Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[STilda]

bot писал(а):

STilda писал(а):

Да, Вы правы, я прохлопал ушами ). Правильно будет 0/1/2

Нет, неправильно. Я намеренно не называл объекта, теперь называю - это колер, созданный смешиванием красок. Если среди базовых красок есть зависимость, то говорить об интенсивности красок в колере бессмысленно - эту мысль и хотел донести PAV.
Чтобы придать ей смысл, нужно один из цветов убрать и интенсивность задавать в терминах оставшихся цветов, но тогда возникает некоторое затруднение, преодоление которой потребует факторизации по некоторой эквивалентности и выльется во введение отрицательных интенсивностей. Например, если мы выберем за базис краски B и C, то 3:2:1 ~ 0:-1:-2.
Заметим, что умножать последнее на -1 бессмысленно - в нашей модели эквивалентность не выдерживает такого действия.

Честно говоря, я Вас не понял. Почему не правильно? Какая зависимость? Если есть зависимость, скажите как выразить краску A через краски B и C. На результирующий цвет не влияют те количества красок, которые взаимокомпенсируются. В этом противоречие разве?

AD писал(а):

STilda писал(а):

Да, так вот )), вопрос остался такой. Как ввести понятие сопряженного числа в системе1?

Ну я бы поменял местами коэффициенты при $B$ и $C$. Тем более что это соответствует комплексному сопряжению при изоморфизме

А что нам даст такое сопряжение?

PAV писал(а):

Сами по себе определения и аксиомы мало кого интересуют. Интерес возникает тогда, когда на этой основе удается построить богатую теорию...

Да, я и не занимаюсь сей час раздуванием мат аппарата на этих аксиомах. Хочу сначала понять, нужно ли это, будут ли принципиальные отличия и новые возможности. Если не будет, то и не буду ничего расстраивать.

Те аксиомы, которые я приводил, не относятся к какой либо системе. Они - то, что используется для построения любой системы, иногда как само собой разумеещееся иногда нет. Пример системы построенный на них - система1. Теперь ее можно рассматривать как аксиомы для вывода теорем и постройки трехполярного мат. аппарата. Сей час я этим не занимаюсь, а хочу понять, есть ли в этом смысл и что это может дать нового.

Свойства и смысл "взаимодействия" могут конкретизироваться в различных системах по-разному. Если это операция, то она в одной системе может оказаться 2-арная, в другой - будет 3-арная, в третьей - некая комбинация и таких и таких. Главное, что это не противоречит в построенной системе.

[PAV]

STilda писал(а):

А что нам даст такое сопряжение?

Оно соответствует операции сопряжения комплексных чисел. А вообще-то надо начинать с того, чего Вы хотите от операции сопряжения? Вообще-то операции обычно не вводят только потому, что в других системах есть подобные. Операции обычно возникают естественным образом в ходе исследования системы. Далее уже когда нужно эту операцию как-то назвать, тут можно подумать - сочинять ли для нее новый термин или использовать какой-либо из существующих, если наблюдается определенное сходство или связь между ними. Понятий "сопряжения" в математике много разных: для комплексных чисел, для функций, для матриц, для операторов, для уравнений...

STilda писал(а):

Хочу сначала понять, нужно ли это, будут ли принципиальные отличия и новые возможности.

Я пока не вижу ни принципиальных отличий, ни каких-то новых возможностей. Но не исключено, что для того, чтобы их увидеть, необходимо все-таки начать строить теорию. Из одних только аксиом сказать довольно трудно.


Мне, кстати, не очень понятна Ваша цветовая интерпретация. Если, скажем, взять стандартную в компьютерной технике шкалу RGB, то комбинации (0,0,0) соответствует черный цвет, а комбинации (255,255,255) - белый. В Вашей системе черного цвета не предполагается вообще? И зачем вообще для цветов вводить умножение, какой в этом содержательный смысл? А ведь сопряжение довольно тесным образом связано именно с умножением.

Ваши же идеи с полярностями пока что довольно сильно напоминают обычное векторное пространство (ну или алгебру, если уж хочется и умножение иметь). Разложение вектора по базису, линейная зависимость как аналог взаимной компенсации определенных полярностей... Все довольно похоже.

