Что значит неопределенность функции?

[Munin]

Pineapple
К сожалению, вы мучаетесь с производными, не имея достаточного опыта вообще подстановок функций в функции.

Допустим:
$f(x)=x^\pi$
$g(x)=\sqrt{5x}$
$h(x)=\log_\pi x$

Теперь скажите, чему будут равны функции:
$f(g(x)),f(h(x)),g(f(x)),g(h(x)),h(f(x)),h(g(x)),$
$g(g(x)),g(g(g(x))),g(g(g(g(x)))),$
$f(g(h(x))),g(h(f(x))),h(f(g(x))),f(h(g(x))),h(g(f(x))),g(f(h(x))).$

[Pineapple]

Проверьте первую строчку.

$f(g(x))=(\sqrt{5x})^\pi$ $f(h(x))=(\log_\pi x)^\pi$ $g(f(x))=\sqrt{5x^\pi}$ $g(h(x))=\sqrt{5 \log_\pi x}$ $h(f(x))= \log_\pi x^\pi$ $h(g(x))=\log_\pi \sqrt{5x}$

-- 02.01.2014, 14:11 --

Теперь вторую, надеюсь ничего страшного, что в таком виде
$g(g(x))=\sqrt { 5\sqrt { 5x } }$ $g(g(g(x)))=\sqrt { 5\sqrt { 5\sqrt { 5x } } } $ $g(g(g(g(x))))=\sqrt { 5\sqrt { 5\sqrt { 5\sqrt { 5x } } } } $

-- 02.01.2014, 14:22 --

И последняя строчка

$f(g(h(x)))={ (\sqrt { 5\log _{ \pi } x } })^{ \pi }$ $g(h(f(x)))=\sqrt { { 5\log _{ \pi } x }^{ \pi } }$ $h(f(g(x)))={ \log _{ \pi } (\sqrt { 5x } ) }^{ \pi }$ $f(h(g(x)))={ (\log _{ \pi } \sqrt { 5x } ) }^{ \pi }$ $h(g(f(x)))=\log _{ \pi } \sqrt { 5{ x }^{ \pi } } $ $g(f(h(x)))=\sqrt { { 5(\log _{ \pi } x) }^{ \pi } } $

[Munin]

Ну что, всё правильно.

А теперь можно написать, чему равно $f'(x),g'(x),h'(x).$ И снова начать подставлять их друг в друга.

[Pineapple]

$f'(x)=\pi { x }^{ \pi -1 }$ $g'(x)=\frac { \sqrt { 5 } }{ 2\sqrt { x } }$ $h'(x)=\frac { 1 }{ x\ln { \pi } }$

Так подставлять?
$f'(g'(x))=\pi { (\frac { \sqrt { 5 } }{ 2\sqrt { x } } })^{ \pi -1 }$

[Urnwestek]

Ну попробуйте вычислить теперь $\frac{d f(g(x))}{dx}$ по той формуле, которая $\frac{d f(g(x))}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}$

[Pineapple]

$f'(g(x))=\pi { (\sqrt { 5x } ) }^{ \pi -1 }\cdot \frac { \sqrt { 5 } }{ 2\sqrt { x } } $

[Urnwestek]

Ну да, вроде всё, дифференцировать научились, задача топика — выполнена. (:

[iifat]

Pineapple в сообщении #808820 писал(а):

А из этого

Цитата:

Ну так же, по очереди. $(g(f(h(x))))'=(g(\text{нечто}))'=g'(\text{нечто})\cdot (\text{нечто})'=\ldots{}$.Подставляйте "нечто" на место и продолжайте.

Я подумал, что $f'(g)\cdot{g'(h)}$.

Плохо подумали. Подумайте ещё раз. Потому что написано таки правильно, а у вас получилось неверно. Право же, запутать эта запись может разве что при торопливом зазубривании, из которого всё равно ничего не получится.

[Pineapple]

Если а $f(x)=g(h(x))$, то $f'(x)$ и $g'(h(x))$ одно и то же или нет?

[Otta]

$(g(h(x)))'$ и $g'(h(x))$ - это разные вещи.

[Aritaborian]

Pineapple, сравните написанное вами с формулой производной сложной функции (которую вы уже должны были таки выучить наизусть ;-) и сами увидите разницу.

[Pineapple]

А где можно узнать доказательство этой формулы ?

[provincialka]

В любом учебнике по матану. А еще лучше немного подумать самому: формула доказывается в пару строк.

[Urnwestek]

(Оффтоп)

А как в пару строк доказать?

[provincialka]

Думаю, удобнее ввести промежуточные переменные. Например, $y=f(x), x=g(t)$. И воспользоваться равенством $\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}$. Правда, надо будет отдельно рассмотреть случай, когда $\Delta x=0$. Чтобы этого избежать, лучше вместо производной использовать дифференциал и понятие дифференцируемой функции.