Одно диофантово уравнение и ВТФ.

[В.Сорокин]

worm2 писал(а):

Может быть, "попарно непересекающихся" или "с попарно взаимно простыми периодами" ?

Вот если идти по этому (выделенному мною) пути, то можно заблудиться в многоэтажных соотношениях о взаимной простоте. Я эту сложность обхожу стороной.
Кстати, я устранил дефекты в доказательстве Теоремы о покрытии.

[shwedka]

В.Сорокин

Цитата:

Кстати, я устранил дефекты в доказательстве Теоремы о покрытии.

Ах, там, оказывается, дефекты были!!! Ужель???
А, вообще, такое рассуждение годится только для "покрытий" с общей начальной точкой. А если начальные точки разные??

[Руст]

worm2 писал(а):

Руст писал(а):

shwedka писал(а):

Руст
По-моему, с ПОПАРНО несовпадающими периодами.

Возможно правильнее вставить "Попарно", хотя я подразумевал "с несовпадающими" как отсутствие равных периодов (т.е. попарно несовпадающих).

Может быть, "попарно непересекающихся" или "с попарно взаимно простыми периодами" ?
Как всё-таки точно А то получается контрпример:

$\mathbb{N}$=$\{2k\} \cup \{3k\} \cup \{4k-3\} \cup \{6k+5\} \cup \{12k-5\}$. k везде натуральное.

Worm2 вы правы. В Mathlinks e было с попарно непересекающимися и попарно неравными периодами.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

От привычных понятий в голове сразу появляются привычные правильные образы. А от ваших "покрытий", "меток" - туман, приходится всё время додумывать, что вы сказали и перевести на обычно используемый математиками язык. То, что вы считаете "доказательство" - полная чушь. Вообщем мне всё это надоело.

Очень жаль. Вы готовы отказаться от нового инструмента только потому, что он Вам непривычен. Конечно, краткое доказательство Теоремы о непокрытом элементе можно переложить и на привычный Вам язык. Но в этом случае все равно надо вводить понятие периода, а главное – непонятно с какой целью передвинуть все периоды на единицу, чтобы получить произведение $d$.
Впрочем, случаи отказа от новых инструментов – дело обычное. Вот пример из моей практики. В 1985 г. я заменил определение турбины как «вала с лопатками на нем» на «тело вращения с каналами в нем». Новый взгляд позволил увеличить запатентованное разнообразие турбин сразу в сотни тысяч раз и открыть десятки новых свойств турбин. (Впрочем, до внедрения их в жизнь пройдет еще сотни лет – мешает косность мышления.)
Интуитивная неверность Теоремы о бесконечности множества чисел $q$ объясняется тем, что один и тот же длинный интервал покрываемого множества в случае его покрытия арифметическими прогрессиями с простыми первыми членами требует значительно меньше покрытий, чем в случае его покрытия арифметическими прогрессиями с каждым натуральным первым членом. Но тем не менее, факт налицо - теорема о покрытии имеет предельно краткое доказательство..

Добавлено спустя 17 минут 23 секунды:

shwedka писал(а):

[А, вообще, такое рассуждение годится только для "покрытий" с общей начальной точкой. А если начальные точки разные??

Во-первых, для моей задачи этого достаточно.
Во-вторых, случай применения Эратосфенова решета в алгоритме нахождения простых чисел тоже относится к этому типу: с общей начальной точкой. Кстати, с помощью числа $d$ (произведения длин периодов) теорема о бесконечности множества простых чисел доказывается вдвое короче, чем в школе.
Ну а если покрытия начинаются не с полного периода (кстати, как это сказать на языке Руста?), да еще и не закономерно, то это почти что формула простого числа - безнадега.

Добавлено спустя 6 минут 45 секунд:

Руст писал(а):

(от Вт Окт 02, 2007 08:26:15):
6,7,8 не верны и я могу доказать, что существует бесконечно много q, для которых они не верны. Это не так сложно.

Это не страшно. Удалось бы показать, что существует бесконечно много q, для которых они верны...
=============
На другой день:
В связи с тем, что самый интересный в математике ряд (тесно связанный с распределением простых чисел) с общим членом $2^t-1$ не является арифметической прогрессией, а потому и не подлежащий анализу с помощью покрытия его арифметическими прогрессиями, а также в связи с тем, что этот ряд не вызвал интереса у читателей, я считаю излишним еще раз останавливаться на его рассмотрении. Тем более, что мой метод анализа рядов с помощью покрытий вызывает негативное отношение у г-на Руста. Из уважения к нему я готов в доказательстве ВТФ использовать простые числа $q$ только вида $q=2pn+1$, где на целое $p$ накладывается только одно ограничение: оно нечетно.

