Одно диофантово уравнение и ВТФ.

[В.Сорокин]

Someone писал(а):

$a=16$ и $b=9$ взаимно простые, $a-b=7$ не кратно $n=3$, $\frac{a^n-b^n}{a-b}=481=13\cdot 37$, $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}=559=13\cdot 43$ и др.

Во-первых, рад Вас приветствовать!
Во-вторых, восхищен Вашими контр-примерами. И как только Вы их находите?..
Неверна и лемма в условиях ВТФ: «Остаток от деления числа $a_2$ на $V$ меньше $a_1$, а остаток от деления числа $b_2$ на $V$ меньше $b_1$».
Таким образом, из верных вспомогательных лемм остается та, где $c+d$ делится на $a^n+b^n$. Сегодня нашел еще одну, но не успел записать и… забыл. Но в принципе вопрос проясняется:
1) Судя по всему, лемма-теорема в обиходе не известна.
2) С учетом верных лемм и Ваших контпримеров (за которые Вам большое спасибо!) ответ на главный вопрос опять находится на лезвии ножа.
Но я надеюсь, что П.Ферма даст подсказку и здесь. Кое-что уже просматривается.

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

С учетом верных лемм и Ваших контпримеров (за которые Вам большое спасибо!) ответ на главный вопрос опять находится на лезвии ножа.
Но я надеюсь, что П.Ферма даст подсказку и здесь. Кое-что уже просматривается.

Поскольку при одних дополнительных условиях интересующая нас главная Лемма выполняется, а при других дополнительных условиях нет (с числами $\frac{a^n-b^n}{a-b}$ и $\frac{(a+1)^n-(b+1)^n}{a-b}$- случай, на базе которого я надеялся доказать Лемму и опровергнутый контр-примерами Someone), то прежде всего следует выявить специфичное ОТЛИЧИЕ между условиями Леммы и условиями вспомогательной леммы, опровергнутой контр-примерами.
Первое, бросающееся в глаза отличие, состоит в том, что в Лемме (в новых обозначениях для всех лемм) число $V$ меньше чисел $a+1$ и $b+1$, а в лемме с контр-примерами $V$ значительно больше чисел $a+1$ и $b+1$. Насколько это существенно, следует выяснить.
Вот один из путей доказательства Леммы:
С помощью линейных диофантовых уравнений преобразовать число $c+d$ к виду $c+d=KV+1$ (что сделать очень легко), а числа $c$ и $d$ к виду:
$c=kV+c'$ и $d=kV+d'$, где $c'<a$ и $d'<b$.
Если это удастся, то Лемма доказана.
+++++++++++++
Нет, решабельнее будет так:
С помощью линейного диофантового уравнения преобразовать число $c$ к виду $c=kV+1$, а потом подобрать параметры диафантового уравнения так, чтобы $d=kV+d'$, где $d'<b$. Например, $d'=2$.
+++++++++++++++++
Также следует проверить аналогичную гипотезу:
С помощью умножения равенства 1° на некоторое $x$ числа $c$ и $b$ можно привести к виду:
$c=kP+1$ и $b=kP+2$. И верность ВТФ налицо. (Здесь все числа взяты из основого текста доказательства.)

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

Вот один из путей доказательства Леммы:
С помощью линейных диофантовых уравнений преобразовать число $c+d$ к виду $c+d=KV+1$ (что сделать очень легко), а числа $c$ и $d$ к виду:
$c=kV+c'$ и $d=kV+d'$, где $c'<a$ и $d'<b$.
Если это удастся, то Лемма доказана.

+++++++++
Похоже, что это удастся. И условие $V<c$ и $V<d$ является необходимым. С этим условием контр-пример создать не удастся.
Итак, заново:

Лемма. Если $V<c$, $V<d$ и число $cdV$ не делится на $2$ и $3$, то число $W$ НЕ делится на $V$, где
$ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$ и $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$.

Доказательство.
Составим два линейных диофантовых уравнения для двух пар взимопростых чисел $(c, V) и $(d, V)$:
$cx_c-Vy_c=1 и $dx_d-Vy_d=1 с их общими решениями:
$(x_c=x_c_*+kV; y_c=y_c_*+kc) и $(x_d=x_d_*+tV; y_d=y_d_*+td).
Очевидно, мы должны выбрать такие частные решения, чтобы после умножения чисел a^n+b^n$ и $c^n+d^n$ соответственно на $x_c^n$ и $x_d^n$ получить равенство:
(11°) $ x_c_*+kV = x_d_*+tV$.
Очевидно также, что для целочисленного решения равенства 11° необходимо равенство $ x_c_* = x_d_*$.
Покажем, как это можно осуществить.
…
(Окончание следует)

Примечание: из-за поверхностного знания линейных диофантовых уравнений возможны всякие корявости в изложении.

