Одно диофантово уравнение и ВТФ.

[Руст]

Не надо выдумывать новые термины "покрытия" для арифметических прогрессий", тем более эти покрытия не покрывают и сильно запутывают, делаа невозможным понять о чём речь.

В.Сорокин писал(а):

Покрытием (в объеме данного доказательства) $P$ мы будем называть бесконечное множество натуральных чисел с постоянным (равным) интервалом между соседними числами, где значение первого числа в множестве не превышает величины интервала (периода, шага).

Это не только не очевидно, но и неверною.

Цитата:

(2°) Очевидно, при суперпозиции конечного числа покрытий с различными величинами интервала (периода) остаются непокрытыми бесконечное число членов множества $Q$.

Далее полная чушь в связи с вышесказанным. Поэтому, это не доказательство леммы. Не надо тратить силы на новое доказательство этой леммы.

Что за свойство, что нечётное число больше 1 имеет по крайней мере один нечётный простой делитель, что эту очевидную вещь надо выделять.

Цитата:

И, наконец, одно важное свойство любого (в том числе и НЕ ОТМЕЧЕННОГО) из чисел $r=2^k-1$ (где $k>1$) множества $R$:
$r=2^k-1=2u+1$, где $u$ НЕЧЕТНО.
Следовательно, любое число $r=2^k-1$ содержит по меньшей мере один ПРОСТОЙ делитель вида $2u+1$.

[shwedka]

Руст

Цитата:

Решил упростить вам задачу.

Поосторожнее с этим делом, Руст,
болезнь заразная.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

1. Не надо выдумывать новые термины "покрытия" для арифметических прогрессий",
2. тем более эти покрытия не покрывают и сильно запутывают, делаа невозможным понять о чём речь.

В.Сорокин писал(а):

Покрытием (в объеме данного доказательства) $P$ мы будем называть бесконечное множество натуральных чисел с постоянным (равным) интервалом между соседними числами, где значение первого числа в множестве не превышает величины интервала (периода, шага).

3. Это не только не очевидно, но и неверно.

Цитата:

(2°) Очевидно, при суперпозиции конечного числа покрытий с различными величинами интервала (периода) остаются непокрытыми бесконечное число членов множества $Q$.

Далее полная чушь в связи с вышесказанным.
4. Поэтому, это не доказательство леммы. Не надо тратить силы на новое доказательство этой леммы.

5. Что за свойство, что нечётное число больше 1 имеет по крайней мере один нечётный простой делитель, что эту очевидную вещь надо выделять.

Цитата:

И, наконец, одно важное свойство любого (в том числе и НЕ ОТМЕЧЕННОГО) из чисел $r=2^k-1$ (где $k>1$) множества $R$:
$r=2^k-1=2u+1$, где $u$ НЕЧЕТНО.
Следовательно, любое число $r=2^k-1$ содержит по меньшей мере один ПРОСТОЙ делитель вида $2u+1$.

1. Нужно! В доказательстве речь идет не об арифметических програсссиях (это скорее геометрические прогрессии), а о НОМЕРАХ членов множества $Q$. Именно номера (хотя и перечисленные в виде арифметических прогрессий) отмечают определенные подмножества множества $Q$.
2. Неясность изложения, конечно, возможна. Так для того и диалог, чтобы от них избавляться.
3. Не думаю. Хотелось бы услышать доводы.
4. Можно, конечно, и не тратить (и я перехожу к повтору доказательства ВТФ в предположении, что обе Леммы - согласно Вашим, shwedki и tolstopuz'a свидетельствам - верны). Однако почему бы не попробовать?..
5. Это то свойство, которое может существенно сократить доказательство Леммы 2.

[Руст]

Прочитайте внимательно ваше определение и комментарий

В.Сорокин писал(а):

Покрытием (в объеме данного доказательства) $P$ мы будем называть бесконечное множество натуральных чисел с постоянным (равным) интервалом между соседними числами, где значение первого числа в множестве не превышает величины интервала (периода, шага).

Цитата:

В доказательстве речь идет не об арифметических програсссиях (это скорее геометрические прогрессии), а о НОМЕРАХ членов множества $Q$. Именно номера (хотя и перечисленные в виде арифметических прогрессий) отмечают определенные подмножества множества $Q$.

По определению ваше покрытиу есть класс вычетов по подгруппе nZ, по простому арифметическая прогрессия.

Цитата:

2. Неясность изложения, конечно, возможна. Так для того и диалог, чтобы от них избавляться.

