твердое тело

[maisvendoo]

Собственно в рассуждениях выше следует читать так, для траектории центра масс "эквивалентного" данной системе твердого тела

$x_C = \cfrac{m_2}{m_1 + m_2}l\cos\omega t + C_1t + C_2$

$y_C = \cfrac{m_2}{m_1 + m_2}l\sin\omega t + C_3t + C_4$

где $C_1,\cdots, C_4$ - константы, определяемые из начальных условий.

Закон движения центра масс исходной системы точек

$x_C = x_0 + Vt +\cfrac{m_2}{m_1 + m_2}l\cos\omega t$

$y_C = \cfrac{m_2}{m_1 + m_2}l\sin\omega t$

где $x_0$ - начальное положение точки $M_1$; $V = \operatorname{const}$ - скорость точки $M_1$. Последние уравнения дают нам начальные условия

$x_C\left(0\right) = x_0 + \cfrac{m_2l}{m_1 + m_2}, \dot{x}_C\left(0\right) = V$
$y_C\left(0\right) = 0, \dot{y}_C\left(0\right) = \cfrac{m_2l\omega}{m_1 + m_2}$

Из которые определяем константы интегрирования

$C_1 = V, C_2 = x_0$

$C_3 = C_4 = 0$

Таким образом действительно, указанная система движется как твердое тело, совершающее плоское движение. Однако, как быть с вот этим?

Цитата:

Аксиома: Действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно уравновешивающихся сил.

Следствие: Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии её действия, сохраняя неизменными её модуль и направление.

Итак, если рассматриваемая система - твердое тело, можем мы перенести силу $\vec{R}$ из точки $M_2$ в $M_1$ вдоль линии её действия?

Нет. Тогда сила $\vec{R}$ будет действовать на точку $M_1$ и она уже не будет двигаться равномерно. Точка $M_2$, напротив, станет двигаться равномерно, с той скоростью, что она имела в момент "снятия" с неё силы $\vec{R}$. Кинематическое состояние системы изменится. Какое же это твердое тело?

[maisvendoo]

Ещё одно рассуждение на данную тему.

Пусть данная система является твердым телом. Приведу определение

А. А. Яблонский. Курс теоретической механики, том 1, стр. 8 писал(а):

Совокупность нескольких сил, действующих на данное тело, называется системой сил

Рассмотрим вышеприведенный пример, считая данную систему твердым телом. Данное твердое тело совершает плоское движение, под действием приложенной в точке $M_2$ силы $\vec{R}$, удовлетворяющей приведенным выше условиям, т.е. обеспечивающей указанную сервосвязь (рисунок 1.)


Согласно приведенной выше аксиоме, добавим систему сил $\left(\vec{R}',\vec{R}''\right)$ эквивалентную нулю, такую, что $\vec{R}'' = \vec{R}$, а $\vec{R}' = -\vec{R}$ (рисунок 2). Сервосвязь отреагирует на появление силы $\vec{R}''$ приложенной к точке $M_1$, система продолжит двигаться как твердое тело, однако точка $M_1$ не будет уже двигаться равномерно прямолинейно, а точка $M_2$ начнет двигаться равномерно прямолинейно, так как приложенная к ней система сил $\left(\vec{R},\vec{R}'\right)$эквивалентна нулю. Значит кинематическое состояние системы изменится и аксиома не справедлива.

Получается, что "систему сил" приложенную к данному "твердому телу" нельзя, например, привести к простейшему виду. Все потому, что это не есть твердое тело, а рассматриваемые нами силы не образуют систему сил.

В этой связи, понижение порядка системы уравнений движения данной системы за счет указанного ТС предположения выглядит сомнительным

В приведенном в post802411.html#p802411 фрагменте, кстати, сказано, что с вводом указанной сервосвязи система движется "с иным ускорением". Там так же называют введенное усилие сервосвязи $\vec{R}$ реакцией, а она таковой не является, ибо будет активной силой.

P.S.: И, да, идеальной называют связь, реакция которой не совершает работы.

[Oleg Zubelevich]

Рассмотрим систему материальных точек $M_1,\ldots,M_N$ массами $m_1,\ldots, m_N$ с радиус-векторами $r_1,\ldots,r_N$. Через $S$ обозначим центр масс системы.
Через $F_i,\quad i=1,\ldots,N$ обозначим силу, которая действует на $i$ точку.

Теорема. Предположим, что под действием указанных сил во все время движения между точками сохраняются соотношения

$$|r_i-r_j|=const_{ij}>0,\quad i\ne j,\quad i,j=1,\ldots,N$$

и все точки не лежат на одной прямой.
Тогда угловая скорость $\omega(t)$ репера связанного с системой точек и скорость $v_S(t)$ центра масс данной системы удовлетворяют уравнениям движения твердого тела состоящего из точек $m_1,\ldots, m_N$ и находящегося под действием сил $F_i$:

$$m\dot v_S=\sum F_k,\quad \dot K_S=\sum[SM_k,F_k],\quad K_S=J_S\omega,\quad m=\sum m_i.$$

Доказательство: осталвяется читателю за очевидностью.