[bot]

STilda писал(а):

bot писал(а):

STilda писал(а):

Да, Вы правы, я прохлопал ушами ). Правильно будет 0/1/2

Нет, неправильно. Я намеренно не называл объекта, теперь называю - это колер, созданный смешиванием красок. Если среди базовых красок есть зависимость, то говорить об интенсивности красок в колере бессмысленно - эту мысль и хотел донести PAV.
Чтобы придать ей смысл, нужно один из цветов убрать и интенсивность задавать в терминах оставшихся цветов, но тогда возникает некоторое затруднение, преодоление которой потребует факторизации по некоторой эквивалентности и выльется во введение отрицательных интенсивностей. Например, если мы выберем за базис краски B и C, то 3:2:1 ~ 0:-1:-2.
Заметим, что умножать последнее на -1 бессмысленно - в нашей модели эквивалентность не выдерживает такого действия.

Честно говоря, я Вас не понял. Почему не правильно? Какая зависимость? Если есть зависимость, скажите как выразить краску A через краски B и C. На результирующий цвет не влияют те количества красок, которые взаимокомпенсируются. В этом противоречие разве?

Конечно не влияют - о том и речь. Вы ведь вроде интенсивности во всяком случае складывать хотите? А как Вы это сделаете? Вот возьмёте два колера 0:1:2, 2:1:0 и сложим их в равных количествах? Что получим? Получим колер 2:2:2, который "отождествляется" с колером 0:0:0. А что означает отождествляется? Не сочтите за занудство, но это означает, что на множестве всех колеров введено отношение эквивалентности:
a:b:c ~ a':b':c' iff найдётся d, такое, что a=a'+d, b=b'+d, c=c'+d или наоборот a'=a+d, b'=b+d, c'=c+d
Класс, содержащий колер a:b:c, обозначим $b-a/c-a$. Тогда, например,
$\overline{0:1:2}+\overline{2:1:0}=\overline{2:2:2}=\overline{0:0:0}$,
что то же самое в обозначениях для классов выглядит так:
$\overline{0:1:2}=1/2 \ \ \overline{2:1:0}=-1/-2$ и $1/2 + -1/-2 = 0/0$
Пройдя через это занудство, мы можем уже с чистой совестью ввести отрицательные интенсивности, выбросив один из цветов. Если выбрасываем цвет A, то в колере aA+bB+cC заменяем A на -B-C и получаем колер (b-a)B + (c-a)C, при этом коэффициенты b-a и c-a могут оказаться и отрицательными. Например колер -2/-3 будет означать, что достаточно взять краски A, B, C в пропорции 3:1:0, но можно и добавить к ним самоликвидирующуся смесь без изменения результата.

[STilda]

PAV писал(а):

Я пока не вижу ни принципиальных отличий, ни каких-то новых возможностей. Но не исключено, что для того, чтобы их увидеть, необходимо все-таки начать строить теорию. Из одних только аксиом сказать довольно трудно.

Примерно та же ситуация.

PAV писал(а):

Оно соответствует операции сопряжения комплексных чисел. А вообще-то надо начинать с того, чего Вы хотите от операции сопряжения? Вообще-то операции обычно не вводят только потому, что в других системах есть подобные. Операции обычно возникают естественным образом в ходе исследования системы. Далее уже когда нужно эту операцию как-то назвать, тут можно подумать - сочинять ли для нее новый термин или использовать какой-либо из существующих, если наблюдается определенное сходство или связь между ними. Понятий "сопряжения" в математике много разных: для комплексных чисел, для функций, для матриц, для операторов, для уравнений...

Тоже согласен. Но думал, что понятию "сопряженность" есть какое-то контексно-независимое определение.

PAV писал(а):

Мне, кстати, не очень понятна Ваша цветовая интерпретация. Если, скажем, взять стандартную в компьютерной технике шкалу RGB, то комбинации (0,0,0) соответствует черный цвет, а комбинации (255,255,255) - белый. В Вашей системе черного цвета не предполагается вообще? И зачем вообще для цветов вводить умножение, какой в этом содержательный смысл? А ведь сопряжение довольно тесным образом связано именно с умножением.