[Батороев]

В.Сорокин писал(а):

В связи с тем, что самый интересный в математике ряд (тесно связанный с распределением простых чисел) с общим членом $2^t-1$ не является арифметической прогрессией, а потому и не подлежащий анализу с помощью покрытия его арифметическими прогрессиями

Распределение простых чисел - это именно, и есть совокупность арифметических прогрессий.

Для упрощения восприятия сказанного предлагаю такую абстракцию:
Числовую ось представим в виде прямой линии с расположенными на ней точками, символизирующими числа.
От нуля с полупериодом, равным каждому простому числу "потянулись" синусоиды.
Если количество синусоид конечно, то "видим" следующую картину.
В местах пересечения синусоид с линией, начиная со второго, получаем составные числа.
В точках, которые, пользуясь Вашей терминологией, "не покрылись" синусоидами, получаем новые простые числа.
По доказанному свойству о бесконечности простых чисел, "непокрытых" точек не может не быть.

Если синусоиды имеют начало не от нуля, а от других произвольных точек (т.е. как, по-видимому, предлагается Рустом), то на числовой оси все равно существует некая точка (число), начиная с которой взаимное расположение синусоид станет точно таким же, как и у вышеописанных синусоид.
Назовем эту некую точку "относительным нулем".
Не вдаваясь в подробности "покрытия" оси синусоидами на интервале от нуля до относительного нуля, мы можем твердо утверждать, что за ней все равно будут "непокрытые" точки.

Например, если имеем три арифметические прогрессии:
1) Первый член - 1, период - 2,
2) Первый член - 5, период - 3,
3) Первый член - 19, период - 5,
то за относительный нуль можно принять 29.

Если периоды не равны простым, то значит они равны составным ("взаимнопсевдопростым" ).
При таких прогрессиях будем иметь лишь большее количество "непокрытых" точек.

Что касается общего члена $2^t-1$, то его, по-видимому, можно рассматривать, как элемент прогрессии 1) из моего примера.

[shwedka]

В.Сорокин писал(а):

я готов в доказательстве ВТФ использовать простые числа $q$ только вида $q=2pn$

Неслабо!!!

[В.Сорокин]

shwedka писал(а):

В.Сорокин писал(а):

я готов в доказательстве ВТФ использовать простые числа $q$ только вида $q=2pn$

Неслабо!!!

А чего так злорадно? Это ж не секрет, что я пропускаю буквы...

[shwedka]

В.Сорокин

Цитата:

Это ж не секрет, что я пропускаю буквы...

И еще цифры...

[В.Сорокин]

Батороев писал(а):

1) Первый член - 1, период - 2,..

Что касается общего члена $2^t-1$, то его, по-видимому, можно рассматривать, как элемент прогрессии 1) из моего примера.

Это место я не понимаю.
Вообще, терминология покрытия рядов с помощью арифметических прогрессий мне подставляется неудачной, уводящей в сторону от существенных возможностей.
Может быть, было бы правильней говорить о покрытии не просто арифметическими прогрессиями, а периодическими рядами НОМЕРОВ в виде арифметических прогрессий.
Из разговоров на эту тему я вижу, что упущена очень важная характеристика покрытия – позиция покрывающего элемента (номера) внутри периода. Ну а самый главный дефект общепринятой терминологии заключается в том, что она мешает анализировать методом покрытий множества иной природы, отличной от натурального ряда. Моя идея ОТДЕЛЕНИЯ ПРОЦЕДУРЫ покрытия (со своим математическим аппаратом) метками от математических соотношений между НОМЕРАМИ меток (в виде арифметических прогрессий) дает мощный инструмент для анализа множеств различной природы, в том числе и чисто физических.
Общепринятое слияние процедуры и арифметической прогрессии препятствует ясному анализу удивительной последовательности $2^t$ ($t=1, 2, … t-1)$, выявляющей связь между самими простыми числами и их предыдущими значениями, т.е. по существу связь с малой теоремой Ферма. Но именно при анализе этой последовательности становятся понятными математические свойства покрытия последовательностей СОСТАВНЫМИ числами.

