Эксперименты с поворотами (спин)

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #805165 писал(а):

Это контравариантный градиент:

Нет, это не он. В координатном базисе для сферических координат $g = \operatorname{diag}(1, r^{-2}, (r \sin \theta)^{-2})$.
Отсюда, например, $\nabla^\theta \Phi = r^{-2}\partial_{\theta} \Phi$. Обратите внимание на квадрат.

Это контравариантный (он же фактически и ковариантный) градиент в нормированном базисе ($g=1$). Это необходимо, так как в векторном анализе не только, как вы справедливо заметили, все компоненты одного типа, но вдобавок отсутствует понятие метрического тензора.

-- 23.12.2013, 17:50 --

А пока я расписываю получение своей матрицы, я вас прошу перечитать мой последний пост ещё раз (особенно пассаж про $g=1$), а потом сказать "тетрада", потом опять перечитать, а потом опять сказать "тетрада". Я прошу вас проделать это, потому что я надеюсь вас осенит, и мы начнём лучше понимать друг друга.

[warlock66613]

У меня такой вопрос (ко всем, не только к SergeyGubanov) - чем лучше всего воспользоваться, чтобы сократить нудные покомпонентные вычисления в ОТО? Мне надо посчитать для SergeyGubanov кэффициенты вращения Риччи и далее, и на меня находит тоска, когда я смотрю на соответствующие формулы. Должно же быть что-то...

[SergeyGubanov]

Точно, квадрат проглядел. Это ж тетрада собственной персоной:

$$ e^{(t)} = c \, dt, \quad e^{(r)} = dr, \quad e^{(\theta)} = r d \theta, \quad e^{(\varphi)} = r \sin(\theta) d \varphi, $$

$$ e_{(t)} = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad e_{(r)} = \frac{\partial}{\partial r}, \quad e_{(\theta)} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}, \quad e_{(\varphi)} = \frac{1}{r \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \varphi}. $$

warlock66613 в сообщении #805191 писал(а):

нудные покомпонентные вычисления

Я для этого использую Mathematica.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #805194 писал(а):

Это ж тетрада собственной персоной

Именно! То есть человек, не знающий ничего про метрические тензоры, связности, контра и ковариантные компоненты, неосознанно пользуется тетрадными компонентами векторов в сферической системе. И спиноры поэтому он тоже может не задумываясь преобразовать в сферическую систему. Я уверен, что если теперь всё расписать по-чесному, то получится приведённая мной матрица.

[SergeyGubanov]

Скажите для чего эта матрица предназначена, какому уравнению подчиняется? Я сам напишу программу на Mathematica и проверю.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #805201 писал(а):

Скажите для чего эта матрица предназначена, какому уравнению подчиняется?

$u^{\alpha'} = S^{\alpha' \alpha} u^{\alpha}$
Здесь $S$ - обсуждаемая матрица $2 \times 2$, $u$ - это произвольный спинор, индексы - это спинорные индексы. Вероятно в промежуточных выкладках придётся перейти к биспинорам, думаю это понятно.
$\alpha$ - это обычные спинорные компоненты в декартовой системе отсчёта,
$\alpha'$ - это спинорные компоненты в системе отсчёта $e^{(t), (r), (\theta), (\varphi)}$ из вашего последнего сообщения.
Ну вот вроде и всё.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #805205 писал(а):

Ну вот вроде и всё.

Э-э-э, а я спорил с изменением компонент спинорного поля при преобразовании координат, а Вы делаете кроме преобразования координат ещё и локальный поворот тетрады.

