Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[STilda]

to warm2:
А3. Одной или нескольким взаимодействующим полярностям можно поставить в соответствие одну или несколько взаимодействующих полярностей.
Это наверно должно внести поправку, в понимание термина "операция определена на парах"
Действительно, я не постулирую "выполнимость" операции на паре объектов.

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

А4. Соответствие не нарушится, если один и тот же поляризованный объект войдёт во взаимодействие с исходным и поставленным ему в соответствие комплексом полярностей.

Аксиома эта говорит про то, что если мы "умножим левую и правую часть равенства на одно и тоже", то получим тоже равенство

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Система4
Есть $A,B,C,D,0$
По умножению:
$A^2=B,A^3=C,A^4=D,A^5=A$
(это также как в комплексных числах)
По сложению:
Постулирую четырехполярную операцию со свойствами
$A+B+C+D=0$, $A+0=A,B+0=B,C+0=C,D+0=D, 0+0=0$. Четырехполярная компенсация. Попарная исключается, тройная тоже.
Дополнительно: $0*A=0*B=0*C=0*D=0$

Тогда по аналогии, вы можете ввести в терминах комплексных чисел четыре числа $A=i,B=-1,C=-i,D=1$. В умножении будет все хорошо. Но сложение подведет. В комплексных числах будет выполнятся операция $i2+3-4=i2-1$. В системе4 же останется $A2+3D+4B=A2+3D+4B$. Операция не выполнится. И число "не схлопнется".

Проще сказать так: $B+D\ne0$, но $-1+1=0$. Это несоответствие показывает, что получился действительно не изоморфизм. Более того, в системе4 есть делители нуля: $(A+B)(A+C)=A+B+C+D=0$. Естественно, ненулевых комплексных чисел с нулевым произведением не бывает, поэтому изоморфизм системы4 с комплекными числами в принципе невозможен.

Но эта система изоморфна $\mathbb{R}\times\mathbb{C}$: $A=(-1,i), B=(1,-1), C=(-1,-i), D=(1,1)$. Сложение и умножение определяются почленно. И теперь, как легко проверить, для "схлопывания" можно сделать обратную операцию "разворачивания".

И это не "повезло", а общий закон: любая такая сколь угодно запутанная "система" изоморфна конструкции из "кирпичиков" - действительных и комплексных чисел, где операции определены почленно. Так что, сколько бы полярностей ни было, ничего существенно нового в математику они не приносят.

[worm2]

STilda писал(а):

to warm2:
А3. Одной или нескольким взаимодействующим полярностям можно поставить в соответствие одну или несколько взаимодействующих полярностей.
Это наверно должно внести поправку, в понимание термина "операция определена на парах"
Действительно, я не постулирую "выполнимость" операции на паре объектов.

Понятно. Тогда во-первых, коммутативности быть не может (ведь в коммутативности участвуют пары: A#B=B#A, а так, получается, вообще нельзя писать). Во-вторых, во весь рост встаёт вопрос о структуре множества T. Например, над всеми ли тройками (A, B, C) определена операция? Если да, то она, как я уже писал, автоматически по аксиоме A4 однозначно распространяется на пятёрки, семёрки, и т.д. на любые (2n+1)-ки. А вот про 4-ки, 6-ки и т.д. пока ничего нельзя сказать. А может быть, операция определена не на всех тройках, а только на некоторых? А как насчёт 4-к, например?
В зависимости от ответов на эти вопросы, операция может иметь разные свойства.

Добавлено спустя 18 минут 7 секунд:

STilda писал(а):

А3. Одной или нескольким взаимодействующим полярностям можно поставить в соответствие одну или несколько взаимодействующих полярностей.

Только сейчас дошло, что это можно понимать как "результат операции не обязательно является полярностью". Так???

[AD]

Цитата:

А5. Комутативность, ассоциативность во взаимодействии.
Тоесть $A\#B=B\#A$ и $(A\#B)\#C=A\#(B\#C)$

А зачем это? Некоммутативные и даже неассоциативные операции рассматриваются.

