Помогите с задачками по дифференциальной геометрии

[Sрy]

Собсно, лекции читаются, мягко говоря, плохо, а читать книгу всё же сложно и много чего непонятного. А контрольные никто не отменял. Так что...

1) Найти гауссову кривизну поверхности с метрикой:

$ds^2 = (du^2 + dv^2)/v^2$ , v > 0

2) Доказать, что поверхность


$(x^2 + y^2)/a^2 = (\ch(z/a))^2$

является минимальной.


Заранее спасибо.


А, да, ещё глупый вопрос...как параметризовать какую-либо кривую, например, $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$, -- понятно...
А если, наоборот, в задаче дано x = u*\cos(v) , y = u*\sin(v), z = 2*v , то как перейти к исходному выражению (см. выше) ?

[нг]

Spy
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС).

Правила форума тоже никто не отменял.

[Brukvalub]

Sрy писал(а):

Найти гауссову кривизну поверхности с метрикой:

$ds^2 = (du^2 + dv^2)/v^2$ , v > 0

Не могли бы Вы, если, конечно, это Вас не затруднит, напомнить мне определение Гауссовой кривизны?

Sрy писал(а):

2) Доказать, что поверхность


$(x^2 + y^2)/a^2 = (\ch(z/a))^2$

является минимальной.

Не могли бы Вы, если, конечно, это Вас не затруднит, напомнить мне определение минимальной поверхности?

Sрy писал(а):

А если, наоборот, в задаче дано x = u*\cos(v) , y = u*\sin(v), z = 2*v , то как перейти к исходному выражению (см. выше) ?

\[\frac{y}{x} = tg(2z)\]

[Sрy]

Минимальная поверхность — поверхность, у которой средняя кривизна равна нулю во всех точках. Средняя кривизна - полусумма главных кривизн.
Гауссова кривизна - произведение главных кривизн.
Ой, кажется, начал додумываться, как делать задачу с гауссовой кривизной, так что по ней уже хэлп не нужен...

[Brukvalub]

Не могли бы Вы, если, конечно, это Вас не затруднит, напомнить мне определение и формулу для вычисления главной кривизны?

[Gordmit]

Формулы для вычисления гауссовой и средней кривизны поверхности:
гауссова кривизна:

$$K=\frac{\det B}{\det G}$$

, средняя кривизна:

$$L=\mathop{\mathrm{tr}}(BG^{-1})$$

, где $G$ и $B$ - матрицы первой и второй квадратичной формы соответственно.

Если $r=r(u,v)=\bigl(x(u,v), y(u,v), z(u,v)\bigr)$ - параметризация поверхности, то ее матрицы первой и второй квадратичной формы такие:

1)

$$G=\left(\begin{array}{cc} \left(\frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial u}\right) & \left(\frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v}\right) \\ \left(\frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial u}\right) & \left(\frac{\partial r}{\partial v}, \frac{\partial r}{\partial v}\right) \\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}E & F \\ F & H \end{array}\right)$$

,
т.е. матрица из скалярных произведений векторов $\frac{\partial r}{\partial u}=\left(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}\right)$, $\frac{\partial r}{\partial v}=\left(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}\right)$; индуцированная метрика на поверхности при этом такова:

$$ds^2=E\,du^2+2F\,du\,dv+H\,dv^2$$

.

2)

$$B=\left(\begin{array}{cc} \left(\frac{\partial^2 r}{\partial u^2}, n\right) & \left(\frac{\partial^2 r}{\partial u\partial v}, n\right) \\ \left(\frac{\partial^2 r}{\partial v\partial u}, n\right) & \left(\frac{\partial^2 r}{\partial v^2}, n\right) \\ \end{array}\right)$$

,
где

$$n=\frac{\left[\frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v}\right]}{\left|\left[\frac{\partial r}{\partial u}, \frac{\partial r}{\partial v}\right]\right|}$$

- единичная нормаль к поверхности.

Ну вот, это элементы теории. Вам осталось лишь применить их к вашим случаям (т.е. найти параметризацию поверхности, вычислить первую и вторую квадратичную формы и найти соответствующие следы и определители).

[Sрy]

Спасибо.

Это снова я.
Опять проблема.
Задача:
Составить уравнение касательной и нормали к плоской кривой в указанной точке.

$x = t^3/2 + t^4/4$
$y = t^2/2 - t^3/3$

Указанная точка $ t = 0$

Ну понятно, первая мысль - воспользоваться соответствующими формулами, найти производные ф-ии в этой точке и подставить.
Но в этой самой точке t = 0 нарушается условие регулярности - производная обращается в ноль. Непонятно, как поступать в этом случае.
Была мысль написАть уравнения единичного касательного и нормального векторов, потом как-нибудь через них найти, но как - непонятно, да и, начиная эти самые векторы вычислять (как-нибудь использовать предельный переход $t->0+0$ или $t->0-0$ ? Не выходит, везде нули всё равно остаются...) получаются не очень хорошие ответы (в плане: корни, дроби и т.п.), что и заставило задуматься: верный ли вообще это путь решения...

И ещё...как из метрики

$ds^2 = (du^2 + dv^2)/v^2$ , v > 0


находится параметризация ?
Случаем не $g_1_2 = 0, g_1_1 = g_2_2 = 1/v^2, g = 1/v^4$ для первой квадратичной формы?

[Алексей К.]