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

Вт Окт 02, 2007 08:26:15 :

В.Сорокин писал(а):

3. Множество всех позитивных цифр $1, 2, … q-1$ в базе $q$ обозначим символом $Q$.

Я не понял, что за позитивные числа (в переводе с английского это положительные, но у вас и так перечислены только положительные), возможно остатки кроме 0. Но дальше я не видел, что они используются. Раз так, зачем людям голову морочит.

Цитата:

6. Множество $N$ совпадает с множеством последних цифр чисел $2^t$ ($t=1, 2, … t-1$. (Это утверждение для общего случая пока не доказано.)

7. Множество $N$ совпадает также с множеством последних цифр чисел $2^t$ ($t=1, 2, … \frac{q-1}{n}$. (Утверждение как будто доказуемо.)

8. На множестве $N$ любое равенство $a+b=c$ возможно лишь в случае $a=b$, т.е. F-равенство – к каковым относится и равенство Ферма – невозможно. (Это утверждение для общего случая пока не доказано.)

6,7,8 не верны и я могу доказать, что существует бесконечно много q, для которых они не верны. Это не так сложно.

Хотелось бы увидеть доказательство п.6.

А пока:

Положение на сегодня
Обозначение 1: $a_1$ – последняя цифра любого числа $a$.
Вот перечень утверждений, которые нужны для доказательства ВТФ:
1) Для заданных простого числа $n>2$ и нечетного числа $d$ существует бесконечное множество простых чисел $q$ вида $q=2pn+1$, где нечетные $p$ и $d$ являются взаимно простыми.
Для доказательства ВТФ мы возьмем
2) число $d$, являющееся наибольшим нечетным делителем числа $(abc)^n$ из равенства Ферма, и
3) число $q>c^n$ (т.е. числа $a^n, b^n, c^n$ однозначны).

Обозначение 2: $N(q)$ – можество различных (без повторов) последних цифр в числах $t^n$ ($t=1, 2, … q-1$) в простой базе $q$. Тогда
4) Число различных элементов в множестве $N(q)$ равно $(q-1)/n.
5) Множество $N(q)$ содержит цифру $2$.
6) Одна половина множества $N(q)$ описывается формулой $2^t_1$ ($t=1, 2, … (q-1)/(2n)$), другая половина множества $N(q)$ описывается формулой $(q-2^t_1)_1$ ($t=1, 2, … (q-1)/(2n)$).
Два примера $N(q)$ для $n=3$:
$N(31)$: 1, 2, 4, 8, 15, 16, 23 (=31-8), 27 (=31-4), 29 (=31-2), 30 (=31-1);
$N(43)$: 1, 2, 4, 8, 11 (=43-32), 16, 21 (=64-43), 22 [=43-21=43-(64-43)], 27 (=43-16), 32, 35 (=43-8), 39 (=43-4), 41 (=43-2), 42 (=43-1).

Таким образом, в базе $q$ равенство Ферма принимает интересный вид:
7) $(2^u_1 + 2^v_1-2^w_1)_1=0$ (или даже $(1 + 2^v_1-2^w_1)_1=0$), где $ 2^u_1=a^n, 2^v_1=b^n, 2^w=c^n$.
Однако для завершения доказательства моих знаний может оказаться недостаточно.
Предлагаю желающим завершить доказательство ВТФ вместе.

[Руст]

В.Сорокин писал(а):

5) Множество $N(q)$ содержит цифру $2$.
Два примера $N(q)$ для $n=3$:
$N(31)$: 1, 2, 4, 8, 15, 16, 23 (=31-8), 27 (=31-4), 29 (=31-2), 30 (=31-1);
$N(43)$: 1, 2, 4, 8, 11 (=43-32), 16, 21 (=64-43), 22 [=43-21=43-(64-43)], 27 (=43-16), 32, 35 (=43-8), 39 (=43-4), 41 (=43-2), 42 (=43-1).

Вот ещё пример N(q) при n=3, q=13:
$N(13): \ 1,5,6,12$
Как видим N(13) не содержит 2 - противоречит вашему утверждению 5).

[В.Сорокин]

Руст писал(а):

В.Сорокин писал(а):

5) Множество $N(q)$ содержит цифру $2$.
Два примера $N(q)$ для $n=3$:
$N(31)$: 1, 2, 4, 8, 15, 16, 23 (=31-8), 27 (=31-4), 29 (=31-2), 30 (=31-1);
$N(43)$: 1, 2, 4, 8, 11 (=43-32), 16, 21 (=64-43), 22 [=43-21=43-(64-43)], 27 (=43-16), 32, 35 (=43-8), 39 (=43-4), 41 (=43-2), 42 (=43-1).