[STilda]

worm2 писал(а):

Понятно. Тогда во-первых, коммутативности быть не может (ведь в коммутативности участвуют пары: A#B=B#A, а так, получается, вообще нельзя писать). Во-вторых, во весь рост встаёт вопрос о структуре множества T. Например, над всеми ли тройками (A, B, C) определена операция? Если да, то она, как я уже писал, автоматически по аксиоме A4 однозначно распространяется на пятёрки, семёрки, и т.д. на любые (2n+1)-ки. А вот про 4-ки, 6-ки и т.д. пока ничего нельзя сказать. А может быть, операция определена не на всех тройках, а только на некоторых? А как насчёт 4-к, например?
В зависимости от ответов на эти вопросы, операция может иметь разные свойства.

Я строю систему на конечном множестве элементов $A,B,...M$. Лучше всего множество $T$ Вам рассматривать как булеан, и множество $W$ тоже как булеан. Конечно с поправками, относительно множеств с одним элементом, множеств с повторяющимися элементами и т.д. ... Все равно ваше отображение будет представлять таблицу правил соответствий одного набора другому, причем не противоречащую определенным аксиомам. Непротиворечивость и будет критерием, для решения вопроса, на каких тройках или двойках или пятерках определно, а на каких не определено ваше отображение.
Не вижу никакого противоречия в том, что $A\#B=B\#A$, причем, ни при каких ограничениях на структуру $T$. Мы просто говорим, что эти записи означают одно и тоже. Можем даже знак равно не использовать, и вывести это правило на уровень обозначений.

to tolstopuz:
Даа, Вы меня заставили задуматься, пасибо за последний пример...
Думаю так. Наверно это нормально, и ничему не противоречит. Те новые системы, в которые я хочу вникнуть, и в которых хочу отыскать новизну содержат в себе и двойственные принципы. Например, кто-то замечал выше, что для $A$ есть компенсирующее $B+C$, такое, что $A+(B+C)=0$. Да, есть. Это мне кажется логичным. Но в системе1, кроме такой двойственной компенсации, есть и истинная трехполюсная компенсация $A+B+C=0$. Чего нет в комплексных числах, потому что в них такая компенсация будет не изначальным принципом, а строящимся на основе парной компенсации. Беда в том, что мы научились и повсюду используем двойную, нашли ей соответствие в реальном мире, и она для нас имеет смысл и выделяется и есть основной. Если так же хорошо овладеть и тройственностью в реальном мире, то ее больше не захочется "скидывать" на двойственность, которая в ней присутствует. Она будет на равных правах с двойственностью. И будет выделяться как самостоятельная система, наряду с двойственной.

Так, еще про изоморфизм системы1 и комплексных чисел. Такой изоморфизм я всетаки склонен считать изоморфизмом между разными структурами, и при нем происходит "потеря сути обозначений". В системе1 $A$ подразумевает существование ее дополняющих $B,C$. В комплексной интерпретации $A$ ничего не подозревает про существование $B,C$. Это чисто формальная условность. Такой изоморфизм больше похож на изоморфизм между цветным и чернобелым изображением. Да, красный, зеленый, синий можно закодировать в черно-белых терминах. Но черно-белое, хоть одно (действительные числа с их $(-)+(+)=0$), хоть два вместе взятых (комплексные числа с двумя приныипами парной компенсации $(-)+(+)=0, (-i)+(i)=0$) никогда не узнают что такое красное зеленое и синее. Если точке на плоскости поставить в соответствие число комплексное и число системы1 (соответствие по пространственному расположению) это будут разные точки. Одна точка будет "вверх-вниз, вправо-влево", и не знает ничего кроме черно-белого по горизонтали и черно-белого по вертикали. Другая точка будет с лучами под 120 градусов, и будет знать красно-зелено-синее.
Тоесть наверно неправильно была изначально геометрическая интерпретация. Если в комплексных числах имели на плоскости черно-белый круг, то в системе1 будем иметь на плоскости цветной круг. Изоморфизм есть, да, но при нем есть потеря понятия "цвет".
Вот так вот я проинтерпретировал пока что этот изоморфизм.