Старая тетрада:

$$ e^{(t)} = c \, dt, \quad e^{(x)} = dx, \quad e^{(y)} = dy, \quad e^{(z)} = d z, $$

Новая тетрада:

$$ e'^{(t)} = c \, dt, \quad e'^{(r)} = dr, \quad e'^{(\theta)} = r d \theta, \quad e'^{(\varphi)} = r \sin(\theta) d \varphi, $$

Локальный поворот от одной тетрады к другой:

$$e^{(t)} = e'^{(t)}$$

$$ e^{(x)} = \cos(\varphi) \sin(\theta) \, e'^{(r)} + \cos(\theta) \cos(\varphi) \, e'^{(\theta)} - \sin(\varphi) \, e'^{(\varphi)} $$

$$e^{(y)} = \sin(\theta) \sin(\varphi) \, e'^{(r)} + \cos(\theta) \sin(\varphi) \, e'^{(\theta)} + \cos(\varphi) \, e'^{(\varphi)} $$

$$e^{(z)} = \cos(\theta) \, e'^{(r)} - \sin(\theta) \, e'^{(\theta)}$$

$$ds^2 = (e^{(t)})^2 - (e^{(x)})^2 - (e^{(y)})^2 - (e^{(z)})^2 = (e'^{(t)})^2 - (e'^{(r)})^2 - (e'^{(\theta)})^2 - (e'^{(\varphi)})^2 $$

А о том что спинорное поле чувствует вращение тетрады я писал ещё в самом первом сообщении, так что Вы зря со мной спорили

По отношению к преобразованию координат спинорное поле ведёт себя как набор скаляров - не преобразуется. Локальное (лоренцево) вращение тетрады - другое дело.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #805218 писал(а):

а я спорил с изменением компонент спинорного поля при преобразовании координат

В этом вопросе мы дошли до тупика в аналогии с колёсами.

SergeyGubanov в сообщении #805218 писал(а):

Локальное (лоренцево) вращение тетрады - другое дело.

Это было по поводу немного другого тезиса, насчёт сферической системы координат. Подитоживая, суть в том, что если человеку, прочитавшему, ну скажем, ЛЛ-3, предложить преобразовать спинор в сферические координаты, то он это сделает, и даже сделает правильно, у него всё сойдётся, хотя он и не будет знать (возможно до самой смерти), что на самом-то деле сферические координаты тут и не при чём, а всё дело в локальном вращении тетрады. Просто потому, что в используемом им формализме независимое преобразование координат и базиса (ко)касательного пространства неописуемо.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #805227 писал(а):

Подитоживая, суть в том, что если человеку, прочитавшему, ну скажем, ЛЛ-3, предложить преобразовать спинор в сферические координаты, то он это сделает, и даже сделает правильно, у него всё сойдётся, хотя он и не будет знать (возможно до самой смерти), что на самом-то деле сферические координаты тут и не при чём, а всё дело в локальном вращении тетрады. Просто потому, что в используемом им формализме независимое преобразование координат и базиса (ко)касательного пространства неописуемо.

Как же он это сделает, если он не знает про спинорную связность $\Gamma_{\mu}$?

Единственный способ как после ЛЛ3/ЛЛ4 ничего не зная про спинорную связность $\Gamma_{\mu}$ тем не менее взять и написать уравнение Дирака в сферических координатах это работать только в декартовой тетраде. Он должен будет записать $\hat{D}$ в декартовой тетраде в декартовых координатах:

$$ \hat{D} = \sigma^{(1)} \frac{\partial}{\partial x} + \sigma^{(2)} \frac{\partial}{\partial y} + \sigma^{(3)} \frac{\partial}{\partial z} $$

убедиться, что

$$\hat{D}^2 = \Delta.$$

Затем вместо $\frac{\partial}{\partial x}$, $\frac{\partial}{\partial y}$ и $\frac{\partial}{\partial z}$ подставить:

$$ \frac{\partial}{\partial x} = \cos(\varphi) \sin(\theta) \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos(\theta) \cos(\varphi)}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{\sin(\varphi)}{r \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \varphi} $$

$$ \frac{\partial}{\partial y} = \sin(\varphi) \sin(\theta) \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos(\theta) \sin(\varphi)}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\cos(\varphi)}{r \sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial \varphi} $$

$$ \frac{\partial}{\partial z} = \cos(\theta) \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\sin(\theta)}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} $$

опять убедиться, что

$$\hat{D}^2 = \Delta,$$

но оператор Лапласа $\Delta$ на сей раз будет выражен в сферических координатах. Вот так вот сделали переход к сферическим координатам, но тетраду не тронули - оставили её декартовой, спинорная связность осталась нулевой $\Gamma_{x} = 0$, $\Gamma_{y} = 0$, $\Gamma_{z} = 0$.

