$ и $dy/dt = \ldots$.
А потом скажите, что это была типа опечатка. Может, Вас тогда пропустят в ворота...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.10.2007, 11:03 


16/09/07
34
Всем спасибо.
Задачу решил с помощью предельного перехода при $t -> 0$.
Но ещё остались затруднения с некоторыми задачами...

1) В задаче о нахождении гауссовой кривизны я нашёл формулу для её вычисления через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные, вот она:

$ K = 1/(2*\sqrt{g})*((\delta/\delta u)*(-G_{u}/\sqrt{g}) + (\delta/\delta v)*(-E_{v}/\sqrt{g}) $

Здесь я уже принял во внимание, что все коэффициенты F в формуле обращаются в ноль (так как из метрики получается, что F = 0, E = G = $1/v^2$, g = $ 1/v^4$.
Но только не могу никак понять, что же такое $\delta/\delta u$ и $\delta/\delta v$ ?

2) В задаче на нахождение минимальной поверхности (см. моё первое сообщение). Есть формула для нахождения средней кривизны для поверхности, заданной явно - $ z = f(x,y) $.
Для неё нужно будет искать производные по x,y и т.п.
Я привожу поверхность к явному виду, получаю:

$ z = a*arcch(\sqrt{x^2+y^2}/|a|) $
Но теперь...чему же равна производная arcch? Даже не для данного конкретного случая, а в общем?
И вообще, правильный ли у меня путь решения этой задачи: найти среднюю кривизну, и если она равна нулю, то поверхность минимальная?

3) Задача:
Проверить, что метрика поверхности вращения
$ r = a*\sin(t) $ , $ z = -(ln(\tg(t/2)) + \cos(t)) $

преобразованием
$ \sin(\theta) = (e^{-v})*\ch(u), \phi = e^v*\th(u) $
приводится к каноническому виду $ds^2 = du^2 + \ch^2(u) dv^2 $

Эта задача, честно говоря, ввела в ступор. Так как вообще показалось, что где-то опечатка в задании...
Единственная мысль была - найти метрику данной поверхности вращения, но...
Коэффициенты первой квадратичной формы будут зависеть только от параметра $t$ или ещё и от $a$ ?
Далее...предположим, что мы нашли метрику. А затем нужно доказать, что поверхность с этой метрикой изометрична поверхности с метрикой $ds^2 = du^2 + \ch^2(u) dv^2 $ или ... ?
Если да, то каков алгоритм решения? Надеюсь, уважаемый Brukvalub поможет разобраться. :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group