Для системы1, кстати, можно такое сделать: обозначим $M=A+B$, тогда $M^2=C$, $M*C=M$, $M+C=0$ тоесть получим полный аналог действительных чисел.

AD писал(а):

А зачем это? Некоммутативные и даже неассоциативные операции рассматриваются.

Может ли быть в неассоциативной системе $(a*a)*a \ne a*(a*a)$? Если да, то что это означает на практике?

Добавлено спустя 5 минут 40 секунд:

Понятно, под $*$ можна подразумевать некторую функцию, например возведение в степень. Там правый и левый аргумент имеет значение. да. но какой смысл закладывать это в аксиомы модели?

[AD]

STilda писал(а):

Понятно, под $*$ можна подразумевать некторую функцию, например возведение в степень. Там правый и левый аргумент имеет значение. да. но какой смысл закладывать это в аксиомы модели?

Ну так мы же хотим чем общее, тем лучше? Или нет? Зачем ограничиваться только коммутативными моделями, когда вся алгебра уже давно обнекоммутативнилась (те же группы преобразований, алгебры матриц, итп ...)

STilda писал(а):

Но в системе1, кроме такой двойственной компенсации, есть и истинная трехполюсная компенсация $A+B+C=0$. Чего нет в комплексных числах, потому что в них такая компенсация будет не изначальным принципом, а строящимся на основе парной компенсации.

А чем "истинная" "компенсация" отличается от "ложной"? Ну вот мы построили "ложную", а потом забыли, что мы ее как-то строили, у нас просто функция готовая есть, и кто знает, как ее там кто-то до нас строил. Помните, определение функции я давал (конечно, это был не я, это определение принадлежит Дирихле вроде бы)? Вот с такой точки зрения чем эти "компенсации" отличаются?

STilda писал(а):

Одна точка будет "вверх-вниз, вправо-влево", и не знает ничего кроме черно-белого по горизонтали и черно-белого по вертикали. Другая точка будет с лучами под 120 градусов, и будет знать красно-зелено-синее.

Так установление изоморфизма и означает, что на комплексной плоскости можно нарисовать лучи под 120 градусов, а на вашей модели определить, где верх-низ, а где право-лево!

STilda писал(а):

Для системы1, кстати, можно такое сделать: обозначим $M=A+B$, тогда $M^2=C$, $M*C=M$, $M+C=0$ тоесть получим полный аналог действительных чисел.

Скажем, это утверждение после прогона через изоморфизм будет выглядить так: "обозначим $M'=-1$, тогда $M'\cdot1=M'$, $M'+1=0$, то есть комплексные числа вида $\lambda\cdot M'$, $\lambda\in\mathbb{R}$ полностью аналогичны действительным числам".

Так вот, у меня предложение.
Раз вы хотите цвета получить, то почему у вас числа $A$, $B$ и $C$ оказываются неравноправными? Ведь три цвета можно считать равноправными? Не зря их кружочком рисуют? А какой смысл у вас имеет умножение вообще, зачем оно вам понадобилось? Сложение - понятно, смешивание. А зачем единица по умножению?

Короче, почему бы так не определить:

$$(xA+yB+zC)\cdot(x'A+y'B+z'C)=(xz'+yy'+zx')A+(xy'+yx'+zz')B+(xx'+yz'+zy')C$$

Не знаю, правда, что получится, но хотя бы равноправие какое-то есть.
Многие вопросы остаются при этом в силе.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Но в системе1, кроме такой двойственной компенсации, есть и истинная трехполюсная компенсация $A+B+C=0$. Чего нет в комплексных числах

Вы считаете, что в комплексных числах не выполняется $A+B+C=0$?

STilda писал(а):

, потому что в них такая компенсация будет не изначальным принципом, а строящимся на основе парной компенсации.

А, все-таки выполняется, но не радует. А это уже не математическая категория.

Комплексные числа намного богаче содержанием, чем кажется по их алгебраической форме. Нарисуйте на комплексной плоскости правильный n-угольник с центром в начале координат или просто выберите n точек на единичной окружности - вот вам и компенсация. А что считать первичным - вопрос философский. Вот, например:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=8725

Macavity писал(а):

"Мнение о том, что Бог придумал натуральные числа, а люди все остальные - ошибочно. Бог как раз придумал комплексные числа."