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

Окончание следует.

К сожалению, Лемму удалось доказать лишь при дополнительном условии, что числа $a_2$ и $b_2$ имеют по одному (максиму по два) основанию, чего явно недостаточно для доказательства ВТФ.
Возможно, что-то может дать использование факта, что каждый простой сомножитель чисел $V, a_2$ и $b_2$ имеют вид $en+1$…

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

…
(Окончание следует).

Как ни странно, но как будто обнаружился просвет в этом самом Окончании…
Напомню Лемму:
Лемма для взаимопростых $a, b, c, d, V, W$.
Если $V<c$, $V<d$ и число $cdV$ не делится на $2$ и $3$, то число $W$ НЕ делится на $V$, где
$ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$ и $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$.

Для ее доказательства нам понадобится вспомогательная лемма 1:
Существуют такие целые $k$ и $t$, что числа $a+kg$ и $b+tg$, где $g$ нечетно и [добавка] числа в парах $a, g$ и $b, g$ взаимопростые, являются взаимопростыми.
Мне представляется эта лемма верной. Прав ли я?

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

... Прав ли я?

++++++++
В ожидании ответа на этот вопрос у меня нашлось несколько минут для записи доказательства. Вот:

Доказательство.
Составим два линейных диофантовых уравнения для двух пар взаимопростых чисел $(c, V) и $(d, V)$:
(12°) $cx_c-Vy_c=1 и $dx_d-Vy_d=1 с их общими решениями:
(13°) $(x_c=x_c_*+kV; y_c=y_c_*+kc) и $(x_d=x_d_*+tV; y_d=y_d_*+td).
Если при некоторых значениях $k и $t$ мы имеем равенство $x_c= x_d, то, умножив число $c+d$ (следовательно, и числа $c$ и $d$) на $x_c [а число $c^n+d^n$ на $x_c^n], мы можем ЗАМЕНИТЬ (см. 12°) полученные произведения $cx_c$ и $dx_c$ (заметим, второе равное $dx_d$ ) на $Vy_c+1$ и $Vy_d+1$.
И теперь, как легко видеть, число $W в НОВОМ значении представимо в виде:
(14°) $W=VH+1, которое на $V НЕ ДЕЛИТСЯ.

Пусть теперь равенство $x_c= x_d не достигается ни при каких значениях $k и $t$.
Тогда – согласно лемме 1 [см. также выступление bot'а от Пн Июл 23, 2007 12:15:26] - выберем значения чисел $k и $t$ таковыми, чтобы числа $x_c и $x_d оказались бы ВЗАИМОПРОСТЫМИ. И теперь мы можем составить следующее диофантово уравнение:
(15°) $x_cX-x_dY=1.
И теперь после умножения чисел $c$ и $d$ на $x_cX (при этом произведение $dx_cX опять заменим на равное ему $d(x_dY+1)) они – в НОВОМ их значении - могут быть представлены в виде:
(16°)$c^*=VG+1 ; d^*=VF+d)
И также, как и в первом случае, число $W [=Vs+Z]$ НЕ ДЕЛИТСЯ на $V$ (т.к. $Z$ НЕ ДЕЛИТСЯ на $V$).

Конечно, форму изложения еще надо будет оттачивать и оттачивать. Но есть вероятность, что Лемма в принципе доказана.

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

...есть вероятность, что Лемма в принципе доказана.

Замена заключительного вывода от формулы 16°.

(16°) $c^*=VG+1 ; d^*=VF+d)
И теперь новое значение числа $W$ число $W^* =Vs+Z$, где $Z=\frac{d^n+1}{d+1}$.
С другой стороны, из «симметричного» диофантового уравнения
(15'°) $x_cX-x_dY=-1 мы имеем:
(16'°)$c^*=VG'-1; d^*=VF'+d)
И в этом случае новое значение числа $W$ число $W^*' =Vs'+Z'$, где $Z'=\frac{d^n-1}{d-1}$.
И мы пришли к противоречию: два ВЗАИМОПРОСТЫХ (относительно нечетных делителей) числа $Z=\frac{d^n+1}{d+1}$ и $Z'=\frac{d^n-1}{d-1}$ делятся на нечетное $V>1$.
============
Некоторое сомнение в доказательстве у меня вызывает пока только переход от формул (15°) к формулам (16°). Нет ли здесь путаницы?

[Someone]

В.Сорокин писал(а):

Лемма для взаимопростых $a, b, c, d, V, W$.
Если $V<c$, $V<d$ и число $cdV$ не делится на $2$ и $3$, то число $W$ НЕ делится на $V$, где
$ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$ и $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$.