Sрy писал(а):

Ну понятно, первая мысль - воспользоваться соответствующими формулами, найти производные ф-ии в этой точке и подставить.

У меня вторая мысль: заменить параметр, например, $t^2\to u$ (тогда $t^3=\pm u\sqrt{u}$).

[Brukvalub]

Sрy писал(а):

Составить уравнение касательной и нормали к плоской кривой в указанной точке.

$x = t^3/2 + t^4/4$
$y = t^2/2 - t^3/3$

Указанная точка $ t = 0$

Воспользуйтесь тем, что

\[\frac{{dx}}{{dy}} = 0\]

при $ t = 0$

[Sрy]

Brukvalub писал(а):

Воспользуйтесь тем, что

\[\frac{{dx}}{{dy}} = 0\]

при $ t = 0$

Простите, нельзя ли поподробнее? Не очень понятно, как это использовать.

$dx = 3*t^2/2 + t^3$
$dy = t - t^2$

$dx/dy = (t*(3*t/2 + t^2))/(t(1-t)$ = > $dx/dy = (3*t/2 + t^2)/(1-t)$, подставляя t = 0, числитель обращается в ноль, понятно.
Но а дальше это как использовать?

[Brukvalub]

Sрy писал(а):

И ещё...как из метрики

$ds^2 = (du^2 + dv^2)/v^2$ , v > 0


находится параметризация ?

Отталкивайтесь от того, что э
та метрика геометрии Лобачевского для модели в верхней полуплоскости.

[shwedka]

попробуйте написать уравнения касательной и нормали в точке, близкой к нулю, а затем перейти к пределу в этих уравнениях

альтернативно. поменяйте параметр на длину дуги.

[Brukvalub]

Sрy писал(а):

$dx = 3*t^2/2 + t^3$
$dy = t - t^2$

$dx/dy = (t*(3*t/2 + t^2))/(t(1-t)$ = > $dx/dy = (3*t/2 + t^2)/(1-t)$, подставляя t = 0, числитель обращается в ноль, понятно.

Начнем с того, что написанное Вами и сейчас цитированное мной с точки зрения математической грамотности- ни в какие ворота не лезет! Я получил , что

\[\frac{{dx}}{{dy}} = 0\]

при $ t = 0$ совсем не так, а, исходя из определения. Во-вторых, если Вы верите тому, что я получил, то подсказывать дальше мне было-бы просто неудобно. Это уже вопрос из серии: скажи, сколько монеток у меня в кулаке, и я отдам тебе все 3.

[Алексей К.]

shwedka писал(а):

альтернативно. поменяйте параметр на длину дуги.

Это не всегда просто. В данном случае

$$s(t)=\frac{1}{2}\int{t\sqrt{\mbox{полином 4-й степени}}}\:{\mathrm d} t$$

Добавлено спустя 8 минут 22 секунды:

Sрy, попробуйте в своих $dx = \ldots$ и $dy = \ldots$ заменить дифференциалы производными: $dx/dt = \ldots$ и $dy/dt = \ldots$.
А потом скажите, что это была типа опечатка. Может, Вас тогда пропустят в ворота...

[Sрy]

Всем спасибо.
Задачу решил с помощью предельного перехода при $t -> 0$.
Но ещё остались затруднения с некоторыми задачами...

1) В задаче о нахождении гауссовой кривизны я нашёл формулу для её вычисления через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные, вот она:

$ K = 1/(2*\sqrt{g})*((\delta/\delta u)*(-G_{u}/\sqrt{g}) + (\delta/\delta v)*(-E_{v}/\sqrt{g}) $

Здесь я уже принял во внимание, что все коэффициенты F в формуле обращаются в ноль (так как из метрики получается, что F = 0, E = G = $1/v^2$, g = $ 1/v^4$.
Но только не могу никак понять, что же такое $\delta/\delta u$ и $\delta/\delta v$ ?

2) В задаче на нахождение минимальной поверхности (см. моё первое сообщение). Есть формула для нахождения средней кривизны для поверхности, заданной явно - $ z = f(x,y) $.
Для неё нужно будет искать производные по x,y и т.п.
Я привожу поверхность к явному виду, получаю:

$ z = a*arcch(\sqrt{x^2+y^2}/|a|) $
Но теперь...чему же равна производная arcch? Даже не для данного конкретного случая, а в общем?
И вообще, правильный ли у меня путь решения этой задачи: найти среднюю кривизну, и если она равна нулю, то поверхность минимальная?

3) Задача:
Проверить, что метрика поверхности вращения
$ r = a*\sin(t) $ , $ z = -(ln(\tg(t/2)) + \cos(t)) $

преобразованием
$ \sin(\theta) = (e^{-v})*\ch(u), \phi = e^v*\th(u) $
приводится к каноническому виду $ds^2 = du^2 + \ch^2(u) dv^2 $

Эта задача, честно говоря, ввела в ступор. Так как вообще показалось, что где-то опечатка в задании...
Единственная мысль была - найти метрику данной поверхности вращения, но...
Коэффициенты первой квадратичной формы будут зависеть только от параметра $t$ или ещё и от $a$ ?
Далее...предположим, что мы нашли метрику. А затем нужно доказать, что поверхность с этой метрикой изометрична поверхности с метрикой $ds^2 = du^2 + \ch^2(u) dv^2 $ или ... ?
Если да, то каков алгоритм решения? Надеюсь, уважаемый Brukvalub поможет разобраться.