STilda писал(а):

В системе1 $A$ подразумевает существование ее дополняющих $B, C$.

Вы смешиваете
а) множество, на котором определена операция;
б) саму операцию;
в) законы, которым эта операция подчиняется.
К какому пункту из трех у вас относится это "подразумевание"?

STilda писал(а):

Изоморфизм есть, да, но при нем есть потеря понятия "цвет".

Если это понятие может быть полностью восстановлено из комплексного числа, то потерей это назвать сложно.

[STilda]

AD писал(а):

А чем "истинная" "компенсация" отличается от "ложной"?

Содержанием. Понимаете, я учитываю, что за этими обозначениями стоит. Вот беру я $A$ из системы1 и действую на нее объектом из системы комплексных чисел: $A+i$. И что произойдет? Ничего. Потому, что это изначально различные объекты, это все равно что взять синий свет и навести на него магнитное поле. Синий при этом останется синим и магнитное поле останется магнитным полем. Они Никак между собой не взаимодействуют. А вы предлагаете синий свет системы1 $A$, смоделировать двумя магнитными полями под 90 градусов (ну, или магнитным и електрическим). Подношу я к такому "синему свету" еще один магнит, и вдруг вижу что мой "синий свет" изменился почему-то. У вашего "синего света" и комплексных чисел одна суть, потому они взаимодействуют. Вот в этом ложность и истинность компенсации.

AD писал(а):

Раз вы хотите цвета получить, то почему у вас числа $A,B,C$ оказываются неравноправными? Ведь три цвета можно считать равноправными? Не зря их кружочком рисуют? А какой смысл у вас имеет умножение вообще, зачем оно вам понадобилось? Сложение - понятно, смешивание. А зачем единица по умножению?

Чтоб построить систему отражающую все законы цветов нужно 6-7 полярностей, не помню, Ленский приводил где-то пример.
Про цвета я говорю, потому что в них, выполняется такой закон, он не единственный конечно.
Говоря про цвета, также, имею ввиду только адитивную часть системы1. (потому что пока что вызывает неоднозначные реакции именно эта часть системы1).
В ней все буквы равноправны будут.

AD писал(а):

Ну вот мы построили "ложную", а потом забыли, что мы ее как-то строили, у нас просто функция готовая есть, и кто знает, как ее там кто-то до нас строил.

Если вы забудете как вы ее строили и забудите основы, на которых ее строили то получите систему1 как она есть.

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

Но в системе1, кроме такой двойственной компенсации, есть и истинная трехполюсная компенсация $A+B+C=0$. Чего нет в комплексных числах

Вы считаете, что в комплексных числах не выполняется $A+B+C=0$?

Такое выполняется и в действительных числах: $3+2-5=0$. Но есть же разница.

tolstopuz писал(а):

Вы смешиваете
а) множество, на котором определена операция;
б) саму операцию;
в) законы, которым эта операция подчиняется.
К какому пункту из трех у вас относится это "подразумевание"?

(Операция, без законов, которым она подчиняется и которые она задает - пустое место.)
Что значит "подразумевает"?. Это значит, что можно считать, что это определение поятия $A$. Без $B$ и $C$ понятия $A$ не существует.

tolstopuz писал(а):

Если это понятие может быть полностью восстановлено из комплексного числа, то потерей это назвать сложно.

Вот, пожалуйста, объясните мне использую хоть тысячекомпонентный вектор с черно-белыми элементами, что такое зеленый. Можете? Представим, я вижу мир в черно белых тонах. Со зрением у меня не впорядке. Расскажите мне что такое зеленый.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

Но в системе1, кроме такой двойственной компенсации, есть и истинная трехполюсная компенсация $A+B+C=0$. Чего нет в комплексных числах

Вы считаете, что в комплексных числах не выполняется $A+B+C=0$?

Такое выполняется и в действительных числах: $3+2-5=0$. Но есть же разница.