У Вас тут лишнего условия нет? Если $V$ и $W$ взаимно простые, то, разумеется, $W$ не делится на $V$.

$n=3$, $a=5$, $b=11$, $V=91$, $c=97$, $d=151$, $W=17563=193V$.

[В.Сорокин]

Someone писал(а):

В.Сорокин писал(а):

Лемма для взаимопростых $a, b, c, d, V, W$.
Если $V<c$, $V<d$ и число $cdV$ не делится на $2$ и $3$, то число $W$ НЕ делится на $V$, где
$ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$ и $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$.

У Вас тут лишнего условия нет? Если $V$ и $W$ взаимно простые, то, разумеется, $W$ не делится на $V$.

К сожалению, есть: из перечня $a, b, c, d, V, W$ число $W$ следует исключить.
Однако окончание доказательства - от формулы 14° - мне представляется ошибочным, и неделимость $W$ на $V$ - ЕСЛИ она существует, должна объясняться какими-то дополнительными свойствами чисел $a, b, c, d, V$.
Так что "досуг" продолжается...

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

...Так что "досуг" продолжается...

Обнаруженная утром ошибка показалась мне неисправимой. Однако к вечеру обнаружилось обстоятельство, позволяющее отсрочить неисправимость. Оно состоит в тождестве: $m(c+d)=[m(a+b)]w. И теперь с учетом этого ВМЕСТЕ с увеличеним числа $Z'=\frac{d^n-1}{d-1}$ в той же степени увеличивается и число $V$. Так что нужно более тщательно проверить расчеты.
Но сначала необходимо уяснить два важных свойства Линейных Диофантовых Уравнений, или ЛДУ.
О первом из них речь шла на стр. 1:

bot писал(а):

При стандартном нахождении $x_0, \ y_0$ они не окажутся взаимно простыми, однако если на то будет желание, его легко удовлетворить выбором t, так как взаимно просты a и b.

Но для уравнения $ax-by=1$ это неверно, поскольку в этом случае правая единица должна делиться на некоторое число, отличное от единицы.
Второе. Введем понятие Минимального Положительного Решения ЛДУ – МПР.
Тогда для МПР $x=x_0, \ y=y_0$ (из общего решения $x=x_0 + bt, \ y=y_0 + at$) уравнения $ax-by=1$ верны соотношения:
$x_0 < b, y_0 < a$ (в противном случае числа $x_0, \ y_0$ можно ученьшить на $bt, \ at$).
В моем анализе Леммы для ВТФ важны именно МИНИМАЛЬНЫЕ решения ЛДУ. И потому везде ниже под ЧАСТНЫМ решением ЛДУ имеется в виду именно МПР $x=x_0, \ y=y_0$ – с наличием у них двух свойств, рассмотренных выше.
Теперь надлежит проверить расчеты формул 14°-16° с учетом этих обстоятельств. И при первой прикидке число $W$ на $V$ все-таки, как будто, НЕ делится.

[Someone]

В.Сорокин писал(а):

И при первой прикидке число $W$ на $V$ все-таки, как будто, НЕ делится.

Виктор, так я всё-таки не понял, вот этот пример каким условиям не удовлетворяет?

$n=3$, $a=5$, $b=11$, $V=91$, $c=97$, $d=151$, $W=17563=193V$.

Здесь $W$ на $V$ благополучно делится. Я Вас могу легко сотнями таких примеров обеспечить, причём, с небольшими числами. Только набирать их тут муторно.

[В.Сорокин]

Someone писал(а):

Виктор, так я всё-таки не понял, вот этот пример каким условиям не удовлетворяет?
$n=3$, $a=5$, $b=11$, $V=91$, $c=97$, $d=151$, $W=17563=193V$.
…Только набирать их тут муторно.

Вот гипотетическая Лемма, нужная для доказательства ВТФ:
Если (все числа целые)
- простое $n>2$,
- числа $a, b, c, d, V$, где $ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$, взаимно простые,
- числа $a, b, c, d, W$, где $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$, взаимно простые,
- $V<c$, $V<d$,
[- запасное условие: $1 < \frac{c}{d} < \frac{n+1}{n}$],
[- запасное условие: каждый отличный от $n$ простой делитель $e$ чисел $c, d, V, W$ может быть записан в виде $e=gn+1$],
то число $W$ на $V$ НЕ делится.

Ваш великолепный пример не удовлетворяет только дополнительным («запасным») условиям. Но в любом случае он отсекает множество бесплодных иллюзий. Большое Вам спасибо! (Я считаю Ваши примеры достойными публикации – они впечатляют!)

