Одно диофантово уравнение и ВТФ.

[Сорокин Виктор]

Предлагается такое уравнение:
$ax+by=cz$, где целые числа
$a, b, c, x, y, z$ взаимопростые.
Требуется найти общее ненулевое решение уравнения.
(Очевидное частное решение: $x=y=z=1$.)
Каковая вероятность решить проблему?
Не для этого ли П.Ферма обратился к Диофанту?
(Связь уравнения с ВТФ будет показана позже.)

[4arodej]

интересно бы почитать новое док-во FLT ))

[bot]

Так и не научились аккуратности в формулировках.

Ваше частное решение (1, 1, 1) будет очевидным только в случае, если $a+b=c$, иначе это вообще не решение.
Общее решение этого уравнения при взаимно простых $a$ и $b$ находим так:
Берём произвольно $z_0$, стандартным образом через алгоритм Евклида находим частное решение $x_0, \ y_0$ уравнения $ax+by=cz_0$. Все $(x,y)$ теперь описываются так: $x=x_0+bt, y=y_0-at $.
При стандартном нахождении $x_0, \ y_0$ они не окажутся взаимно простыми, однако если на то будет желание, его легко удовлетворить выбором t, так как взаимно просты a и b.

[Iosif1]

Сорокин Виктор писал(а):

(Связь уравнения с ВТФ будет показана позже.)

Жду с интересом этого.. А то многое на форуме для таких как я как то вырвано из контекста. Мне кажется, что не плохо бы показывать всю историю, хотя бы кратко. У меня к Вам еще один интерес:
О вас иногда вспоминает ${Someone}$.
Хотел бы попробовать привлечь Вас, как третейского судью, на основании того, что вы знакомы с троичным счислением не по наслышке. Конечно, если это для вас приемлемо.

[Сорокин Виктор]

4arodej писал(а):

интересно бы почитать новое док-во FLT ))

Его суть - рассматриваемое здесь диофантово уравнение, вытекающее из равенства Ферма за 3-4 простейших логических операций над хорошо известными формулами. Я его приведу спустя некоторое время - даже если диофантово уравнение будет иметь решение с разными значениями неизвестных. Но хотелось бы убедиться, что такого решения нет.

Добавлено спустя 9 минут 8 секунд:

bot писал(а):

1. Так и не научились аккуратности в формулировках.

2.При стандартном нахождении $x_0, \ y_0$ они не окажутся взаимно простыми, однако если на то будет желание, его легко удовлетворить выбором t, так как взаимно просты a и b.

1. И не научусь: горбатого могила исправит (уж скоро будет пора...).
2. Спасибо за решение. Перевариваю. Хочу понять, почему $x, y, z, a, b, c$ окажутся взаимопростыми.

Добавлено спустя 9 минут 36 секунд:

Re: Одно диофантово уравнение и ВТФ

Iosif1 писал(а):

1. Жду с интересом этого.
2. А то многое на форуме для таких как я как то вырвано из контекста. Мне кажется, что не плохо бы показывать всю историю, хотя бы кратко.
3. У меня к Вам еще один интерес:
О вас иногда вспоминает ${Someone}$.
4. Хотел бы попробовать привлечь Вас, как третейского судью, на основании того, что вы знакомы с троичным счислением не по наслышке. Конечно, если это для вас приемлемо.

1. Частично я ответил г-ну 4arodej. Но добавлю: в этом простом "трехгрошовом" доказательстве использован абсолютно тривиальный математический факт (типа 2х2=4), но который, как мне представляется, никогда не был использован в математике (через неделю расскажу).
2. Что в моих силах, расскажу.
3. Г-ну ${Someone}$ поклон.
4. Не откажусь, если только не слишком мудрено.

[Iosif1]

Сорокин Виктор писал(а):

4. Не откажусь, если только не слишком мудрено.

Посмотрите: "Доказательство БТФ" ${Iosif1}$.
Советую начинать с конца. Там вариант, когда одно из оснований содержит больше одного сомножителя $n$.
Если можно, то отвечать в той же теме.

[bot]

Сорокин Виктор писал(а):

2. Спасибо за решение. Перевариваю. Хочу понять, почему $x, y, z, a, b, c$ окажутся взаимопростыми.