Когда вы говорили о системе4, вы сформулировали разницу. Здесь это будет выглядеть, например, так: $5A+3C\ne 0$, но $5(3)+3(-5)=0$. Это действительно разница. А при изоморфизме системы1 с комплексными числами, который обсуждался ранее, такую разницу обнаружить невозможно.

STilda писал(а):

(Операция, без законов, которым она подчиняется и которые она задает - пустое место.)

А вы никогда не встречали законы, связывающие несколько операций? Распределительный, например. И к какой же операции его приписывать? Лучше уж положить операции отдельно, а законы отдельно, пусть операции несколько строк побудут "пустым местом", например, вот так:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0% ... 0%D0%B0%29

STilda писал(а):

Что значит "подразумевает"?. Это значит, что можно считать, что это определение поятия $A$. Без $B$ и $C$ понятия $A$ не существует.

Я все равно не понял. Фраза "В системе1 $A$ подразумевает существование ее дополняющих $B, C$" не является определением понятия $A$.

STilda писал(а):

Вот, пожалуйста, объясните мне использую хоть тысячекомпонентный вектор с черно-белыми элементами, что такое зеленый. Можете? Представим, я вижу мир в черно белых тонах. Со зрением у меня не впорядке. Расскажите мне что такое зеленый.

Сфотографируйте интересующее вас изображение и отнесите на компьютер, там в графическом редакторе вы можете узнать цвет любого пикселя. Зеленый - это #00FF00 и близкие к нему. Можете также наложить фильтр, который гасит первый и третий байты цвета, тогда вы сможете определять контуры зеленых объектов и даже видеть зеленые полутона.

[AD]

Цитата:

Подношу я к такому "синему свету" еще один магнит, и вдруг вижу что мой "синий свет" изменился почему-то. У вашего "синего света" и комплексных чисел одна суть, потому они взаимодействуют.

Потому что не надо еще один магнит подносить. Сейчас я вам объяснить, конечно, попробую, но постарайтесь понять, это будет сложно. Тот магнит, который участвовал в первом эксперименте, и тот, который участвовал во втором - это совсем разные вещи. Когда мы пропустили свет через изоморфизм, он стал магнитом. А чем стал подносимый к свету магнит после прохождения через изоморфизм? Почему вы думаете, что он остался магнитом?

Впрочем, аналогия не очень точная, потому что в вашей модели вообще не существует магнитов, а в комплексных числах вообще не существует света. Подносить нечего не к чему.

Изоморфизм показывает лишь похожие свойства моделей, но не их природу. Ему не интересно, как эти две модели "взаимодействуют друг с другом". Пусть это даже одна и та же модель была.

Добавлено спустя 5 минут 43 секунды:

STilda писал(а):

Операция, без законов, которым она подчиняется и которые она задает - пустое место.

Неа, это теория универсальных ааалгебр Там от операций требуется лишь однозначность и всюдуопределенность. И место там совсем не пустое, теория увесистая.
А аксиомы накладывать - это уже сужать поле деятельности. Но, разумеется, это позволяет сделать теорию еще более богатой.

STilda писал(а):

Что значит "подразумевает"?. Это значит, что можно считать, что это определение поятия $A$. Без $B$ и $C$ понятия $A$ не существует.

Ну хоть одно из них определить все равно придется, так?

Добавлено спустя 2 минуты 22 секунды:

STilda писал(а):

Такое выполняется и в действительных числах: $3+2-5=0$. Но есть же разница.

Неа, нету разницы. См. определение отношения. Вдумчиво см.! Набор пар (троек, четверок, итд) один и тот же, значит отношение одно и тоже. А если вы за отношением всю его генеалогию тащите, то это уже совсем не отношение, а что-то куда более сложное, тут еще надо крепко подумать как это формализовать.

[STilda]

AD писал(а):

STilda писал(а):

Что значит "подразумевает"?. Это значит, что можно считать, что это определение поятия $A$. Без $B$ и $C$ понятия $A$ не существует.

Ну хоть одно из них определить все равно придется, так?