Цветовая интерпретация в данном случает относится лишь к сложению. Использую её, чтобы показать, что есть в реальности трехполярная компенсация, и она к двойной не сводится.
Сложение, умножение, <еще нечто>, ... призваны отражать разные по физической сути взаимодействия в реальности.
Есть субтрактивное и адитисное слияние цветов, например.
Для света есть эффект такой, что в складках зеленого полотна можна заметить оттенок красного. Некое отличное от тех двух взаимодействие. Захотим строить модель со всеми этими взаимодействиями вместе, будем вынуждены вводить сложение, умножение, решёточку...
Система1 целиком не отвечает законам цветов. Потому про интерпретацию умножения не идет речь, про отражение других законов цветов тоже не идет.

bot писал(а):

Конечно не влияют - о том и речь. Вы ведь вроде интенсивности во всяком случае складывать хотите? А как Вы это сделаете? Вот возьмёте два колера 0:1:2, 2:1:0 и сложим их в равных количествах? Что получим? Получим колер 2:2:2, который "отождествляется" с колером 0:0:0. А что означает отождествляется? Не сочтите за занудство, но это означает, что на множестве всех колеров введено отношение эквивалентности:
a:b:c ~ a':b':c' iff найдётся d, такое, что a=a'+d, b=b'+d, c=c'+d или наоборот a'=a+d, b'=b+d, c'=c+d
Класс, содержащий колер a:b:c, обозначим $b-a/c-a$. Тогда, например,
$\overline{0:1:2}+\overline{2:1:0}=\overline{2:2:2}=\overline{0:0:0}$,
что то же самое в обозначениях для классов выглядит так:
$\overline{0:1:2}=1/2 \ \ \overline{2:1:0}=-1/-2$ и $1/2 + -1/-2 = 0/0$
Пройдя через это занудство, мы можем уже с чистой совестью ввести отрицательные интенсивности, выбросив один из цветов. Если выбрасываем цвет A, то в колере aA+bB+cC заменяем A на -B-C и получаем колер (b-a)B + (c-a)C, при этом коэффициенты b-a и c-a могут оказаться и отрицательными. Например колер -2/-3 будет означать, что достаточно взять краски A, B, C в пропорции 3:1:0, но можно и добавить к ним самоликвидирующуся смесь без изменения результата.

Да, не спорю с Вами, можна и в таком виде представлять... Но хочу заметить, Вы убрали $A$, но зато добавили $-$. И изменили правила записи. Но что это поменяло? Правила сложения и умножения все равно диктуются системой1.

[AD]

STilda писал(а):

Тоже согласен. Но думал, что понятию "сопряженность" есть какое-то контексно-независимое определение.

Неа, нету. Все эти понятия, которые перечислил PAV, очень-очень разные. Общее разве лишь то, что они означают какую-то связанность каких-то двух объектов данного класса.

Знаете, я хочу прояснить еще одну вещь, боюсь, я этого так и не донес. К построению моделей можно подходить двумя способами, и, мне кажется, вы их смешиваете.

Первый подход - собственно построить модель "руками". Берете нужные множества, факторизуете, декартово-перемножаете, и то, что получилось - говорите, что это мы и хотели. Типа вот "система1 - это такая тройка $\Bigl(\mathbb{R}^3/\sim,\ +,\ *\Bigr)$, где $\sim$ - отношение эквивалентности, отождествляющее $(a,b,c)$ и $(a+d,b+d,c+d)$, $+$ - операция покомпонентного "сложения", $*$ - операция "умножения", задаваемая такими-то формулами. После этого мы внимательно смотрим на формулы - и удивляемся: о, да у нас ведь умножение коммутативно! Надо же, а я и не думал, что так получится!

Точно так же задаются и действительные числа: это десятичные дроби (последовательности цифр, запятых, плюсиков или минусиков (:!: три последние штуки тоже при желании можно закодировать цифрами, чтобы вы не спрашивали, что такое плюс или минус), где запятая лишь одна и не первая, считаемые эквивалентными по правилу $(x,\ldots y999999\ldots)\sim(x,\ldots(y+1)000000\ldots)$, на которых вводится сложение, умножение, метрика, порядок так-то и так-то (в школе проходили как), а потом смотрим и удивляемся - о, да у нас полное архимедово-упорядоченное поле получилось. Теперь можно определить свойство $+$ - это когда число больше нуля в смысле введенного в школе порядка.

