Эксперименты с поворотами (спин)

[VladimirKalitvianski]

SergeyGubanov в сообщении #801887 писал(а):

О физическом взаимодействии спинорного поля $\Psi$ со спинорным полем $\Psi'$ говорить так же глупо, как о взаимодействии тензорного поля $A^{\mu}$ с тензорным полем $A'^{\mu}$. Это одни и те же поля, но просто взятые в разной калибровке / в разной системе координат /.

По-моему, никто об этом и не говорит. Более того, мы и про калибровку тоже не говорили. Максимум, о чем мы говорили, так это суперпозиция двух спиноров с разными фазами.

[Munin]

Кстати, VladimirKalitvianski, разговор с вами мне оказался полезен, по принципу "объяснил другому - и сам понимать начал". Может, вы ещё не поняли моих объяснений, но зато я для себя кое-что почерпнул. Принцип, что систему приборов нельзя просто построить, а её надо привести в нужное положение физическим поворотом, перекликается с объяснениями Фейнмана в книге "Элементарные частицы и законы физики", которую я очень рекомендую. (Я не говорю о том, что содрал всё буквально у Фейнмана, только потому, что он объяснял этой идеей другие вопросы, но идея, безусловно, его.)

[SergeyGubanov]

VladimirKalitvianski в сообщении #801897 писал(а):

По-моему, никто об этом и не говорит. Более того, мы и про калибровку тоже не говорили. Максимум, о чем мы говорили, так это суперпозиция двух спиноров с разными фазами.

В начале темы речь шла про чувствительность спинорного поля к преобразованиям системы координат. На что я заметил, что спинорное поле преобразований координат не чувствует. Спинорное поле чувствует вращение тетрады в силу изменения из-за этого спинорной связности. Однако, если вращать тетраду, то спинорная связность изменится одинаково для всех спинорных полей. Для всех - это важно. Говорить о суперпозиции спинорных полей с разными фазами можно, но это не имеет отношения к обсуждаемой теме - поворотам. Изменение фазы $\psi$ нейтрона пролетающего через магнитное поле к повороту системы отсчёта тоже не имеет отношения.

[VladimirKalitvianski]

Munin в сообщении #801901 писал(а):

Кстати, VladimirKalitvianski, разговор с вами мне оказался полезен, по принципу "объяснил другому - и сам понимать начал".

Я и сам затеваю обсуждения, чтобы посмотреть на проблемы чужими глазами, так как в обсуждении многому можно научиться и узнать.

-- 16.12.2013, 10:23 --

SergeyGubanov в сообщении #801910 писал(а):

Говорить о суперпозиции спинорных полей с разными фазами можно, но это не имеет отношения к обсуждаемой теме - поворотам.

К поворотам некоей штуковины в одном из плеч интерферометра имеет.

Я так стал это дело понимать, что раз в волновой механике все является источником волны, то важно в каком (относительном) состоянии находится та или иная часть "всего".

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #801910 писал(а):

В начале темы речь шла про чувствительность спинорного поля к преобразованиям системы координат.

Но не про ОТО. Так что ваши вбросы были совершенно нелепы.

SergeyGubanov в сообщении #801910 писал(а):

Изменение фазы $\psi$ нейтрона пролетающего через магнитное поле к повороту системы отсчёта тоже не имеет отношения.

Ну не знаете вы физики, зачем же столь упорно это всем доказывать-то?

-- 16.12.2013 13:25:21 --

VladimirKalitvianski в сообщении #801911 писал(а):

Я так стал это дело понимать, что раз в волновой механике все является источником волны, то важно в каком (относительном) состоянии находится та или иная часть "всего".

Да, есть такой аспект :-)

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #801936 писал(а):

Но не про ОТО. Так что ваши вбросы были совершенно нелепы.

Нелепыми являются ваши представления о трансформационных свойствах спинорного поля. А ОТО тут абсолютно не при чём.

Munin в сообщении #801936 писал(а):

Ну не знаете вы физики, зачем же столь упорно это всем доказывать-то?

Вообще-то, это вы здесь всем доказали своё незнание трансформационных свойств спинорного поля.

[Утундрий]

SergeyGubanov в сообщении #799792 писал(а):

Преобразований системы координат спиноры всё же не чувствуют.

Представление Зоммерфельда? Им уже почти не пользуются.

[SergeyGubanov]

Утундрий в сообщении #802427 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #799792 писал(а):

Преобразований системы координат спиноры всё же не чувствуют.

Представление Зоммерфельда? Им уже почти не пользуются.