$A,B,C$ полярности системы. Такие же как и (+) и (-) для действительных чисел. Вы мне предлагаете дать определение $A$. Давайте Вы мне дадите определение (+), а я вам по аналогии дам определение $A$. Итак, что такое положительность числа?

Про магниты. Магнит - двухполярная система. Север и юг есть. Свет - трехполярная, изначально трехполярная. Задавать зеленость света через комплексные числа, значит давать определение через два двухполярных объекта (два магнита под 90 градусов) один для действительной оси, один для мнимой. Потому магнит будет действовать на "комплексный вариант определения зеленого света". У них одна основа, двухполярная. Но вот на вариант системы1 - не будет. Этот магнит, которым действуем, не нужно "изоморфировать". Он уже в той системе, в какой нужно (в комплексной).

Ну да ладна. Я пока что думаю, что коплексный вариант системы1 это описание системы1 в "словах" комплексных чисел. Описание объекта не есть объект. Даже если оно однозначное.

tolstopuz писал(а):

Сфотографируйте интересующее вас изображение и отнесите на компьютер, там в графическом редакторе вы можете узнать цвет любого пикселя. Зеленый - это #00FF00 и близкие к нему. Можете также наложить фильтр, который гасит первый и третий байты цвета, тогда вы сможете определять контуры зеленых объектов и даже видеть зеленые полутона.

Ну, понимаете, слово "зеленый" не имеет ничего общего с зеленым цветом.

Такой вопрос. Я так понял, что если числовые системы изоморфны, значит, например, уравнение (или система уравнений) имеющая решения в одной из них будет иметь решения и в других изоморфных. При чем они все друг другу соответствуют по изоморфизму. Правильно? Наверно да. Тогда получается, что либо уравнение имеет решение в действительных/комплексных/кватернионах(/их декартовое произведение) либо вообще не имеет ни в каких? (согласно теореме Фробениуса). Жестоко как-то. Я не верю.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Вы мне предлагаете дать определение $A$. Давайте Вы мне дадите определение (+), а я вам по аналогии дам определение $A$. Итак, что такое положительность числа?

Поле $K$ называется упорядоченным, если для его элементов определено свойство быть положительным (обозначается $>0$), удовлетворяющее следующим условиям:
1. Для каждого элемента $a$ из $K$ имеет место ровно одно из соотношений: $a=0, a>0, -a>0$.
2. Если $a>0$ и $b>0$, то $a+b>0$ и $ab>0$.
(ван дер Варден, стр.266)
В частности, поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$ может быть упорядочено только одним способом, потому что кольцо $\mathbb{Z}$ целых чисел допускает, очевидно, только один - естественный - порядок. Таким образом, $m/n>0$, если $m\cdot n$ - натуральное число. Каждое упорядоченное поле содержит поле $\mathbb{Q}$ и сохраняет на последнем его естественный порядок.
(ван дер Варден, стр.267)

STilda писал(а):

Ну да ладна. Я пока что думаю, что коплексный вариант системы1 это описание системы1 в "словах" комплексных чисел.

Система1 - описание комплексных чисел в "словах" $A, B, C$

STilda писал(а):

Описание объекта не есть объект. Даже если оно однозначное.

Число, написанное от руки, не есть число, напечатанное в книге, даже если они равны. И что?

STilda писал(а):

tolstopuz писал(а):

Сфотографируйте интересующее вас изображение и отнесите на компьютер, там в графическом редакторе вы можете узнать цвет любого пикселя. Зеленый - это #00FF00 и близкие к нему. Можете также наложить фильтр, который гасит первый и третий байты цвета, тогда вы сможете определять контуры зеленых объектов и даже видеть зеленые полутона.

Ну, понимаете, слово "зеленый" не имеет ничего общего с зеленым цветом.

STilda писал(а):

Расскажите мне что такое зеленый.

Рассказать вам о чем, простите?

STilda писал(а):

Такой вопрос. Я так понял, что если числовые системы изоморфны, значит, например, уравнение (или система уравнений) имеющая решения в одной из них будет иметь решения и в других изоморфных.

Да.

STilda писал(а):

Тогда получается, что либо уравнение имеет решение в действительных/комплексных/кватернионах(/их декартовое произведение) либо вообще не имеет ни в каких?