А ежели он попытается уйти от декартовой тетрады и записать вот так:

$$ \hat{D} = \sigma^{(1)} \left( \frac{\partial}{\partial r} + \Gamma_{r} \right) + \sigma^{(2)} \frac{1}{r} \left( \frac{\partial}{\partial \theta} + \Gamma_{\theta} \right) + \sigma^{(3)} \frac{1}{r \sin(\theta)} \left( \frac{\partial}{\partial \varphi} + \Gamma_{\varphi} \right), $$

то ему придётся откуда-то брать спинорную связность $\Gamma_{r}$, $\Gamma_{\theta}$ и $\Gamma_{\varphi}$. И если он вычислит связность не правильно (или вообще про неё забудет), то квадрат такого оператора $\hat{D}$ не будет равен оператору Лапласа - концы с концами не сойдутся.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #805414 писал(а):

И если он вычислит связность не правильно (или вообще про неё забудет), то квадрат такого оператора $\hat{D}$ не будет равен оператору Лапласа - концы с концами не сойдутся.

Ага. Ну что ж, теперь мне ясно, где собака зарыта. Действительно, получается, что спинор по-простому "сферическим" сделать можно, а вот уравнение Дирака - не совсем.

[schekn]

warlock66613 в сообщении #805574 писал(а):

Ну что ж, теперь мне ясно, где собака зарыта

Может Вы по рабоче-крестьянски объясните , где собака зарыта? Как это относится к теме про эксперименты с поворотами? Имеет ли разница результатов какого-то эксперимента при повороте установки и при повороте частиц, имеющих спин?

[warlock66613]

schekn в сообщении #807215 писал(а):

Может Вы по рабоче-крестьянски объясните , где собака зарыта?

К поворотам это не относится.

schekn в сообщении #807215 писал(а):

Как это относится к теме про эксперименты с поворотами?

Никак не относится. Ну только тем, что тоже связано со спином. Это был разговор, инициированный SergeyGubanov, к сожалению, немножко засоривший эту тему, но очень интересный и познавательный (для меня по крайней мере, а может и ещё для кого-нибудь).

schekn в сообщении #807215 писал(а):

Имеет ли разница результатов какого-то эксперимента при повороте установки и при повороте частиц, имеющих спин?

Имеет. Как минимум, существует вот это эксперимент:

Paganel в сообщении #803670 писал(а):

Реальный эксперимент с нейтронной интерференцией был тоже сделан:
Werner et al. Phys. Rev. Lett. 35(1975)1053.
"Observation of the Phase Shift of a Neutron Due to Precession in a Magnetic Field".
Он подтвердил ожидаемое изменение знака волновой функции нейтрона из-за вращения его спина на 360 град в магнитном поле.

[bayak]

warlock66613 в сообщении #805574 писал(а):

Ага. Ну что ж, теперь мне ясно, где собака зарыта. Действительно, получается, что спинор по-простому "сферическим" сделать можно, а вот уравнение Дирака - не совсем.

(Оффтоп)

Если Вас интересует тема "сферического" спинора, то можете заглянуть в самый конец вот этой работы. Правда там речь идёт о семимерной сфере.

[warlock66613]

(Оффтоп)

bayak в сообщении #807323 писал(а):

Если Вас интересует тема "сферического" спинора, то можете заглянуть в самый конец вот этой работы
. Правда там речь идёт о семимерной сфере.

Я это уже видел. Не впечатлило.

[bayak]

warlock66613 в сообщении #807336 писал(а):

(Оффтоп)

bayak в сообщении #807323 писал(а):

Если Вас интересует тема "сферического" спинора, то можете заглянуть в самый конец вот этой работы
. Правда там речь идёт о семимерной сфере.

Я это уже видел. Не впечатлило.

(Оффтоп)

Вы этого не могли видеть -- только что добавил