твердое тело

[Munin]

hurtsy в сообщении #803443 писал(а):

Понятие твердое тело используется в другой механике - механика сплошной среды.

Есть два понятия: твёрдое тело и упругое тело. Точнее, даже три: твёрдое тело в классической механике - это одно (rigid body), а в физике твёрдого тела - другое (solid state).

[hurtsy]

Munin в сообщении #803444 писал(а):

Есть два понятия: твёрдое тело и упругое тело. Точнее, даже три: твёрдое тело в классической механике - это одно (), а в физике твёрдого тела - другое (solid state).

И что rigid body может быть системой двух материальных точек.
ТС вопрошал

Цитата:

Является ли данная система точек твердым телом?

.

[Oleg Zubelevich]

по определению система двух точек не является твердым телом, я примитивизировал ситуацию, что бы можно было обсудить более содержательные вещи. Хотя в некоторых книжках отрезок называют вырожденым твердым телом. В сформулированной теореме, тоже, разумеется, точки не лежат на одной прямой.

[Munin]

hurtsy в сообщении #803451 писал(а):

И что rigid body может быть системой двух материальных точек.

Ну, в принципе, почему бы и нет, гантель. Арнольд, например, против такого случая не возражает.

[hurtsy]

Oleg Zubelevich в сообщении #803460 писал(а):

я примитивизировал ситуацию, что бы можно было обсудить более содержательные вещи. Хотя в некоторых книжках отрезок называют вырожденым твердым телом.

Имеете право. Имхо, любое конечное множество материальных точек можно назвать вырожденным твердым телом. Но под обсуждаемое определение может подойти ламинарный поток несжимаемой жидкости. Цель моего сообщения доказать самому себе , что читать я умею.

Munin в сообщении #803486 писал(а):

почему бы и нет, гантель. Арнольд, например, против такого случая не возражает.

Я и без такой "железной" аргументации согласен. В принципе, даже не привлекая авторитет Арнольда, и двойную звездную систему можно моделировать двумя материальными точками. А что полезного будет(в смысле получения новой информации) от такой дискусии? Могу повториться, я нисколько не сомневаюсь в професионализме участников.
С уважением,

[maisvendoo]

Прочитал все 4 страницы, не совсем понимаю, в чем предмет дискуссии.

Пусть две точки с массами $m_1$ и $m_2$ движутся так, что $\left|\vec{r}_1 - \vec{r}_2\right| = l$. Применив к данной системе формализм Лагранжа 1-го рода можно получить как движение системы, так и то, что на обе точки будут действовать встречно направленные и равные по модулю силы $\vec{S} = -\vec{S}'$, являющиеся функциями координат и скоростей точек. Такая система будет двигаться точно так же как и твердое тело массы $m_1 + m_2$ с центром масс в точке $\vec{r}_C = \cfrac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$, к ней будут применимы все уравнения динамики твердого тела (нетрудно расчитать и тензор инерции). Но это совершенно не означает, вернее из применимости теорем, не следует то что данная система есть твердое тело. Её можно определить только как систему с внутренними силами, заданными законом, вытекающим из уравнения связи. Как-то так.

Вообще говоря, телом в теоретической механике называют материальный объект, размерами которого нельзя пренебречь в данных условиях движения. А уж абсолютно твердое или деформируемое оно, это уже другой вопрос.

Мое мнение - предмет обсуждения - система материальных точек, с действующими между ними внутренними силами специфического характера.

[Munin]

hurtsy в сообщении #803530 писал(а):

В принципе, даже не привлекая авторитет Арнольда, и двойную звездную систему можно моделировать двумя материальными точками.

Можно, но уже не твёрдым телом.

hurtsy в сообщении #803530 писал(а):

А что полезного будет(в смысле получения новой информации) от такой дискусии? :-)

$\varnothing$

Впрочем, Oleg Zubelevich любит такие дискуссии заводить и провоцировать. Как он говорит, "лулзы собирает". Целенаправленно вредительское поведение по отношению к форуму, нацеленному на добрые цели.

[Oleg Zubelevich]

maisvendoo
я понимаю смысл так. Рассмотрим задачу цитированную в посте post802411.html#p802411
вторую версию этой задачи -- со следящей силой.

Для того чтоб правильно написать уравнения, мы можем действовать двумя способами.
1) рассматриваем две точки по отдельности и пишем их уравнения движения.
2) рассматриваем две точки как твердое тело, но при этом считаем силу $R$ активной (как и силу $F$, разумеется).
В первом случае мы имеем дело с системой с 2 степенями свободы, во втором случае 1 степень свободы.
Выгда второго пути очевидна. Можно даже уравнение Лагранжа написать.
мораль, как я ее понимаю, состоит в том, что правильный учет сервосвязи позволяет уменьшить количество степеней свободы системы

[maisvendoo]

Oleg Zubelevich в сообщении #803572 писал(а):

2) рассматриваем две точки как твердое тело, но при этом считаем силу $R$ активной (как и силу $F$, разумеется).

Стоп. А почему только одна сила? А на другую точку не будет действовать одновременно и сила $-\vec{R}$? Должна, согласно 3-й аксиоме динамики.