А разве действительные числа, комплексные числа и кватернионы друг другу изоморфны? Вот в комплексных числах и системе1 - да, одновременно.

[STilda]

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

Вы мне предлагаете дать определение $A$. Давайте Вы мне дадите определение (+), а я вам по аналогии дам определение $A$. Итак, что такое положительность числа?

Поле $K$ называется упорядоченным, если для его элементов определено свойство быть положительным (обозначается $>0$), удовлетворяющее следующим условиям:
1. Для каждого элемента $a$ из $K$ имеет место ровно одно из соотношений: $a=0, a>0, -a>0$.
2. Если $a>0$ и $b>0$, то $a+b>0$ и $ab>0$.
(ван дер Варден, стр.266)

Ну это ведь не честно. Вы сами понимаете. Для определения положительности вы воспользовались понятием нуля, понятием отрицательности, еще и воспользовались "правилами поведения" положительности относительно операций сложения и умножения. Например, в пункте 2 вижу: $a>0,b>0$ значит $ab>0$. Это не что иное как правило $(+)*(+)=(+)$. Тоесть такое введение понятия "положительность" ни чем не отличается по сути от определения свойства $A$ в системе1.
Можно, конечно, систему1 переформулировать на манер ван дер Вардена. Получится нечто похожее на:
Будем говорить, что число $x$ имеет свойство $A$ если:
1. Для любых $x,y$ со свойством $A$, $x+y$ имеет свойство $A$, $x*y$ имеет свойство $B$.
2. Число имеет свойство $B$ если ...(тут повторяем пункт 1, заменяя $A$ на $B$ а $B$ на $A$).
3. Кроме того, для свойств $A,B$ выполняется условие: если $x$ имеет свойство $A$ а $y$ свойство $B$ то число $x*y$ будет иметь некое свойство $C$.
...
(дальше следуют пункты в аналогичном стиле для описания свойств $C$)
...
(ну, и так далее)

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

Тогда получается, что либо уравнение имеет решение в действительных/комплексных/кватернионах(/их декартовое произведение) либо вообще не имеет ни в каких?

А разве действительные числа, комплексные числа и кватернионы друг другу изоморфны? Вот в комплексных числах и системе1 - да, одновременно.

Нет, не изоморфны, я имел ввиду где либо а не во всех сразу.

В теореме Фробениуса, кажется, все же предполагается, что для некоего качества $i_n$ противоположным будет $-i_n$. И, по-моему, не предполагается возможность того, что $-i_n=i_k+i_m$.

Про изоморфизм и всякое зеленое, и магниты не буду продолжать. Думаю мы друг друга поняли.
А что если некие две системы системаN и системаM (заданные в стиле системы1) оказались изоморфны комплексным числам. И мы работаем для анализа объекта в терминах комплексных чисел. И взяли, и сложили базисный вектор для системыN с базисным вектором для системыM. Ведь может оказаться, что мы цвет сложили с килограммами или баранов с яблоками в одну кучу смешали. А потом еще в квадрат возвели и синус взяли от этого. Это ведь не хорошо. (Я занимаюсь распознаванием речи, потому для меня такие смеси не простительны, когда, например, интонация произношения повлияла неким "таинственным домешиванием" на распознанные буквы, либо случайно громкость за частоту приняли либо еще чего-то... В том то и проблема, что все системы (разные) скинули на комплексные числа, где все со всем можно перемешать и сложить и умножить. А в реальности все раздельно. Смысл смыслом, интонация интонацией, громкость в высоту голоса никак не подмешается, и так далее )

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Ну это ведь не честно. Вы сами понимаете. Для определения положительности вы воспользовались понятием нуля

Да, в определении поля есть нуль, почему бы им не воспользоваться?

STilda писал(а):

понятием отрицательности

Нет. Но в определении поля есть понятие противоположного элемента, почему бы им не воспользоваться?

STilda писал(а):

еще и воспользовались "правилами поведения" положительности относительно операций сложения и умножения.