Спин - вращение, но надо понимать что именно вращается. А вращается именно тетрада:

$$e^{(a)} = e^{(a)}_{\mu} dx^{\mu},$$

$$ds^2 = \eta_{a b} \, e^{(a)} e^{(b)} = (e^{(0)})^2 - (e^{(1)})^2 - (e^{(2)})^2 - (e^{(3)})^2,$$

$$e'^{(a)} = {\Lambda^{(a)}}_{(b)} \, e^{(b)},$$

$$\eta_{a b} \, {\Lambda^{(a)}}_{(c)} {\Lambda^{(b)}}_{(d)} = \eta_{c d},$$

$$ds'^2 = ds^2.$$

Матрицей ${\Lambda^{(a)}}_{(b)}$ реализуется то, что в терминологии теории групп именуется тензорным представлением группы вращений. В терминологии дифференциальной геометрии матрица ${\Lambda^{(a)}}_{(b)}$ является тензорным полем нулевого ранга (набор скаляров). У неё нет тензорных индексов $\mu$, $\nu$, вместо них у неё тетрадные индексы $(a)$, $(b)$. По отношению к произвольным преобразованиям системы координат $x^{\mu}$ матрица ${\Lambda^{(a)}}_{(b)}$ ведёт себя как набор скаляров. Другими словами: матрица ${\Lambda^{(a)}}_{(b)}$ не чувствует преобразований координат $x^{\mu}$.

То что в теории групп именуется спинорным представлением группы вращений в дифференциальной геометрии, опять же, реализуется с помощью тетрады. Вводятся матрицы Паули $\sigma_{(a)}$ ($\sigma_{(0)}$ - единичная матрица), далее:

$$\hat{e} = e^{(a)} \sigma_{(a)},$$

$$\det{(\hat{e})} = (e^{(0)})^2 - (e^{(1)})^2 - (e^{(2)})^2 - (e^{(3)})^2 = \eta_{a b} \, e^{(a)} e^{(b)} = ds^2,$$

$$\hat{e}' = S \, \hat{e} \, S^{-1},$$

$$\det{(\hat{e}')} = \det{(\hat{e})} \quad \to \quad ds'^2 = ds^2.$$

Матрицей $S$ реализуется то, что в терминологии теории групп именуется спинорным представлением группы вращений. Опять же, в терминологии дифференциальной геометрии матрица $S$ является тензорным полем нулевого ранга (набор скаляров). У неё нет тензорных индексов $\mu$, $\nu$. По отношению к произвольным преобразованиям системы координат $x^{\mu}$ матрица $S$ ведёт себя как набор скаляров. Другими словами: матрица $S$ не чувствует преобразований координат $x^{\mu}$.

Поэтому, вращения тетрады, равно как и "вращения" спинорного поля ни какого отношения к преобразованиям системы координат $x^{\mu}$ не имеют.

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #802509 писал(а):

Спин - вращение, но надо понимать что именно вращается. А вращается именно тетрада

Вот такие взгляды и надо лечить...

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #802537 писал(а):

Вот такие взгляды и надо лечить...

Munin, да не переживайте вы так. Спинорные поля это не так уж и сложно. Сейчас вам это не нужно, а потом когда-нибудь, возможно, и поймёте что это такое.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #802509 писал(а):

Поэтому, вращения тетрады, равно как и "вращения" спинорного поля ни какого отношения к преобразованиям системы координат $x^{\mu}$ не имеют.

Если мы будем соответствующим образом крутить тетраду(ы) при преобразованиях координат, то внезапно начнут иметь.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #802745 писал(а):

Если мы будем соответствующим образом крутить тетраду(ы) при преобразованиях координат, то внезапно начнут иметь.

Тетрада это набор из четырёх векторных полей. Поворот тетрады есть переход к совершенно другим векторным полям. А преобразование координат даёт просто изменение тензорных компонент векторных полей, сами же векторные поля, как объекты дифференциальной геометрии, остаются прежними. Одно преобразование с другим вообще никак не связано.

Если Вам это пока не очень понятно, то подумайте над следующей задачей. В евклидовом пространстве переходим от декартовых координат к сферическим, если Вы считаете, что это как-то повлияет на поворот тетрадного или спинорного полей, то напишите (докажите) связь матрицы $\frac{\partial x'^{\mu}}{\partial x^{\nu}}$ с матрицами ${\Lambda^{(a)}}_{(b)}$ и $S$.

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #802963 писал(а):

В евклидовом пространстве переходим от декартовых координат к сферическим

Нет, давайте ограничимся вращениями и бустами (в смысле именно преобразований координат). Для вращений и бустов я сделаю что вы требуете, как только дочитаю Иваненко до тетрад.

-- 18.12.2013, 11:51 --

Собственно, расписывать-то ничего и не требуется. Мы начинаем с декартовых координат в плоском пространстве времени и голономной тетрады. Проделав вращение (буст) (подчёркиваю - в смысле преобразований координат), мы можем соответственно преобразовать тетраду так, чтобы она по-прежнему была голономной. В результате мы получим преобразование спиноров при преобразовании координат!

Но раз вы требуете, я напишу формулы явно чуть позже.