Ну это лишь намётки, а не решение. Если $a$ и $b$ взаимно просты, то существуют $u$ и $v$ такие, что $au+bv=1$. Найти их можно, применяя алгоритм Евклида или разлагая в цепную дробь число $\frac{a}{b}$. Тогда частное решение уравнения $ax+bv=cz$ для любого фиксированного $z$ очевидно: $x_0=czu, \ y_0=czv$, а общее тогда
$x=x_0 + bt, \ y=y_0 - at$. Взаимная прстота $a, b, c$, насколько я понимаю у Вас должна предполагаться, а взаимную простоту $x, y, z$ надо получать за счёт выбора $t$.
Было бы ради чего. Не очень понятно желание, чтобы все 6 чисел $x, y, z, a, b, c$ были попарно взаимно просты.
Есть у меня некоторое подозрение, относительно той связи с диофантовым уравнением, которую Вы могли увидеть, но боюсь, что на этом пути у Вас возникнут проблемы уже на уровне различения случаев $n=2$ и $n=3$.

[Сорокин Виктор]

Сорокин Виктор писал(а):

4arodej писал(а):

интересно бы почитать новое док-во FLT ))

Его суть - рассматриваемое здесь диофантово уравнение, вытекающее из равенства Ферма за 3-4 простейших логических операций над хорошо известными формулами. Я его приведу спустя некоторое время - даже если диофантово уравнение будет иметь решение с разными значениями неизвестных. Но хотелось бы убедиться, что такого решения нет.

=========

Вот последние находки по ВТФ:

Доказательство проводится в базе с простым основанием $n$. Все числа в тексте целые.

Вот известная алгебраическая база из теории равенства Ферма:

Пусть
(1°) $A^n+B^n = C^n$, где простое $n > 2$ и $A, B, C$ взаимопростые.
(1a°) $A+B-C = u = dn^k$, где $k>1$ и $d$ не кратно $n$.

Случай 1: число $ABC$ не кратно $n$. Тогда:

(2°) $C^n-B^n=(C-B)P$, где $C-B=a'^n, P=a''^n$,
$C^n-A^n=(C-A)Q$, где $C-A=b'^n, Q=b''^n$,
$A^n+B^n=(A+B)R$, где $A+B=c'^n, R=c''^n$;

(3°) числа $a', a'', b', b'', c', c''$ взаимопростые;

(4°) $A=a'a'', B=b'b'', C=c'c''$.

(5°) Важные равенства:
$a'^n + b'^n = 2c'c'' – (A+B)=c'(2c''-c'^{n-1})$,
$c'^n - b'^n = 2a'a'' – (C-B) = c'(2a''-a'^{n-1})$,
$c'^n - a'^n = 2b'b'' – (C-A) = c'(2b''-b'^{n-1})$.
========================

[Текст курсивом можно не читать. [i]Если бы удалось показать, что в равенствах 6° числа в парах
(5b°) $ (a'+b') и c', (c'-b') $ и $a', (c'-a') и b'$
являются взаимопростыми, то доказательство Великой теоремы Ферма не составило бы большого труда. Однако эта задача представлялась неразрешимой. Но на днях я обратил внимание на тавтологический факт: произведение простых чисел оканчивающихся на $1$ и произведение чисел другого вида являются взаимопростыми числами.
А учитывая известный факт, что
(5c°) все простые делители чисел $P, Q, R$ имеют вид $sn+1$ (не считая единственного $n$ в случае, если одно из чисел $A, B, C$ кратно $n$), мы находим, что
(5d°) все простые делители чисел $A, B, C$ иные, нежели вида $sn+1$, содержатся в числах $a', b', c'$. (К таким делителям относится, в частности, простое число $2$).
(Возможно, в равенстве Ферма числа $a', b', c'$ состоят только из сомножителей отличных от $sn+1$).
И теперь – согласно 9° – в 6° $a'^n + b'^n$, или
(5e°) $(a' + b')R' = 2c'c'' - (A+B)=c'(2c''-c'^{n-1})$,
все сомножители числа $c'$ вида не $sn+1$ содержатся и в числе $(a'+b') $.
Таким образом, остается открытым вопрос с простыми делителями чисел $a', b', c'$ вида $sn+1$. Хорошо было бы показать, что число $c'$ является взаимопростым с числом $T$.

***

Другой путь ведет к линейным диофантовым уравнениям.
Обозначим произведения простых сомножителей, не оканчивающихся на цифру $1$, в каждом из чисел $a', b', c'$ буквами со звездочками: $a^*, b^*, c^*$ (и теперь $a'=a^*x, b'=b^*y, c'=c^*z$). Тогда равенства (5e°), учитывая (5d°), порождают систему трех линейных диофантовых уравнений:
$a^*x + b^*y = c^*t$,
$c^*z - b^*y = a^*v$,
$c^*z - a^*x = b^*w$,
где числа $a^*, b^*, c^*, x, y, z, t, v, w$ взаимопростые.
(Это и послужило поводом для данной темы на форуме.)
Интересно, что покажет анализ этой системы?