Не воспользовался, а, наоборот, придумал эти правила. Вы еще скажите, что операция умножения в поле "нечестная", так как у нее есть "правила поведения" относительно сложения.

STilda писал(а):

Будем говорить, что число $x$ имеет свойство $A$ если:
1. Для любых $x,y$ со свойством $A$, $x+y$ имеет свойство $A$, $x*y$ имеет свойство $B$.

Скажите, имеет ли число $2A+3B$ свойство $A$? А число $A+3C$? А их сумма?

STilda писал(а):

В теореме Фробениуса, кажется, все же предполагается, что для некоего качества $i_n$ противоположным будет $-i_n$.

А разве в теореме Фробениуса говорится что-то о "качествах" и "противоположности"?

STilda писал(а):

А что если некие две системы системаN и системаM (заданные в стиле системы1) оказались изоморфны комплексным числам. И мы работаем для анализа объекта в терминах комплексных чисел. И взяли, и сложили базисный вектор для системыN с базисным вектором для системыM. Ведь может оказаться, что мы цвет сложили с килограммами или баранов с яблоками в одну кучу смешали. А потом еще в квадрат возвели и синус взяли от этого. Это ведь не хорошо.

Для этого даже никаких комплексных чисел и систем1 не нужно. Посмотрите прогноз погоды и сложите температуру с давлением. Теперь будем запрещать действительные числа?

[STilda]

Значит так, говорим про определение свойства $A$.

tolstopuz, я Вам показал, что все эти понятия зашнурованы одно на другое. И выступают только комплексом правил и взаимосвязей. Положительность, отрицательность, нуль, операции и т.д. Этот комплекс и будет определением всего это. Положительность не существует без отрицательности, без нуля, без правил оперирования ей (если существует, так что же это?(ван дер Варден не подходит по приведенным замечаниям)). Потому, мое определения своства $A$ в виде системы1 правомочно, и полностью соответствует определению положительности, нуля и так далее в "обычных" числах.

tolstopuz писал(а):

Не воспользовался, а, наоборот, придумал эти правила.

Называйте как нравится, они вам понадобились для того, чтобы дать определение "положительности".

tolstopuz писал(а):

STilda писал(а):

Будем говорить, что число $x$ имеет свойство $A$ если:
1. Для любых $x,y$ со свойством $A$, $x+y$ имеет свойство $A$, $x*y$ имеет свойство $B$.

Скажите, имеет ли число $2A+3B$ свойство $A$? А число $A+3C$? А их сумма?

Число $2A+3B$ имеет свойств столько же сколько и число $2+3i$. Можете говорить, что оно имеет сразу два свойства и интенсивность этих свойств задана коеффициентами.

tolstopuz писал(а):

А разве в теореме Фробениуса говорится что-то о "качествах" и "противоположности"?

А о чем же там говорится? Числа, заданы в определенном виде $x=a_0+i_1*a_1+i_2*a_2+...+i_n*a_n$, рассматриваются качества $(+),i_1,i_2,...i_n$, рассматриваются действительные коеффициенты $a_0,a_1,...a_n$, что по сути говорит о еще одном качестве $-$, подразумевается правомочной запись вида $-i_k$, а так же правила $i_k+(-i_k)=0$, подразумевается, что есть правила умножения качеств $(+),i_1,i_2,...i_n$.
Скорее всего, не подразумевается, что для этих единиц могут быть еще правила по сложению, например, $i_1+i_2=i_3$, или что вместо (либо паралельно, если без противоречия) $i_k+(-i_k)=0$ можно использовать $i_p+i_m+i_r=0$, что произведению двух $i_k*i_r$ не обязательно ставить в соответствие единственное третье $i_s$ (либо $+$), а можно сделать и $i_k*i_r=i_m*i_d$. Все это последнее, кажется, дает возможность выйти за пределы теоремы Фробениуса. Возникает вопрос, что это такое должно быть, что можно сделать в "иных" системах чисел и нельзя сделать в "обычных". Из-за этого собственно все тут и происходит.

tolstopuz писал(а):

Теперь будем запрещать действительные числа?

Про запрещение конечно же речь не идет. Так что не переживайте. Все что есть, останется.