Второй подход - вы выписываете список аксиом, а потом говорите: вот если объект удовлетворяет этим аксиомам, то он мне подходит. Это, конечно, никакое не построение. Здесь на вас ложится тяжесть доказательства непротиворечивости аксиоматики, которое на практике как раз выражается в том, что вы строите объект "руками", первым способом. Но зато у вас получается большой бонус, если объект оказывается не единственным. Тогда вся ваша теория будет работать для всех объектов, удовлетворяющих аксиомам. Чем больше аксиом, тем богаче теория, но тем меньше объектов вам удастся исследовать.

[STilda]

AD писал(а):

три последние штуки тоже при желании можно закодировать цифрами, чтобы вы не спрашивали, что такое плюс или минус

)) Кодируйте как хотите, а от законов (+)*(+)=(+), (-)*(-)=(+), (+)*(-)=(-) никуда не денетесь... Только перенесете в другие обозначения и условности...
(Уточнение: законы можно заменить на другие, тоже не противоречивые. Для двух элементов (плюса и минуса), "таблиц умножений" не так уж и много. При "хороших условиях": всего - 8, непротиворечивых - 4, из них две "с нулем" и две с единицей).

Дальше идет интересное мне наблюдение...
Допустим есть две изоморфные системы. Например, одна из них - действительные/комплексные числа. Берем в этой системе какой-то объект. Пусть будет $sin(x)$. Ему будет соответствовать объект второй системы. В другой системе это тоже будет $sin(x)$. Две изоморфные системы равноправны относительно друг друга. Значит объекты $sin(x)$ тоже равноправны. Если не выходить за пределы будь то первой или будь то второй системы, тоесть, рассматривать систему изолированно от другой, $sin(x)$-ы будут неразличимы.

Добавлено спустя 8 минут 43 секунды:

А теперь я возьму систему, часть которой изоморфна действительным числам. В ней тоже будет $sin(x)$. Интересно, можно ли как-то оперируя в этой части, вылезти за ее пределы... Изоморфизм кажется не даст... Но хочется как-то это сделать... Например корень извлечь какой-нибудь... (Это мысли в слух...)

[PAV]

Изоморфизм систем существует не абстрактно сам по себе, а только относительно каких-то операций, которые в этих системах ведут себя одинаково. Например, когда мы говорим об изоморфизме Вашей системы1 и поля комплексных чисел, то имеется в виду только сохранение операций сложения и умножения.

Но ничего не мешает, вообще говоря, вводить новые операции. Правда, если системы изоморфны полностью, то операцию, заданную на одной, можно перенести на другую просто используя этот самый изоморфизм (например, Вы можете определить в системе1 "модуль" т-числа и "аргумент" т-числа, позаимствовав их из комплексных чисел).

Но если лишь часть одной системы изоморфна другой (относительно, например, операций сложения и умножения), то, разумеется, можно изобрести операцию, которая выводит нас из этой части и, разумеется, по этой причине не может быть перенесена на другую систему. Например, возьмем подмножество комплексных чисел без мнимой части. Они тривиальным образом изоморфны полю вещественных чисел. Но, разумеется, можно рассмотреть операции, которые выводят нас из этого множества.

[STilda]

А можно ли в части системы получить некоторое соотношение, которое можно доказать лишь использую всю систему? Например в действительных числах получить формулу, равенство, которое можно доказать только "с выходом" в комплексную область?

[PAV]

Существуют утверждения, которые значительно проще доказать, используя некоторые расширения системы. Ну, скажем, что любой многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить на множители степени 1 и 2 - это легко получить, если использовать наличие комплексных корней. Многие вещественные интегралы легко взять, используя интегрирование по подходящему замкнутому контуру в комплексной области. Общепринятые сейчас доказательства результатов о распределении простых чисел тоже основаны на комплексном анализе.

Я не могу утверждать, что эти доказательства нельзя получить без выходов за границу системы. В конечном итоге все утверждения о вещественных числах можно вообще перевести на язык арифметики и действий над целыми числами. Но сложность этих доказательств будет на порядки выше.

[STilda]

Да, понятно. Интересен случай невозможности доказательства в одной системе и возможности в другой.

[AD]

STilda писал(а):

Кодируйте как хотите, а от законов (+)*(+)=(+), (-)*(-)=(+), (+)*(-)=(-) никуда не денетесь...