=================================================================
=================================================================

Доказательство ВТФ (Случай 1: $ABC$ не кратно $n$)

Пусть четным является число $C$ (следовательно и числа $c'$ и $a'+b'$) и оно кратно $4$.
Тогда из последних двух равенств 5° мы находим
(6°) $a'' = (c'^n - b'^n + a'^n)/(2a') $,
$b'' = (c'^n - a'^n + b'^n)/(2b') $.
Откуда
(7°) $a'' - b'' = [(b'-a')c'^n + (a'+b')(a'^n-b'^n)]/(2a'b') $,
где четные числа $b'-a'$ и $a'^n-b'^n$ на $4$ не делятся, а числа $c'$ и $a'+b'$ на $4$ делятся. Следовательно, число $a'' - b''$ (следовательно и число $P - Q$) делится на $4$.

С другой стороны, из школьныхформул для $P$ и $Q$ видно, что числа $P$ и $Q$ представимы в виде $4p+1$ и $2q+1$, где $q$ нечетно, и тогда разность чисел $P$ и $Q$ на 4 не делится.
И мы пришли к противоречию.

Если же четное число число c на $4$ не делится, то тогда мы аналогичным образом рассматриваем пары чисел $a'' + b'' [= [(b'+a')c'^n - (a'-b')(a'^n-b'^n) ]/(2a'b')] $ и $P + Q$ – с тем же результатом.

Доказательство (с помощью того же самого аппарата) Случая 2 ($ABC$ кратно $n$) будет представлено сразу же после признания верным доказательства Случая 1.

(2007-08-02)
***
Суть противоречия:
Если числа $a$ и $b$ не кратны $n$, то в одной из пар четных чисел $(a'' + b'', P+Q)$ и $(a'' - b'', P-Q)$
первое число кратно $4$, а второе не кратно $4$.

Итак, в конце туннеля забрезжил свет...

[В.Сорокин]

В связи со сбоем в работе сервера сайта я был вынужден поменять имя с «Виктора Сорокина» на «В.Сорокина». Мою просьбу восстановить работоспособность предыдущего ника Администрация сайта пока не удовлетворила.
==================
А поскольку за несколько дней со дня публикации доказательства (2 августа) никаких замечаний на него ни на каких математических формах не поступило, я публикую его в более аккуратном виде.

Все числа в тексте целые и даны в базе с простым основанием $n$.

Вот известные положения, многократно обсужденные на математических форумах.
Итак, пусть
(1°) $A^n+B^n = C^n$, где простое $n > 2$ и $A, B, C$ взаимопростые.
И пусть пока число $ABC$ не кратно $n$. Тогда:
(2°) $C^n-B^n=(C-B)P$, где $C-B=a'^n, P=a''^n$,
$C^n-A^n=(C-A)Q$, где $C-A=b'^n, Q=b''^n$,
$A^n+B^n=(A+B)R$, где $A+B=c'^n, R=c''^n$,
[это следует из простой леммы: если числа $A$ и $B$ взимопростые и число $A+B$ не кратно $n$, то числа $A+B$ и $R = \frac{A^n+B^n}{A+B}$ являются взаимопростыми (ибо $R=(A+B)^2T+nAB)$];
(3°) числа $a', a'', b', b'', c', c''$ попарно взаимопростые;
(4°) $A=a'a'', B=b'b'', C=c'c''$.

(5°) Важные равенства:
$c'^n - b'^n = 2a'a'' - (C-B)$,
$c'^n - a'^n = 2b'b'' - (C-A)$,
$a'^n + b'^n = 2c'c'' - (A+B)$, или

(5°a) $(A+B) - b'^n = 2a'a'' - a'^n $,
$(A+B)- a'^n = 2b'b'' - b'^n $,
$a'^n + b'^n = 2c'c'' - (A+B)$,
откуда (из первых двух равенств) находим числа $a''$ и $b''$:
(6°) $a'' = \frac{(A+B) - b'^n + a'^n}{2a'}$,
$b'' = \frac{(A+B) - a'^n + b'^n}{2b'}$.
И наконец, мы находим две формулы, лежащие в основе доказательства ВТФ:
(7a°) $a'' - b'' =\frac{(b'-a')(A+B) + (a'+b')(a'^n-b'^n)}{2a'b'}$,
(7b°) $a'' + b'' =\frac{(b'+a')(A+B) - (a'-b')(a'^n-b'^n)}{2a'b'}$.

Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма

Пусть для определенности числа $A$ и $B$ не кратны $n$. Легко видеть, что формулы 7° остаются верными и в случае, если число $C$ кратно $n$.
Рассмотрим числа $a'', b'', P, Q$ в бинарной системе по последним двум-трем цифрам. Вот все возможные случаи:
a) если $a'=…01, b'=…01$ [или $a'=…11, b'=…11$], то $a''+ b''=…00$ , но $P+Q=…10$;
b) если число $a'+b'$ оканчивается на $k$ нулей, то и число $a''-b''$ оканчивается на $k$ нулей, но число $P-Q$ оканчивается на $k+1$ нулей [т.к. число $P-Q$ делится на $A-B$ и, кроме того, на общий делитель чисел $c и $A+B$];
c) если $a'=…0, b'=…1$ [или $a'=…1, b'=…0$], то $a''- b''=…1$, т.е. нечетно.

Если число $A$ кратно $n$, то берутся числа $c'', b'', R, Q$. Их анализ приводит к аналогичным противоречиям:

(8a°) $c'' - b'' = \frac{(c'-a')(C+B) - (c'+b')(C-B)}{2a'b'}$,
(8b°) $c'' + b'' = \frac{(c'+a')(C+B) - (c'-b')( C-B)}{2a'b'}$.

Учитывая школьные формулы для многочленов $R и $Q$, легко видеть, что число $R - Q$ делится на четное число $C+B$ и, кроме того, на общий делитель четных чисел $A и $C-B$. Следовательно, число $C+B$ делится на 2 лишь в первой степени.
Рассмотрим числа $c'', b'', R, Q$ в бинарной системе по последним двум-трем цифрам. Вот все возможные случаи:
a) если $c'=…01, b'=…01$ [или $c'=…11, b'=…11$], то $c''+ b''=…00$ , но $R+Q=…10$;
b) если число $c'+b'$ оканчивается на $k$ нулей, то и число $c''-b''$ оканчивается на $k$ нулей, но число $R-Q$ оканчивается на $k+1$ нулей [т.к. число $R-Q$ делится на $C-B$ и, кроме того, на общий делитель чисел $A и $C+B$];
c) если $c'=…0, b'=…1$ [или $c'=…1, b'=…01$], то $c''- b''=…1$, т.е. нечетно.

(Следует иметь в виду, что число $R [аналогично и числа $P, Q$] является четным лишь в случае, если и $A и $B$ являются четными.)

Итак, ВТФ полностью доказана.

Виктор Сорокин

Мезос, 2 агуста, 2007

[Алексей К.]

В.Сорокин писал(а):

Рассмотрим числа $a'', b'', P, Q$ в бинарной системе по последним двум-трем цифрам. Вот все возможные случаи:
a) если $a''=…01, b''=…01$ [или $a''=…11, b''=…11$], то $a''+ b''=…00$...

$$01+01=10\not=\ldots00$$

$$11+11=110\not=\ldots00$$

Или я чего-то не понимаю?
Бинарная система --- она же двоичная?
(То, что номер этого сообщения 111, --- чистая случайность)

[В.Сорокин]

Алексей К. писал(а):

В.Сорокин писал(а):

Рассмотрим числа $a'', b'', P, Q$ в бинарной системе по последним двум-трем цифрам. Вот все возможные случаи:
a) если $a''=…01, b''=…01$ [или $a''=…11, b''=…11$], то $a''+ b''=…00$...

$$01+01=10\not=\ldots00$$

$$11+11=110\not=\ldots00$$

Или я чего-то не понимаю?
Бинарная система --- она же двоичная?
(То, что номер этого сообщения 111, --- чистая случайность)

Конечно, Вы правы: нелепица возникла из-за лишних (двойных) штрихов в $a''=…01, b''=…01$ [или $a''=…11, b''=…11$]. Большое спасибо! Я уже внес исправления в основной текст.

[Алексей К.]

В.Сорокин писал(а):

...я публикую его в более аккуратном виде.

Все числа в тексте целые и даны в базе с простым основанием $n$.

Вот известные положения, многократно обсужденные на математических форумах.
Итак, пусть
(1°) $A^n+B^n = C^n$, где простое $n > 2$ и $A, B, C$ взаимопростые.