Когда читаешь покрытие, мысль начинает работать над тем, чего же оно покрывает, а у вас это означает арифметическую прогрессию(по определению), притом надо подразумевать, что это и вообще нечто другое, о котором только вы догадываетесь. А скорее, вы вносите новые свойства и смысл в ваши определения когда кажется есть необходимость, даже не говоря об этом читателю. Как же можно читать такой текст.

Цитата:

3. Не думаю. Хотелось бы услышать доводы.

а разве не покрывают натуральный ряд вычеты (0,2),(0,3),(1,6),(5,6) - вначалеле указан вычет, потом модуль (основание, по которому вычисляется вычет).

Цитата:

4. Можно, конечно, и не тратить (и я перехожу к повтору доказательства ВТФ в предположении, что обе Леммы - согласно Вашим, shwedki и tolstopuz'a свидетельствам - верны). Однако почему бы не попробовать?.

Пробовать конечно можно, но делайте это понятным для других. Кстати, я в случае чётного $b\equiv 2^p\mod n$ допустил неточность (нельзя переходить к дополнению) надо брать вместо b число b0=b+n и простые числа q брать равным b0(mod 2n).

Цитата:

5. Это то свойство, которое может существенно сократить доказательство Леммы 2.

Как же может существенно сократить доказательство очевидное свойство (нечётное число больше 1 имеет нечётный простой делитель)?

[В.Сорокин]

1.

Руст писал(а):

Прочитайте внимательно ваше определение и комментарий…

1. Я уточнил бы понятие «покрытие» еще раз, другими словами. Покрытие – это системная МЕТКА в форме периодической последовательности отмечающих и неотмечающих элементов. Задача состоит не в том, чтобы не отклоняться от буквы первого (возможно, как я говорил, и неудачного) определения, а втом, чтобы понять определяемое ЯВЛЕНИЕ и уточнить определение. Возможно даже, что покрытие вовсе и не метка, а МЕТОД сортировки элементов множества.
Вот два примера покрытия с интервалом 2 и 3 (1 – метка, 0 – НЕметка, первая метка – выделяющая определенный элемент):
1 – 0 – 1 – 0 – 1 …
1 – 0 – 0 – 1 – 0 – 0 – 1 …

Вместо чисел 1 и 0 можно использовать и буквы: м – метка (пометка выбранного числа), н – неметка (пропущенное, невыбранное число). Где тут прячется арифметическая прогрессия?..

Так вот, после $k$ покрытий с указанными мною свойствами в отмечаемой последовательности $Q$ ВСЕГДА остается бесконечное число неотмеченных элементов (чисел) последовательности $Q$, не делящихся на первые $k$ простых чисел.

2. Вопрос. Верна ли Лемма 2 в такой формулировке:
«В базе $q$, где $q$ простое, существует такая цифра $e$, что все последние цифры у чисел $e^t$, где $t=1, 2, … q-1$, различны, т.е. составляют полный комплект цифр без нуля»?

Заранее благодарю.

[Руст]

В.Сорокин писал(а):

2. Вопрос. Верна ли Лемма 2 в такой формулировке:
«В базе $q$, где $q$ простое, существует такая цифра $e$, что все последние цифры у чисел $e^t$, где $t=1, 2, … q-1$, различны, т.е. составляют полный комплект цифр без нуля»?

Заранее благодарю.

Это одно и то же.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

Это одно и то же.

Еще несколько вопросов.

Верно ли следующее утверждение
«Если $p$ является делителем числа $q-1$, где $q$ простое, то множество последних цифр в числах $g^p$, где $g=1, 2, … q-1$, содержит $\frac{q-1}{p}$ различных элементов»?
Мог ли знать эту теорему П.Ферма?

Я знаю два доказательства следующей теоремы:
«Для каждого простого $n$ существует бесконечное множество простых чисел $q$ вида $q=pn+1$».
Является ли эта теорема известной или тривиально доказуемой?

Живя в одном из самых глухих районов Франции, я не имею доступа к полноценной математической библиотеке. И потому буду весьма признателен за ответы на эти вопросы.

[Руст]

В.Сорокин писал(а):

Верно ли следующее утверждение
«Если $p$ является делителем числа $q-1$, где $q$ простое, то множество последних цифр в числах $g^p$, где $g=1, 2, … q-1$, содержит $\frac{q-1}{p}$ различных элементов»?
Мог ли знать эту теорему П.Ферма?

Да верно. На счёт Ферма точно не скажу, а Эйлер точно знал.

Я знаю два доказательства следующей теоремы:
«Для каждого простого $n$ существует бесконечное множество простых чисел $q$ вида $q=pn+1$».
Является ли эта теорема известной или тривиально доказуемой?
quote]
Тривиальная, так же известная ещё Эйлеру.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

Да верно. Насчёт Ферма точно не скажу, а Эйлер точно знал.