А вы не просили никуда деваться. Я просто дал определение понятий + и -. А вы, видимо, думаете, что они неопределяемые, и поэтому заявляете, что и A,B,C тоже можно не определять. Вполне можно определять действительные числа, не вводя никаких плюсов и минусов. Вообще, сами "плюс" и "минус" - это не "понятия", это просто буквы в записи, ну типа как запятая. "Правило" "минус на минус дает плюс" - это теорема такая.

STilda писал(а):

Пусть будет $sin(x)$. Ему будет соответствовать объект второй системы. В другой системе это тоже будет $sin(x)$.

Не фааакт. Кто вам сказал? Может, в другой системе это будет $cos(x)$. А дальше вообще демагогия идет.

[STilda]

AD писал(а):

STilda писал(а):

Кодируйте как хотите, а от законов (+)*(+)=(+), (-)*(-)=(+), (+)*(-)=(-) никуда не денетесь...

А вы не просили никуда деваться.

А вы и не денетесь никуда. Поменяете законы - и получатся не действительные числа а другие.

Цитата:

Вполне можно определять действительные числа, не вводя никаких плюсов и минусов.

Никто про обозначения и не говорит. Даже я. Определяйте, но в них будут присутствовать законы. Теже законы что и законы взаимодействия плюса с минусом. Можете их не проявлять до такой таблички умножения, от этого ничего не поменяется. Они там будут все равно. Завуалированные за десятком определений. Но все равно будут.

Цитата:

Вообще, сами "плюс" и "минус" - это не "понятия", это просто буквы в записи, ну типа как запятая. "Правило" "минус на минус дает плюс" - это теорема такая.

Это не теорема. Это постулат. И только он по сути и дает нам знать, что такое "плюс". И чем он отличается от "минуса".

Цитата:

Я просто дал определение понятий + и -. А вы, видимо, думаете, что они неопределяемые, и поэтому заявляете, что и A,B,C тоже можно не определять.

Я не думаю что они не определяемые! Я говорю, что они определяются только их табличкой умножения. (Ну и правилами сложения тоже.)
Систему1 можно считать набором постулатов, которые и дают определение A, B, C.
Понятие + и - вы не введете без задания подобных постулатов для них. Мы это уже видели на примере ван дер Вардена, где почти прямым текстом было написано правило (+)*(+)=(+).

Цитата:

STilda писал(а):

Пусть будет $sin(x)$. Ему будет соответствовать объект второй системы. В другой системе это тоже будет $sin(x)$.

Не фааакт. Кто вам сказал? Может, в другой системе это будет $cos(x)$.

Почему же $cos(x)$? Если операции сохраняются, разложим синус в ряд, ему будет такой же ряд соответствовать в изоморфной системе, а он и есть синус в этой другой.

[AD]

Цитата:

Это не теорема. Это постулат. И только он по сути и дает нам знать, что такое "плюс". И чем он отличается от "минуса".

Надоело одно и то же повторять.

Цитата:

Почему же $cos(x)$? Если операции сохраняются, разложим синус в ряд, ему будет такой же ряд соответствовать в изоморфной системе, а он и есть синус в этой другой.

Во-первых, извините, но разложение в ряд - это не алгебраическое понятие.

А во вторых, вы вообще не понимаете, что такое изоморфизм. Вот давайте я определю функцию $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$, $f(z)=\bar{z}$. Это будет изоморфизм $\mathbb{C}$ и $\mathbb{C}$. Но при нем числу $i$ соответствует вовсе не число $i$, а число $-i$. Почему же синусу должен соответствовать синус?

Добавлено спустя 5 минут 55 секунд:

Цитата:

Поменяете законы - и получатся не действительные числа а другие.

А вы и не просили менять законы. А я и не собираюсь. Это ваше дело. А от знаков можно деться.

[STilda]

Хорошо, спасибо. Наверно можно закрывать тему ). Я пошел в раздумия на пол годика...

[shwedka]

STilda писал(а):

Хорошо, спасибо. Наверно можно закрывать тему ). Я пошел в раздумия на пол годика...

А попробуйте за эти полгодика какую-нибудь теоремушку про Ваши небанальные числы доказать.