-- Пт дек 20, 2013 14:40:55 --

лень мне черточки всюду ставить, думаю, что и так понятно где вектор , а где нет

[maisvendoo]

Я не утверждал, что движение системы не будет удовлетворять уравнениям движения твердого тела.
Я утверждаю что, что над имеющимися силами невозможно их эквивалентное преобразование, возможное над системой сил, приложенных к твердому телу

[Oleg Zubelevich]

maisvendoo в сообщении #803887 писал(а):

Я утверждаю что, что над имеющимися силами невозможно их эквивалентное преобразование, возможное над системой сил, приложенных к твердому телу

кто бы спорил




я сформулировал теорему в ответ на это:

maisvendoo в сообщении #803808 писал(а):

понижение порядка системы уравнений движения данной системы за счет указанного ТС предположения выглядит сомнительным

[maisvendoo]

В стартовом сообщении Вы спросили - является ли указанная система твердым телом? Я ответил - нет, не является.

Oleg Zubelevich в сообщении #803865 писал(а):

$$m\dot v_S=\sum F_k,\quad \dot K_S=\sum[SM_k,F_k],\quad K_S=J_S\omega,\quad m=\sum m_i.$$

Приведенные соотношения справедливы и без обеспечения постоянства расстояний между точками - это общие теоремы динамики механической системы. В чем новаторский подход?

[Oleg Zubelevich]

maisvendoo в сообщении #803894 писал(а):

Приведенные соотношения справедливы и без обеспечения постоянства расстояний между точками - это общие теоремы динамики механической системы. В чем новаторский подход?

очевидно в том, что вы умудрились ввести вектор угловой скорости для произвольной системы точек

[maisvendoo]

В первых двух соотношениях не обязательно вводить данный вектор. Они - теорема о движении ЦМ и об изменении МКД механической системы соответственно. И потом, не я выписывал данные соотношения. Не надо ерничать.

Совпадение уравнений движения не дает основания считать приведенную Вами систему свободных точек с приложенными к ним активными силами твердым телом.

[Oleg Zubelevich]

В случае произвольной системы точек теоремы об изменении кин. момента и о движении центра масс не являются замкнутой системой ДУ, а в рассматриваемом случае -- являются. И совершенно очевидное наблюдение изложенное в теореме позволяет рассматривать не N штук уравнений второго порядка, как в общем случае, а 6 уравнений второго порядка, как в случае твердого тела. Только и всего.

[maisvendoo]

При условии что данная система не является твердым телом

[Munin]

maisvendoo в сообщении #803911 писал(а):

Не надо ерничать.

Oleg Zubelevich именно за этим на форум и ходит. Отговаривать бесполезно.

[schoolboy]

Что-то никто не заинтересовался моим предыдущем постом. Попробую еще раз: изменится ли движение системы, если мы соединим материальные точки невесомым твердым стержнем? Очевидно, если сервомеханизм поддерживает расстояние точно, то движение почти не изменится. Если оно совсем не изменится, то есть, мы не замечаем - есть твердый стержень или нет, то нам нет необходимости различать эти случаи, но очевидно, что материальные точки, соединенный твердым стержнем это твердое тело.
Я написал, что почти не изменится, вовсе не подразумевая под этим неточности реального сервомеханизма. Если мы берем идеальное твердое тело, то, разумеется, можно иметь и идеальный сервомеханизм.

Так вот, изменения будут в одной тонкости. После соединения отрезком нельзя будет проехаться между точками по определенным траекториям. Причем какой бы “твердой кривой” мы не соединяли точки всегда какие-то движения, которые были возможны, станут невозможными. То есть мы меняем топологию системы. Но в механике топология явно не определяется, нет такого в определении твердого тела, что в любой окрестности его точки должны быть другие точки этого же твердого тела.

[maisvendoo]

schoolboy в сообщении #803979 писал(а):

изменится ли движение системы, если мы соединим материальные точки невесомым твердым стержнем?

Не изменится. Если точки движутся так, что расстояние между ними будет равно длине этого стержня.

[Munin]

schoolboy в сообщении #803979 писал(а):

Попробую еще раз: изменится ли движение системы, если мы соединим материальные точки невесомым твердым стержнем?

Здесь есть неопределённость. Допустим, по второй точке кто-то стукает. Какая часть этой силы будет взята на себя сервомеханизмом, а какая передастся стержнем первой точке?

[schoolboy]

Munin в сообщении #804153 писал(а):

Здесь есть неопределённость. Допустим, по второй точке кто-то стукает. Какая часть этой силы будет взята на себя сервомеханизмом, а какая передастся стержнем первой точке?

Речь идет о классической механике, то есть скорость распространения сигналов бесконечна, мощность двигателей сервомеханизма всегда можно взять такой, чтобы измерениями нельзя было обнаружить изменение расстояний даже при постукивании (ведь стержень можно считать измерительным прибором, который при бесконечно малом изменении расстояния дает конечную силу реакции).

Я хочу всем этим сказать, что не надо в определение твердого тела добавлять ничего кроме требования постоянства расстояний между точками. Сермяга в том, что силы в классической механики аддитивны, и можно произвольно разлагать силу на составляющие. Поэтому я могу всегда сказать, что две точки соединены твердым стержнем, но силы реакции равны нулю, так что они идеальны. А силы прикладываемые сервомеханизмом просто силы, которые каким-то другим образом учитываются в уравнениях. Разумеется для инженеров, разрабатывающих сервомеханизмы, это не так, но при чём тут классическая механика?