Oleg Zubelevich в сообщении #803572 писал(а):

В первом случае мы имеем дело с системой с 2 степенями свободы, во втором случае 1 степень свободы.

Степеней свободы тут пять выходит - шесть декартовых координат точек минус одно уравнение связи. Или нет?

Кстати, у свободного твердого тела 6 степеней свободы, так как его положение задается декартовыми координатами 3-х точек (9 координат) которые связаны тремя уравнениями по условию постоянства расстояния между ними (3 связи).

Так что эти две точки со связью как-то не вписываются в понятие твердого тела.

[Oleg Zubelevich]

maisvendoo в сообщении #803577 писал(а):

Кстати, у свободного твердого тела 6 степеней свободы, так как его положение задается декартовыми координатами 3-х точек (9 координат) которые связаны тремя уравнениями по условию постоянства расстояния между ними (3 связи).

Вы хорошо осведомлены, молодец. Если хотите разговаривать дальше, то прочитайте сперва пост, на который я сослался.

[maisvendoo]

Прочел. То есть одна точка просто копирует закон движения другой? (при учете что рассматривается прямолинейное движение)

[Oleg Zubelevich]

при этом обе точки находятся на прямой, так сколько там степеней свободы?

[maisvendoo]

У каждой точки по одной степени свободы.
Но это не твердое тело. Просто две точки, движущиеся по одинаковому закону

Хотя если рассмотреть такое определение

А. А. Яблонский. Курс теоретической механики писал(а):

Системой материальных точек, или механической системой, называют такую совокупность точек, в которой положение или движение каждой точки зависит от положения и движения всех остальных

то под понятие системы данная совокупность подпадает, так как положение одной точки зависит от положения другой. Причем эта система будет двигаться как поступательно движущееся под действием силы $R + F$ твердое тело. В данном случае эти движения будут не отличимы.

А что будет в пространственной постановке?

[maisvendoo]

Попытаюсь показать, что данная система не является твердым телом. Рассмотрим задачу.

Точка $M_1$ движется по горизонтальной оси прямолинейно по произвольному закону $x\left(t\right)$. Точка $M_2$ движется под действием следящей силы, так, что остается все время на одном и том же расстоянии от $M_1$ равном $l$. Таким образом, точка $M_2$ будет двигаться относительно $M_1$ по окружности, причем закон движения по окружности так же может быть произвольным, зададим его углом поворота $\varphi\left(t\right)$ отрезка $M_1 M_2$


Найдем ту силу, которая должна действовать на точку $M_2$ чтобы обеспечить такое движение, то есть решим первую задачу динамики. Закон движения точки $M_2$

$x_2 = x + l\cos \varphi$

$y_2 = l\sin \varphi$

Дифференцируя (1) и (2) дважды по времени и умножая на массу точки $M_2$, получим проекции следящей силы на оси координат

$R_x = m_2\left(\ddot{x} - l\ddot{\varphi}\sin \varphi - l\dot{\varphi}^2\cos \varphi \right)$

$R_y = m_2\left(l\ddot{\varphi} \cos\varphi - l\dot{\varphi}^2\sin\varphi\right)$

Теперь предельно упростим задачу, допустим что точка $M_1$ движется равномерно, соотвественно к ней не приложено никаких сил. Зависимость угла поворота от времени сделаем равной $\varphi\left(t\right) = \omega t$, то есть вращение так же будет равномерным. В этом случае имеем приложенную к точке $M_2$ следящую силу

$R_x = -m_2l\omega^2\cos\omega t$

$R_y = -m_2l\omega^2\sin\omega t$

то есть она будет всегда направлена из точки $M_2$ в точку $M_1$.

Центр масс $C$ данной системы будет расположен на прямой, соединяющей точки и будет равномерно вращаться по окружности относительно $M_1$. Линия действия следящей силы будет проходить через точку $C$.

А теперь представим себе твердое тело с массой $m_1 + m_2$ с центром масс в точке $C$ равномерно вращающееся и к которому в точке $M_2$ приложена внешняя сила $\vec{R}$ полученая нами выше. Как будет оно двигаться под действием этой силы?

Согласно теореме о движении центра масс

$\left(m_1 + m_2\right)\ddot{x}_C = -m_2l\omega^2\cos\omega t$

$\left(m_1 + m_2\right)\ddot{y}_C = -m_2l\omega^2\sin\omega t$

Интегрируя данную систему, получим

$x_C = \cfrac{m_2}{m_1 + m_2}l\cos\omega t + \dot{x}_{C 0}t + x_{C 0}$
$y_C = \cfrac{m_2}{m_1 + m_2}l\sin\omega t + \dot{y}_{C 0}t + y_{C 0}$

Продолжение следует...

P.S.: Завтра допишу, устал на работе и так, спать надо...

[Утундрий]

maisvendoo в сообщении #803595 писал(а):

Но это не твердое тело. Просто две точки, движущиеся по одинаковому закону

Однако, существует Зубелевич-твёрдое тело, которое движется точно так же. Неужели оно напрасно "точно так же" движется и из этого ничего такого "фундаментального" не проистекёт?