[SergeyGubanov]

warlock66613 в сообщении #802969 писал(а):

Нет, давайте ограничимся вращениями и бустами (в смысле именно преобразований координат).

Да нет уж, давайте всё же ограничимся переходом от декартовых координат к сферическим. Или Вы полагаете, что какие-то преобразования координат спинорное поле чувствует, а какие-то не очень?

warlock66613 в сообщении #802969 писал(а):

Собственно, расписывать-то ничего и не требуется. Мы начинаем с декартовых координат в плоском пространстве времени и голономной тетрады. Проделав вращение (буст) (подчёркиваю - в смысле преобразований координат), мы можем соответственно преобразовать тетраду так, чтобы она по-прежнему была голономной. В результате мы получим преобразование спиноров при преобразовании координат!

Поскольку между преобразованиями координат и вращениями тетрады взаимозависимости нет, то действуя описанным Вами способом Вы получите примерно следующее:

warlock66613 в сообщении #802969 писал(а):

Но раз вы требуете, я напишу формулы явно чуть позже.

Всё же, хотелось бы, для перехода из декартовых в сферическую...

-- 18.12.2013, 12:30 --

warlock66613 в сообщении #802969 писал(а):

как только дочитаю Иваненко до тетрад.

Кстати, а Вы что конкретно из произведений Иваненко читаете?

Если мне не изменяет мой склероз, выражение спинорной связности $\Gamma_{\mu}$ через терадную связность ${{{\omega_{\mu}}}^{(a)}}_{(b)}$ (её ещё называют спиновой связностью):

$$\Gamma_{\mu} = \frac{1}{8} {\omega_{\mu}}_{(a) (b)} [ \gamma^{(a)}, \gamma^{(b)}]$$

вроде было в книжке Грина, Шварца, Виттена "Теория суперструн", но не помню в каком томе. А где ещё это было бы написано, сейчас как-то вспомнить не могу. В каких-то работах Фока-Иваненко примерно тоже самое в иных обозначениях конечно должно быть, но тоже уже не помню где. Все эти формулы, разумеется, я могу вывести сам, но Вы же, типа, мне не верите пока кто-то другой не подтвердит

[warlock66613]

SergeyGubanov в сообщении #803017 писал(а):

Да нет уж, давайте всё же ограничимся переходом от декартовых координат к сферическим. Или Вы полагаете, что какие-то преобразования координат спинорное поле чувствует, а какие-то не очень?

Я полагаю, что есть два взгляда на системы координат и системы отсчёта.
Первый - это когда между ними не делается различия, т. е. используются только голономные системы отсчёта. При этом всякие векторы очень даже чувствуют преобразования системы координат. Просто потому, что раз мы заранее ограничились голономными базисами, то при преобразовании системы координат мы должны согласованным образом преобразовать базис.
Второй - когда мы разделяем системы отсчёта и системы координат. Тогда они преобразуются конечно независимо, а векторы и другие тензоры не чувствуют координатных преобразований.

Оба эти взгляда эквавалентны, но только до тех пор, пока на появляются спиноры.
Если мы имеем декартовы коррдинаты в плоском пространстве-времени, и ограничиваемся только глобальными преобразованиями координат, сохраняющими декартовость, то первая точка зрения остаётся вполне применимой. При этом спиноры, так же как и векторы, будут преобразовываться при преобразованиях координат, и никаких сложностей с этим не возникает. И этого вполне хватает большинству из тех, кто работает со спинорами.

Но если нас интересует спиноры в контексте ОТО с её общековариантностью, то вот тогда первая точка зрения становится неприменимой. А вот вторая точка зрения позволяет постоить формализм тетрад, с помощью которого можно решить вопрос со спинорами.

Теперь скажите пожалуйста, с чем из вышенаписанного вы несогласны?

-- 18.12.2013, 20:27 --

SergeyGubanov в сообщении #803017 писал(а):

Все эти формулы, разумеется, я могу вывести сам, но Вы же, типа, мне не верите пока кто-то другой не подтвердит

Формулы конечно правильные, и я понял, что вы имели в виду, и я согласен с вами. Просто заодно (так получилось) я понял и что это совершеннейший оффтопик в данной теме. И заявление "спиноры не преобразуются при преобразованиях координат" в контексте данной темы неверно.

-- 18.12.2013, 20:28 --

SergeyGubanov в сообщении #803017 писал(а):

Кстати, а Вы что конкретно из произведений Иваненко читаете?

"Гравитацию" 85 года.

-- 18.12.2013, 20:30 --

SergeyGubanov в сообщении #803017 писал(а):

Всё же, хотелось бы, для перехода из декартовых в сферическую...

Если мы рассматриваем сферические координаты как равноправные с декартовыми, то в таком случае, по-видимому, только тетрадный формализм. Подробности я написал выше.