Вот ещё пример N(q) при n=3, q=13:
$N(13): \ 1,5,6,12$
Как видим N(13) не содержит 2 - противоречит вашему утверждению 5).

Вы правы.

[В.Сорокин]

В.Сорокин писал(а):

Вот ещё пример N(q) при n=3, q=13:
$N(13): \ 1,5,6,12$
Как видим N(13) не содержит 2 - противоречит вашему утверждению 5).

Вы правы.[/quote]

Шаг назад: замена утверждений 5-6 на более общее:
5) Множество $N(q)$ содержит такую цифру $e$, что
одна половина ($N'(q)$) множества $N(q)$ описывается формулой $e^t_1$ ($t=1, 2, … (q-1)/(2n)$), другая половина ($N''(q)$) множества $N(q)$ описывается формулой $(q-e^t_1)_1$ ($t=1, 2, … (q-1)/(2n)$).

Пример $N(q)$ для $n=5$:
$N(31)$: 1, 5, 6, 25, 26, 30;
$e=5$;
$N'(31)$: 1 ($=5^0$), 5 ($=5^1$), 25 ($=5^2$);
$N''(31)$: 30 (31-1), 26 (31-5), 6 (31-25).

Двойка, конечно, была удобней…

[В.Сорокин]

Единственный результат за последнее время.

Во всех замеченных мною равенствах $A+B=C$ по последним цифрам $A, B, C$ чисел $d^p, d^q, d^r$ числа $A$ и $C$ имеют общий делитель. Если этот факт закономерен и его легко доказать, то простое доказательство ВТФ существует.

[В.Сорокин]

Доказательство ВТФ. Новая идея

Обозначения:
a_{(i)} – i-я цифра от конца в числе a в базе с простым основанием n>2.
a_{(i,j)} – число, составленное из цифр от i до j числа a.
9 – обозначение цифры n-1,
8 – обозначение цифры n-2.


(01°) Допустим, решение уравнения A^n+B^n-C^n = 0 в целых числах существует.

(02°) С помощью умножения равенства 01° на достаточно большое число d^n, не кратное n, (которое, как известно, в простой базе n существует) приведем число u=a+b-c к виду:
u = (n^k)(n^p - 1), в результате чего равенство 01° преобразуется в равенство
(1°) a^n+b^n-c^n = 0,
где c>a>b и a+b>c.

Разобьем все разряды числа u на следующие три зоны:
1) [p, q+1],
2) [q, r+1],
3) [r, 1], где
p – наибольший разряд числа c,
q – наибольший разряд значимой части числа u,
r – наибольший разряд нулевого окончания числа u.
Т.е. число u = u_{(p, q+1)}n^q+u_{(q, r+1)}n^r+u_{(r, 1)}, или u=/00…00//99…99//00…00/.
Заметим, что к этому виду приводится число u=a+b-c для любого равенства Ферма.

Поскольку нулевое окончание числа u от умножения на d не меняется, а интересующие нас разряды цифр (по которым a^n+b^n-c^n<0) имеют номера намного больше r, то нулевым окончанием числа u мы пренебрежем. И теперь приближенные значения чисел a, b, c имеют вид:

(2°)
a=/99…98//99…99/,
b=/00…00//99…99/,
==============
c=/99…99//99…99/.

Округлим эти значения еще немного – до:
(3°)
a=n^p-n^q,
b=n^q,
========
c=n^p.

Легко видеть, что при этих значениях чисел a, b, c мы имеем неравенство:
(4°) a^n+b^n-c^n<0.

(5°) Также легко видеть, что уменьшение чисел a, b, c в 3° соответственно на a', b', c' при условии a'+b'-c'=0 изменить знак неравенства 4° не может.

Таким образом, выражение в ВТФ (1° или 01°) является неравенством.

ВТФ доказана.

(6 июля 2008 года. Мезос)

P.S. Возможно и обратное доказательство – исходя из формулы 3° с произвольно большими числами.

P.P.S. Конечно, вычисления требуют тщательной проверки.

===============================

Добавка от 8-го:

Главное, из 2° и 5° (что верно для любого равенства Ферма) следует, что a+b=c,
и невозможность равенства Ферма налицо.