2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение02.01.2014, 23:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Pineapple
К сожалению, вы мучаетесь с производными, не имея достаточного опыта вообще подстановок функций в функции.

Допустим:
$f(x)=x^\pi$
$g(x)=\sqrt{5x}$
$h(x)=\log_\pi x$

Теперь скажите, чему будут равны функции:
$f(g(x)),f(h(x)),g(f(x)),g(h(x)),h(f(x)),h(g(x)),$
$g(g(x)),g(g(g(x))),g(g(g(g(x)))),$
$f(g(h(x))),g(h(f(x))),h(f(g(x))),f(h(g(x))),h(g(f(x))),g(f(h(x))).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 00:06 


17/01/13
622
Проверьте первую строчку.

$f(g(x))=(\sqrt{5x})^\pi$

$f(h(x))=(\log_\pi x)^\pi$

$g(f(x))=\sqrt{5x^\pi}$

$g(h(x))=\sqrt{5 \log_\pi x}$

$h(f(x))= \log_\pi x^\pi$

$h(g(x))=\log_\pi \sqrt{5x}$

-- 02.01.2014, 14:11 --

Теперь вторую, надеюсь ничего страшного, что в таком виде
$g(g(x))=\sqrt { 5\sqrt { 5x }  }$

$g(g(g(x)))=\sqrt { 5\sqrt { 5\sqrt { 5x }  }  } $

$g(g(g(g(x))))=\sqrt { 5\sqrt { 5\sqrt { 5\sqrt { 5x }  }  }  } $

-- 02.01.2014, 14:22 --

И последняя строчка

$f(g(h(x)))={ (\sqrt { 5\log _{ \pi  } x }  })^{ \pi  }$

$g(h(f(x)))=\sqrt { { 5\log _{ \pi  } x }^{ \pi  } }$ 

$h(f(g(x)))={ \log _{ \pi  } (\sqrt { 5x } ) }^{ \pi  }$

$f(h(g(x)))={ (\log _{ \pi  } \sqrt { 5x } ) }^{ \pi  }$

$h(g(f(x)))=\log _{ \pi  } \sqrt { 5{ x }^{ \pi  } } $

$g(f(h(x)))=\sqrt { { 5(\log _{ \pi  } x) }^{ \pi  } } $

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 00:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Ну что, всё правильно.

А теперь можно написать, чему равно $f'(x),g'(x),h'(x).$ И снова начать подставлять их друг в друга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 14:33 


17/01/13
622
$f'(x)=\pi { x }^{ \pi -1 }$

$g'(x)=\frac { \sqrt { 5 }  }{ 2\sqrt { x }  }$

$h'(x)=\frac { 1 }{ x\ln { \pi  }  }$

Так подставлять?
$f'(g'(x))=\pi { (\frac { \sqrt { 5 }  }{ 2\sqrt { x }  }  })^{ \pi -1 }$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 14:41 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Ну попробуйте вычислить теперь $\frac{d f(g(x))}{dx}$ по той формуле, которая $\frac{d f(g(x))}{dx} = \frac{df(g(x))}{dg(x)} \cdot \frac{dg(x)}{dx}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 14:44 


17/01/13
622
$f'(g(x))=\pi { (\sqrt { 5x } ) }^{ \pi -1 }\cdot \frac { \sqrt { 5 }  }{ 2\sqrt { x }  } $

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 14:46 
Аватара пользователя


03/10/13
449
Ну да, вроде всё, дифференцировать научились, задача топика — выполнена. (:

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 14:48 
Заслуженный участник


16/02/13
4179
Владивосток
Pineapple в сообщении #808820 писал(а):
А из этого
Цитата:
Ну так же, по очереди. $(g(f(h(x))))'=(g(\text{нечто}))'=g'(\text{нечто})\cdot (\text{нечто})'=\ldots{}$.Подставляйте "нечто" на место и продолжайте.

Я подумал, что $f'(g)\cdot{g'(h)}$.
Плохо подумали. Подумайте ещё раз. Потому что написано таки правильно, а у вас получилось неверно. Право же, запутать эта запись может разве что при торопливом зазубривании, из которого всё равно ничего не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 20:52 


17/01/13
622
Если а $f(x)=g(h(x))$, то $f'(x)$ и $g'(h(x))$ одно и то же или нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 20:54 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
$(g(h(x)))'$ и $g'(h(x))$ - это разные вещи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 21:00 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Pineapple, сравните написанное вами с формулой производной сложной функции (которую вы уже должны были таки выучить наизусть ;-) и сами увидите разницу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 21:26 


17/01/13
622
А где можно узнать доказательство этой формулы ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 21:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
В любом учебнике по матану. А еще лучше немного подумать самому: формула доказывается в пару строк.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 22:21 
Аватара пользователя


03/10/13
449

(Оффтоп)

А как в пару строк доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Что значит неопределенность функции?
Сообщение03.01.2014, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Думаю, удобнее ввести промежуточные переменные. Например, $y=f(x), x=g(t)$. И воспользоваться равенством $\frac{\Delta y}{\Delta t}=\frac{\Delta y}{\Delta x}\cdot\frac{\Delta x}{\Delta t}$. Правда, надо будет отдельно рассмотреть случай, когда $\Delta x=0$. Чтобы этого избежать, лучше вместо производной использовать дифференциал и понятие дифференцируемой функции.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 145 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group