По-моему, в тексте почти нет целых чисел (2 попадалось).
(или речь идёт о переменных $A,B,C,P,a^\prime$, etc??? Они в какой-то базе?).
"База с простым основанием" --- это система счисления с простым основанием?
Простое основание системы $n$ и показатель степени в $A^n+B^n = C^n$ --- одно и то же число?
Чтобы понять доказательство --- надо штудировать форумы, или этот текст самодостаточен?

[В.Сорокин]

Алексей К. писал(а):

1. По-моему, в тексте почти нет целых чисел (2 попадалось).
(или речь идёт о переменных $A,B,C,P,a^\prime$, etc???
2. Они в какой-то базе?).
"База с простым основанием" --- это система счисления с простым основанием?
3. Простое основание системы $n$ и показатель степени в $A^n+B^n = C^n$ --- одно и то же число?
4. Чтобы понять доказательство --- надо штудировать форумы, или этот текст самодостаточен?

1. Все буквы в тексте обозначают целые числа.
2. В Введении все свойства равенства Ферма даются и вывводятся в простой базе $n$, а само доказательство проводится в бинарной системе.
3. Да, одно и то же.
4. Не нужно. Смотрите доказательство в предположении, что во вводной части ошибок нет. Если расчеты в a), b), c) верны, то переходите к вводной части. Готов ответить на любые вопросы.
Желаю интересных размышлений.
В.С.

[Алексей К.]

В.Сорокин писал(а):

Все числа в тексте целые и даны в базе с простым основанием $n$.

Т.е. если я решил рассмотреть частный случай $n=3$, то число $A$ в Вашем описании дано в троичной системе счисления. А если я решил рассмотреть частный случай $n=11$, то число $A$ в Вашем описании дано в 11-ричной системе счисления... Я бы, наверное, понял разницу, если бы речь шла о числе 20. Но с числом $A$ --- ??? Где в доказателсьве как-то фигуриует то, что число $A$ записано в "базе с простым основанием $n$"???
Зачем эти излишества?

В.Сорокин писал(а):

Пусть для определенности числа $A$ и $B$ не кратны $n$. Легко видеть.....................................................................

Если число $a$ кратно $n$, то

Это вроде как альтернатива. Но тогда во второй строке $A$, а не $a$?

В.Сорокин писал(а):

Итак, ВТФ полностью доказана.

Допустим (а как жить дальше???). Но ВТФ, как мне казалось, простыми $n$ не ограничивалась.

Не придирки это. Ляпы-алогизмы бросаются в глаза и ставят барьер. bot прав.

[В.Сорокин]

Алексей К. писал(а):

1. Т.е. если я решил рассмотреть частный случай $n=3$, то число $A$ в Вашем описании дано в троичной системе счисления. А если я решил рассмотреть частный случай $n=11$, то число $A$ в Вашем описании дано в 11-ричной системе счисления... Я бы, наверное, понял разницу, если бы речь шла о числе 20. Но с числом $A$ --- ??? Где в доказателсьве как-то фигуриует то, что число $A$ записано в "базе с простым основанием $n$"???
Зачем эти излишества?

В.Сорокин писал(а):

Если число $a$ кратно $n$, то

2. Это вроде как альтернатива. Но тогда во второй строке $A$, а не $a$?

В.Сорокин писал(а):

Итак, ВТФ полностью доказана.

3. Допустим (а как жить дальше???).
4. Но ВТФ, как мне казалось, простыми $n$ не ограничивалась.
5. Не придирки это. Ляпы-алогизмы бросаются в глаза и ставят барьер.
6. bot прав.

=========
1. Буква $n$ обозначает любое простое число большее двух, и при любом таком простом числе формулы 2-7 верны.
2. Вы опять правы; если удастся - исправлю в моем тексте. Спасибо за замечание.
3. Дальше жить будет трудно, особенно ферматистам, для которых поиск доказательства являлся важным смыслом их жизни. Если мое доказательство окажется верным, то прошу у них извинения.
4. Разумеется. Но для специалистов в теории ВТФ этого достаточно: для 4-ой стпени доказательство отдельное, а для степеней кратных $n>2$ доказательство сводится к к простой степени $n$.
5. Давайте еще. Я из тех, кто смотрит в книгу, а видит фигу. В 3-м классе у нас был предмет Чистописание. Так я переписать безошибочно слово из шести букв не мог: читаю одно, а пишу другое. А что делать?
6. И я говорю, что он прав.
Однако, еще не вечер...
Вот если я ошибся в выводе формулы 7°, то дело швах.