Ну а теперь – самый существенный КОМПЬЮТЕРНЫЙ факт в деле элементарного доказательства ВТФ:

На множестве $N$ последних цифр в числах $q^n$, где $q$ – простое, а $n [>2]$ является сомножителем числа $q-1$, равенство $A+B=C$ возможно только при $A=1$ (или $B=1$) либо при $A=B$.
(Очевидно, при простом $q>c^n$ равенство Ферма – на множестве $N$ – невозможно.)

ПРОТИВОРЕЧИЕ НАЙДЕНО. Нам остается только объяснить компьютерный факт.

[Руст]

Во первых это не верно. Достаточно взять A=0,B=1,C=1.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

Во первых это не верно. Достаточно взять A=0,B=1,C=1.

Неверно, но я уже исправил. Во-вторых, число 0 в множество А не входит.

[Руст]

Во первых 0 всегда входит (это же остаток от деления одного из чисел $a^n$ на q, а не само число a, отличное от нуля. Можно ограничится только случаем, когда в этом равенстве не больше одного нуля (сокращение на общий множитель).
Во вторых, Если имеется решение при A=1, то имеется и при других умножим 1+B1=С1 на A и получим A+B=C, B=AB1,C=AC1 (так как отличные от нуля такие числа образуют группу).

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

Во первых 0 всегда входит (это же остаток от деления одного из чисел $a^n$ на q, а не само число a, отличное от нуля. Можно ограничится только случаем, когда в этом равенстве не больше одного нуля (сокращение на общий множитель).
Во вторых, Если имеется решение при A=1, то имеется и при других умножим 1+B1=С1 на A и получим A+B=C, B=AB1,C=AC1 (так как отличные от нуля такие числа образуют группу).

Второе верно (исправил). А ноль преднамеренно исключается из анализа как мешающий либо ничего не дающий - см., например, малую теорему Ферма. Тем более, что при $q>c^n$ числа $a, b, c$ в равенстве Ферма на ноль (в базе $q$) не оканчиваются.
P.S. Вечером приведу первые множества $N$ для $n=3, 5, 7,...$ , тогда все станет очевиднее.

[Руст]

Хорошо, можно (ограничиваясь большими q) временно исключить 0. Можно даже привести к тому, чтобы одно из чисел был равен 1, воспользовавшись указанным свойством. Тогда ваше утверждение эквивалентно тому, что $y^n\not =1-x^n\mod q $ при n|q-1, x отличном от 0 и 1. Однако это утверждение не верно и сами можете найти контрпримеры.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

Хорошо, можно (ограничиваясь большими q) временно исключить 0. Можно даже привести к тому, чтобы одно из чисел был равен 1, воспользовавшись указанным свойством. Тогда ваше утверждение эквивалентно тому, что $y^n\not =1-x^n\mod q $ при n|q-1, x отличном от 0 и 1. Однако это утверждение не верно и сами можете найти контрпримеры.

Еще не было времени подумать над Вашим текстом. А пока...

Гипотезу придется уточнить еще:
На множестве $N$ последних цифр в числах $q^n$, где
1. $q$ – простое,
2. $q-1=2np$,
3. $p$ нечетно и не кратно $n$,
равенство $a+b=c$ возможно лдишь в случае $a=1$ ($b=1$) либо $a=b$.
При этом множество последних цифр чисел $q^n$ совпадает с множеством последних цифр чисел $2^t$ ($t=1, 2, … t-1$.

Вот некоторые множества $A$.
Полное удовлетворение условиям Леммы:
$n=3, q=31$:
1, 8, 27, 2, 1, 30, 2, 16, 16, 8, 29, 23, 27, 16 , 27, 4, 15, 4, 8, 2, 18, 5, 29, 1, 30, 29, 4, 23, 30.
$n=3, q=43$:
1, 8, 27, 21, 39, 1, 42, 39, 41, 11, 41, 8, 4, 35, 21, 11, 11, 27, 22, 2, 16, 27, 41, 21, 16, 32, 32, 22, 8, 39, 35, 2, 32, 2, 4, 1, 42, 4, 22, 16, 35, 42.

Частичное удовлетворение условиям Леммы:
$n=3, q=36$:
1, 8, 27, 27, 14, 31, 10, 31, 26, 1, 36, 26, 14, 6, 8, 26, 29, 23, 14, 8, 11, 29, 31, 23, 11, 1, 36, 11, 6, 27, 6, 23, 10, 10, 29, 36.

Жаль, конечно, что нигде нельзя найти таблицы последних цифр в числах $q^t$, поиск закономерностей в них – дело чрезвычайно интересное и увлекательное.