Теперь можно подумать над дополнительными условями к Лемме.

[Someone]

В.Сорокин писал(а):

Вот гипотетическая Лемма, нужная для доказательства ВТФ:
Если (все числа целые)
- простое $n>2$,
- числа $a, b, c, d, V$, где $ V=\frac{a^n+b^n}{a+b}$, взаимно простые,
- числа $a, b, c, d, W$, где $W=\frac{c^n+d^n}{c+d}$, взаимно простые,
- $V<c$, $V<d$,
[- запасное условие: $1 < \frac{c}{d} < \frac{n+1}{n}$],
[- запасное условие: каждый отличный от $n$ простой делитель $e$ чисел $c, d, V, W$ может быть записан в виде $e=gn+1$],
то число $W$ на $V$ НЕ делится.

Ну, пусть будет
$n=3$, $a=7$, $b=37$, $V=1159=19\cdot 61$, $c=1381$, $d=1201$, $W=1690981=19\cdot 61\cdot 1459=1459V$.

Числа $1381$, $1201$ и $1459$ - простые.

В.Сорокин писал(а):

Я считаю Ваши примеры достойными публикации – они впечатляют!

Да ладно, я же их не вручную подбираю, а компьютер железный, справляется он одну-две минуты, мне только некоторое время приходится потратить на программирование, так что совершенно нечего здесь публиковать. И никому, кроме Вас, это не интересно.

В.Сорокин писал(а):

Теперь можно подумать над дополнительными условями к Лемме.

Чем больше дополнительных условий придумаете, тем труднее это будет использовать. И больше вероятность того, что для доказательства Теоремы Ферма этой Леммы не хватит.

[В.Сорокин]

Someone писал(а):

1. Да ладно, я же их не вручную подбираю, а компьютер железный, справляется он одну-две минуты, мне только некоторое время приходится потратить на программирование, так что совершенно нечего здесь публиковать. И никому, кроме Вас, это не интересно.
2. Чем больше дополнительных условий придумаете, тем труднее это будет использовать. И больше вероятность того, что для доказательства Теоремы Ферма этой Леммы не хватит.

1. Редкий программист возьмется за такую бесплатную работу. А красота - категория всеохватывающая. Вы красиво выполнили работу. Ну а мне вдобавок повезло насладиться красотой результата - независимо от его прагматики.

2. Впрочем, два дополнительных условия к Лемме слишком обнадеживающими не кажутся (и Ваш пример как будто это подтверждает). Но вот еще одно, более интересное:
- число $c+d$ делится на $a^2-b^2$.
Возможно, присутствие сопряженного сомножителя сместит число $W$ в сторону невозможности его деления на $V$.
Может ли Ваш алгоритм справиться с этой задачей (первые два дополнительных условия можно не соблюдать)?

[Someone]

В.Сорокин писал(а):

1. Редкий программист возьмется за такую бесплатную работу.

Я ведь это не в машинных кодах программирую. У меня есть система компьютерной математики Mathematica 5.1. На её языке подбор по Вашим условиям программируется за 10-20 минут, которые уходят в основном на набор текста, ещё какое-то время уходит на отладку. Так что я пока не перегружаюсь.

В.Сорокин писал(а):

2. Впрочем, два дополнительных условия к Лемме слишком обнадеживающими не кажутся (и Ваш пример как будто это подтверждает). Но вот еще одно, более интересное:
- число $c+d$ делится на $a^2-b^2$.
Возможно, присутствие сопряженного сомножителя сместит число $W$ в сторону невозможности его деления на $V$.
Может ли Ваш алгоритм справиться с этой задачей (первые два дополнительных условия можно не соблюдать)?

Ну, пусть будет
$a=7$, $b=3$, $a^2-b^2=40$, $V=37$, $c=103$, $d=97$, $c+d=200=5(a^2-b^2)$, $W=10027=271V$.

А Вы уверены, что Вы сможете доказать, что для решений уравнения $a^n+b^n=c^n$ придуманные Вами дополнительные условия будут выполняться? И не окажутся ли они несовместными сами по себе, независимо от теоремы Ферма? Между прочим, я нашёл всего $8$ решений, удовлетворяющих всем трём Вашим дополнительным условиям (перечисляются четвёрки $(a,b,c,d)$):

1) $(3,1,67,61)$,
2) $(3,1,79,73)$,
3) $(3,1,97,79)$,
4) $(3,2,127,103)$,
5) $(4,3,73,67)$,
6) $(5,3,67,61)$,
7) $(7,3,103,97)$,
8) $(17,15,367,337)$.